高考数学专题复习课件：高考专题突破三　高考中的数列问题 68页

高考专题突破三高考中的数列问题\n考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引\n考点自测\n1.(2017·广州质检)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为答案解析\n答案解析\n设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S5＝15，∴an＝a1＋(n－1)d＝n.\n\n3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________.答案解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝.\n4.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝_________.答案解析由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，\n答案解析4\n∴an＝－2an－1，又a1＝－1，∴{an}是以－1为首项，以－2为公比的等比数列，∴an＝－(－2)n－1，由10，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；题型一　等差数列、等比数列的综合问题解答由已知，Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得a2＝qa1，故an＋1＝qan对所有n≥1都成立.所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列.从而an＝qn－1.由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*).\n解答由(1)可知，an＝qn－1，＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]\n等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.思维升华\n跟踪训练1已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；解答\n设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，\n(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解答\n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，\n\n题型二　数列的通项与求和例2已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明\n∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.又cn＝an－1，\n解答(2)求数列{bn}的通项公式.∴当n≥2时，bn＝an－an－1\n(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.思维升华\n跟踪训练2已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.(1)证明：数列{}是等比数列；证明\n(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.解答\n\n\n题型三　数列与其他知识的交汇解答命题点1数列与函数的交汇\nf′(x)＝2ax＋b，由题意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，又f′(x)＝x＋2n，\n当n＝1时，a1＝4也符合，\n解答\n∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn\n解答命题点2数列与不等式的交汇令n＝1代入得a1＝2(负值舍去).\n解答(2)求数列{an}的通项公式；得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知数列{an}各项均为正数，故Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝2n，n∈N*.\n证明\n∵k∈N*，4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴不等式成立.\n命题点3数列应用题例5(2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；解答\n由题意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，\n(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解答\n＝…整理，得由题意，得am＝4000，\n\n数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.思维升华\n(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较.(3)数列应用题①根据题意，确定数列模型；②准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义.\n跟踪训练3设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；解答由已知，得b7＝，b8＝＝4b7，有＝4×＝.解得d＝a8－a7＝2.\n解答\nf′(x)＝2xln2，f′(a2)＝ln2，故函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－＝ln2(x－a2)，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n.\n\n课时作业\n1.(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；解答12345\n设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，∴{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…).12345\n解答(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－112345\n2.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；解答设数列{an}的首项为a1，公差为d，12345\n(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解答12345\n所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12345\n3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*).(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；解答在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分别令n＝1,2,3，12345\n(2)求证：数列{an＋(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式.证明12345\n由Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)，得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1(n≥2)，两式相减，得an＝2an－1－2(－1)n(n≥2)，12345\n12345\n4.已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；解答12345\n∴an＋1＝an＋1，∴数列{an}是公差为1的等差数列.∵a1＝1，∴an＝1＋(n－1)×1＝n，∵Sn＝2－bn，∴Sn＋1＝2－bn＋1，两式相减，得bn＋1＝－bn＋1＋bn，由S1＝2－b1，即b1＝2－b1，得b1＝1.12345\n解答12345\n12345\n5.在等比数列{an}中，an>0(n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；解答12345\n又an>0，∴a3＋a5＝5，又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，12345\n(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；解答∵bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，12345\n12345解答\n12345