数列（高考） 14页

数列（高考）1．（2015新课标Ⅱ16）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an+1＝SnSn+1，则Sn＝_____．【解析】由已知得an+1＝Sn+1－Sn＝SnSn+1，两边同时除以SnSn+1，得－＝－1，故数列{}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝．2．（新课标Ⅱ9）已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝．解：由题意可得a3a5＝a42＝4(a4－1)，解得a4＝2，公比q＝＝8，∴q＝2．故a2＝a1q＝．考点：等比数列.（2015江苏11）数列{an}满足a1＝1，且an+1－an＝n+1（nÎN*），则数列{}的前10项和为．试题分析：由题意得：所以．【山东】19.（本小题满分12分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【答案】（I）(II)【解析】试题分析：（I）设数列的公差为，令得，得到.\n令得，得到.解得即得解.（II）由（I）知得到从而利用“错位相减法”求和.试题解析：（I）设数列的公差为，令得，所以.令得，所以.解得，所以（II）由（I）知所以所以两式相减，得所以考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.【北京】6.设是等差数列.下列结论中正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C\n考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法【浙江文】10、已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则，．【答案】【解析】试题分析：由题可得，，故有，又因为，即，所以.考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【浙江文】17.（本题满分15分）已知数列和满足，.（1）求与;（2）记数列的前n项和为，求.【答案】(1)；(2)【解析】试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.\n考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.【浙江】20.（本题满分15分）已知数列满足=且=-（n）（1）证明：1（n）；（2）设数列的前n项和为,证明（n）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.\n考点：数列与不等式结合综合题.【北京】20.（本小题13分）已知数列满足：，，且．记集合．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8【解析】①试题分析：（Ⅰ）由，可知则；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M\n中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.第二步集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数；第三步由于中的元素都不超过36，中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，和除以9的余数一样，分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况，研究集合M中的元素个数，最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知可知：（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，\n考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.【福建】16．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于________．【答案】9考点：等差中项和等比中项．【福建】17．(本小题满分12分)等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．\n【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得，进而求的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【天津】18.（本小题满分13分）已知数列满足，且成等差数列.(I)求q的值和的通项公式；(II)设，求数列的前n项和.\n【答案】(I);(II).【解析】试题分析：(I)由得先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.试题解析：(I)由已知，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，，当时，，所以的通项公式为考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前项和公式.3.错位相减法.【湖北】18．（本小题满分12分）\n设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）..②①-②可得，故.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前项和.【湖北】22．（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为,,证明：.\n【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为.；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题解析：（Ⅰ）的定义域为，.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.故的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，即.令，得，即.①（Ⅱ）；；.由此推测：②下面用数学归纳法证明②.（1）当时，左边右边，②成立.（2）假设当时，②成立，即.当时，，由归纳假设可得.所以当时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.（Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得\n.即.考点：1.导数的应，2.数列的概念，3.数学归纳法，4.基本不等式（2015新课标Ⅰ7）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，且S8＝4S4则a10＝．解析：，，，．【上海】22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.【答案】（1）（2）详见解析（3）因为，，所以，即.故的第项是最大项.\n解：（3）因为，所以，当时，.当时，，符合上式.所以.因为，所以，.①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；②当时，的最大值为，最小值为，而；③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.综上，的取值范围是.【考点定位】等差数列，数列单调性16．【2015四川16】设数列{an}（n＝1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为Tn，求Tn．【解析】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考查运算求解能力.\n（1）由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1（n≥2），即an＝2an－1（n≥2），从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1．又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2．所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n．（2）由（1）得＝，{}是首项为、公比为的等比数列，所以Tn＝＝．