高考数学高考辅导讲义 华师版 15页

高考数学高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数＝在＝处取得最小值－（＞0），＝0．（1）求＝的表达式；（2）若任意实数都满足等式＋＋＝（为多项式，∈N），试用表示和；（3）设圆的方程为＋＝，圆与外切（＝1，2，┅），是各项都是正数的等比数列，记为前个圆的面积之和，求，．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．\n领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下应用能力学习能力探索能力创造能力能力基本思想和方法基本知识点知识点的积累、掌握和运用三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点\nPMNO【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点P在斜坐标系中的坐标（，）定义如下过点P作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M、N两点，则表示M点的坐标，表示N点的坐标．（1）设点P在斜坐标系中的坐标是P（－2，），求点P到原点O的距离；（2）试求以原点O为圆心，半径为1的圆在斜坐标系中的方程．〖解〗（1）＝＋－2＝2，＝；（2）如图建立直角坐标系，若点P在中的坐标为P（，），在中的坐标为P（，），则＝＋，＝．在坐标系中，圆的方程为＋＝1，故在斜坐标系中，圆的方程为＋＝1，＋＋＝1．【例2】设，，表示三角形三边的长，均为整数，且≤≤，若＝（正整数），则这样的三角形有几个？〖分析〗（1）当＝＝1时，＝1，＝1，由≥，得＝1，2，┅．若＝1，得正三角形，若≥2，＋＝2，不能组成三角形，故＝＝1时，只有1个三角形；（2）当＝＝2时，＝2，＝2，3，三角形个数为2个，＝1，＝2，三角形个数为1个，则1＋2＝3（个）；（3）当＝＝3时，＝3，＝3，4，5，三角形个数为3个，＝2，＝3，4，三角形个数为2个，＝1，＝3，三角形个数为1个，则1＋2＋3＝6（个）；〖解〗当＝时，三角形总数应有1＋2＋3＋┅＋＝（个）事实上，当＝时，由个值，即＝1，2，3，┅，；对于每一个值，若＝（1≤≤），因为≤＜＋，即≤＜＋，所以的取值刚好有个，即＝，＋1，┅，＋－1，故三角形总数为（个）．『说明』探求所满足的各种条件，求出在相应的条件下的结论时一种能力．\n【例3】设＝＋－－4，证明：（1）对任意实数，方程＝0都有实根；（2）存在某个，对任意实数，恒有≠0．〖分析〗本题直接针对来证明本题是很困难的，故针对来考虑．〖证〗＝＋＋－2＝，它是的一次式．对（1），要证明对任意，有＝0，即＝0，只需证有实数解，得＝－2；对（2），只需，解得＝2．变形方程－2－＋－＝0有且仅有两个实根（可以是重根），求的取值范围．〖解〗－2－＋－＝0－＋＝0，即＝0，当＋＋1－＝0时，△＝1－＝4－3，当≥有两个实根，当＜无实根；当－－＝0时，△＝1＋4，当≥－有两个实根，当＜－无实根．故的取值范围为－≤＜．（探索条件）『说明』要找到问题的解决方法，思维必须开阔、灵活，横的不行，试试竖的；平面上不行，空间中试试；正面思考不行，反面考虑试试．这种多角度、多层次的思维方式称之为“立体思维”．【例4】设函数＝，∈R．（1）试讨论在区间（－1，1）内，的单调性；（2）证明为的极大值，为的极小值．\n〖解〗（1）任取－1＜＜＜1，∴－＝－＝，∵－1＜＜＜1，∴－＜0，∣∣＜1，1－＞0，得－＜0，即＜，∴函数＝在区间（－1，1）内是单调递增函数．（2）当≠0时，∣∣＝≤＝．∵＝，＝－，∴为为的极大值，为的极小值．【例5】已知命题设，与，都是正数，且＋＝1，＋＝1，则，中的最小数一定不大于1．（1）试将上述命题推广到个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．〖解1〗设，，┅，与，，┅，都是正数，且＋＋┅＋＝1，＋＋┅＋＝1，则，，┅，中的最小数一定不大于1．〖证2〗①设为个分数中的最小数，则≤（＝1，2，┅，）．∵≥0，∴≤，≤（＝1，2，┅，），于是≤＋＋┅＋，即≤1．②反证法．假设个分数中的最小数大于1，则全部分数均大于1．\n即＞1，＞1，┅，＞1，＞，＞，┅，＞，得＞，＞，┅，＞，∴＋＋┅＋＞＋＋┅＋＝1，与已知矛盾．故个分数中的最小数一定不大于1．【例6】设等差数列和等比数列，＝，＝，且0＜＜．求证：当＞2且∈N时，＜．〖证〗设等差数列的公差为，等比数列公比为．∵0＜＜，∴＝－＞0，＝＝＞1．∵＋＝＝＝，∴＝．∵＞1，∴当＞2且∈N时，＋＋┅＋＋1＞－1，即＞－1，－1＞，＝＞＋＝＋＝．∴当＞2且∈N时，＜．【例7】若数列满足＝＋（＝3，4，┅），且存在，求．〖解〗设＝，则≥0，且＝＋1．而＋1＝＝，∴＝，\n＝＋1，得＝．【例8】若1，，三个正数，既分别是一个等差数列的第项，第项，第项，又分别是一个等比数列的第项，第项，第项，则，应满足的关系式是．〖解〗（1）设公差为（≠0），则＝；设公比为（≠1），则＝＝，∴＝．（2）若＝0，则1＝＝，且＝1，此时也满足＝．综上可得＝．【例9】已知数列，，┅，，┅为等差数列．（1）若＝，＝，（≠），求数列，，┅，的前＋项的和；（2）求证：＋＋┅＋＝．〖解1〗设数列，，┅，，┅的公差为，则＝－＝－＝┅＝－＝┅＝＝＝┅＝＝┅，＝＝┅＝＝┅＝．＝－，\n∵≠，∴＝－1，＝．得数列是以为首项，以为公比的等比数列，＝＝．〖证2〗∵数列是等比数列，且＞0，则＝，＝＋，＝＝，同理＝，＝，原式＝＋＋┅＋＝＝＝＝．【例10】设、、∈R，M＝（，）｜＝－1，N＝（，）｜＝2－2＋－2，则集合M∩N中含有元素的个数是．〖解〗＝2－2＋＝2－2＋，得2－－2＋＝0，＝0，得＝或＝．当≠，即≠时，含有两个元素；当＝，即＝时，含有1个元素．∴集合M∩N中含有元素的个数是1或2．【例11】在集合1，2，3，┅，，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为．〖解〗设A为1，2，3，┅，的子集，且含有元素（1≤≤），\n则对1，2，3，┅，中不等于的每个元素均有∈A或A两种可能，故1，2，3，┅，中含元素的子集有个，所以各个子集中元素之和的总和为＝．O•【例12】不等式≤的解集中，能使＋≤成立时的的最小值为．〖解〗≤＋≤．圆周上的点到原点的最大距离为，∴＝2．【例13】当∈（0，）时，方程＝的解的个数是．O1〖解〗设＝，则＝∣1－∣．当≥1时，设＝与＝＝相切，＝－1，△＝1－4＝0，得＝，∵∈（0，），∴有3个解．【例14】就正数的变化情况，讨论＝－∣∣的相异实根的个数．O1〖分析〗该方程的实根就是曲线＝（半径为的上半圆周）与曲线＝－∣∣（固定的折线）交点的横坐标．〖解〗（1）当0＜＜1时，无交点，故方程没有实根；（2）当＝1时，有两个切点，故方程有2个相异的实根；（3）当1＜＜时，有4个交点，故方程有4个相异的实根；\n（4）当＝时，有3个交点，故方程有3个相异的实根；（5）当＞时，无交点，故方程没有实根．『说明』用数形结合的方法，交点一目了然．高考辅导讲义一．高考命题的设计思想以前，数学科高考强调考察数学知识和数学能力．但是在命题的过程中，经常斟酌哪些知识要考，哪些知识不要考；排列双向细目表时，以知识内容为主题来考虑所要考察的认识层次；编拟“压轴题”时，首先考虑考察内容落实在哪个知识点上；编拟客观题时考虑的是还有哪些知识点没有考到，由此再补充试题；试题成卷后要考虑知识覆盖率有多少等等．造成的结果是试题的难度由解题步骤的多寡所确定，区分度由知识的深度（纵向）和知识的广度（横向）所确定，此所谓“深挖洞，广积粮”．虽然也考察了某些数学能力，但主要体现的是解题能力．如95年上海卷25题已知二次函数＝在＝处取得最小值－（＞0），＝0．（1）求＝的表达式；（2）若任意实数都满足等式＋＋＝（为多项式，∈N），试用表示和；（3）设圆的方程为＋＝，圆与外切（＝1，2，┅），是各项都是正数的等比数列，记为前个圆的面积之和，求，．数学科高考要转变传统的、封闭的学科观念，变知识立意为能力立意．注重考察学习新的数学知识的能力、应用数学知识解决实际问题的能力、探究数学规律的能力和创造能力，以此体现加强对学生发展性学力和创造性学力的科学培养．二．命题的构思原则1．继续考察逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力，以及运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力．（1）考察逻辑思维能力观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力，推理、表达的能力．（2）运算能力运算，变形，数据处理，设计合理，简捷的运算途径．（3）空间想象能力由较复杂的图形分解出较简单的、基本的图形，指出相互关系和能画出简单空间图形．\n2．继续考察数学的基本思想和方法（基础知识与基本技能）（1）基础知识概念、公理、定理、法则、性质、公式及数学思想和方法（2）基本技能进行运算、数据处理和绘制图表的技能．数学的基本思想主要是指函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和等价转换的思想．数学方法包括逻辑方法，如分析法、演绎法、归纳法和反证法等，以及具体的数学方法如配方法、换元法、消元法、待定系数法和数学归纳法等等．3．注重考察学习能力、应用能力、探索能力和创造能力．学习能力主要是指能阅读可能掌握的数学知识，会收集、提炼和加工信息，对阅读的内容进行概括和整理，弄清它的来龙去脉、重点和关键．领悟新的概念和方法，并能作简单的应用（如函数平均值（98年），最小值（99年））．应用能力（应用题）最近几年做了很多有益的尝试，需要加大这方面的考察力度．通过建立简单的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用数学方法加以解决．如喷水池、挖沟等．背景为实际意义的“味道”还显得不够，属于“包装型”的．探索能力主要指运用学过的数学知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等思维形式，对数学问题进行探索和研究的能力．例如给出条件，探究符合条件的数学对象是否存在；给出条件，探究相应的结论；给出结论，探究结论成立的条件；从特殊的数学对象出发，探究一般的规律等．创造能力主要指运用已知信息，开展思维活动，产生某种新颖、独特、有社会或个人价值的产品的能力，是对已掌握知识、方法的推广和拓展，是对未知领域的探索．对中学生来说，在很多情况下，表现为他们自己想出了解决问题的新的方法或策略，同时还可表现为对某些定理和公式的结论进行深化和延伸，对定理和公式本身的推广得到新的命题等．命题设计框架如下应用能力学习能力探索能力创造能力能力基本思想和方法基本知识点知识点的积累、掌握和运用三．命题构思举例通过命题框架结构的确定，以能力立意的命题构思站在了更新的起点上，主要反映在以下三个方面1．高考“压阵”题的命题设计，变难度“压阵”为能力“压阵”，降低了难易程度的坡度，改变了“压阵”题的入选标准（考察的知识容量、逻辑思维段落所占比例，思维障碍的高度等）．以前注重知识的综合、某些解题技巧的运用，伴有较大的运算量．这些试题一般都可以通过一定时间的训练，形成固定的解题模式、记忆性的操作步骤，从而使解题过程变成一系列机械的操作程序．能力型试题牵涉的数学的思想和方法是基本的，不需要解题的技巧，思维容量较大，运算量较小．完成这些试题需要能力的培养和积累，没有固定的模式，无需死记硬背，“题海”和大运动量操练无法应试．\n2．客观题的命题成为能力型试题设计的广阔天地，利用客观题小型、分少、影响小、易控制的特点，推出新颖的能力型试题，符合稳中求变的宗旨，且改变了客观题的命题设计成为整卷知识点拾遗补缺的一种现象．3．突出思维模式、思维容量和思维层次的考查，减少运算量，控制题量，淡化知识覆盖率．下面通过一些例题来反映能力型试题的一些特点PMNO【例1】如图所示，两个同样的坐标轴成45放置构成平面的一个斜坐标系．平面上任一点P在斜坐标系中的坐标（，）定义如下：过点P作两坐标的平行线分别交两坐标轴于M、N两点，则表示M点的坐标，表示N点的坐标．（1）设点P在斜坐标系中的坐标是P（－2，），求点P到原点O的距离；（2）试求以原点O为圆心，半径为1的圆在斜坐标系中的方程．【例2】设，，表示三角形三边的长，均为整数，且≤≤，若＝（正整数），则这样的三角形有几个？【例3】设＝＋－－4，证明：（1）对任意实数，方程＝0都有实根；\n（2）存在某个，对任意实数，恒有≠0．【例4】设函数＝，∈R．（1）试讨论在区间（－1，1）内，的单调性；（2）证明为的极大值，为的极小值．【例5】已知命题设，与，都是正数，且＋＝1，＋＝1，则，中的最小数一定不大于1．（1）试将上述命题推广到个比值的情况，写出推广后的命题；（2）证明你所推广的命题．【例6】设等差数列和等比数列，＝，＝，且0＜＜．求证：当＞2且∈N时，＜．\n【例7】若数列满足＝＋（＝3，4，┅），且存在，求．【例8】若1，，三个正数，既分别是一个等差数列的第项，第项，第项，又分别是一个等比数列的第项，第项，第项，则，应满足的关系式是．【例9】已知数列，，┅，，┅为等差数列．（1）若＝，＝，（≠），求数列，，┅，的前＋项的和；（2）求证：＋＋┅＋＝．\n【例10】设、、∈R，M＝（，）｜＝－1，N＝（，）｜＝2－2＋－2，则集合M∩N中含有元素的个数是．【例11】在集合1，2，3，┅，，任意取出一个子集，则所有各个子集中元素之和的总和为．【例12】不等式≤的解集中，能使＋≤成立时的的最小值为．【例13】当∈（0，）时，方程＝的解的个数是．【例14】就正数的变化情况，讨论＝－∣∣的相异实根的个数．