高考数学专题复习-高考数学专题复习——导数 21页

高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用\n导数运用中常见结论(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)若可导函数在处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（不恒为0）.(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则;若，恒成立，则(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D，若D恒成立，则有.(10)若对、，恒成立，则.若对，，使得,则.若对，，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。\n(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①②1xx+≤③④⑤⑥⑦sinx0)\n一、有关切线的相关问题例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=.(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线的切线；【答案】（Ⅰ）跟踪练习：1、【2011高考新课标1，理21】已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；解：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.3、(2014课标全国Ⅰ，理21)设函数，曲线在点（1，处的切线为.(Ⅰ)求；\n【解析】：(Ⅰ)函数的定义域为，由题意可得()，故……………6分二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2015高考江苏，19】已知函数.（1）试讨论的单调性；【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．当时，时，，时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减．\n练习：1、已知函数.⑴当时，讨论的单调性；答案：⑴，令①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.②当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，,时，函数单调递减；时，，函数单调递增；时，，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时，函数在单调递减；当时,函数在递减,递增,递减.2、已知为实数，函数，函数，令函数．当时，求函数的单调区间．解：函数，定义域为．当时，．\n令，得．……………………………………9分①当，即时，．∴当时，函数的单调减区间为，．………………11分②当时，解得．∵，∴令，得，，；令，得．……………………………13分∴当时，函数的单调减区间为，，；函数单调增区间为．…………15分③当，即时，由（2）知，函数的单调减区间为及2、根据判别式进行讨论例题：【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性；【答案】（1）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【解析】（1）由已知，函数的定义域为，，\n所以.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.练习：已知函数，．（1）求函数的单调区间；解：函数的定义域为．．令，得，记．（ⅰ）当时，，所以单调减区间为；…………5分（ⅱ）当时，由得，①若，则，由，得，；由，得．所以，的单调减区间为，，单调增区间为；…………………………………………………………7分②若，由（1）知单调增区间为，单调减区间为；③若，则，由，得；由，得．的单调减区间为，单调增区间为．……9分综上所述：当时，的单调减区间为；\n当时，的单调减区间为，，单调增区间为；当时，单调减区间为，单调增区间为．………………………………………………………10分2.已知函数．求函数的单调区间；解：函数的定义域为，．……………1分（1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减．……………4分（2）当时，，（ⅰ）若，由，即，得或；………………5分由，即，得．………………………6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．……………………………………7分（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．……………………………………………………………2、含绝对值的函数单调性讨论例题：已知函数.\n（1）若a=1，求函数在区间的最大值;（2）求函数的单调区间；（3）若恒成立，求的取值范围解：（1）若a=1,则．当时,,，所以在上单调增,.……………2分（2）由于，．（ⅰ）当时，则，，令，得（负根舍去），且当时，；当时，，所以在上单调减，在上单调增.……4分（ⅱ）当时，①当时，,令，得（舍），若，即,则，所以在上单调增；若，即,则当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增.……………………………………………6分\n②当时,,令，得，记，若，即,则，故在上单调减；若，即,则由得，且，当时，；当时，；当时，，所以在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减.…………………………………………8分综上所述，当时,单调递减区间是，单调递增区间是；当时,单调递减区间是，单调的递增区间是；当时,单调递减区间是(0,)和，单调的递增区间是和.………………10分（3）函数的定义域为．由，得．*（ⅰ）当时，，，不等式*恒成立，所以；（ⅱ）当时，，，所以；………………12分\n（ⅲ）当时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．令，则．因为，所以，从而．因为恒成立等价于，所以．令，则．再令，则在上恒成立，在上无最大值．综上所述，满足条件的的取值范围是．…………………………16分2．设为实数，函数（2）求函数的单调区间\n2、分奇数还是偶数进行讨论例题：【2015高考天津，理20已知函数，其中.(I)讨论的单调性；【答案】(I)当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.(II)见解析；(III)见解析.\n(2)当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.2、已知单调区间求参数范围例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.解：（1），的判别式△=36（1-a）.（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，\n若00，x>0时,，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.综上，a的取值范围是.二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题例题：【2015高考山东，理21】设函数，其中.（Ⅰ）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（2）当时，①当时，，所以，，函数在上单调递增无极值；\n②当时，设方程的两根为因为所以，由可得：所以，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；因此函数有两个极值点．（3）当时，由可得：当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因此函数有一个极值点．综上：当时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；例题：【2015高考安徽，理21】设函数.（Ⅰ）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；【解析】（Ⅰ），.\n，.因为，所以.①当时，函数单调递增，无极值.②当时，函数单调递减，无极值.③当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，，时，函数在处有极小值.（二）已知极值点个数求参数范围例题：【14年山东卷（理）】设函数（为常数，是自然对数的底数）（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围。\n练习：1、【2014年天津卷（理）】\n2、（2014湖南）（本小题满分13分）已知常数，函数.（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；（Ⅱ）若存在两个极值点，且，求的取值范围.【解析】（Ⅰ）,（*）因为,所以当时,当时,,此时，函数在单调递增,当时,（舍去），当时，；当时，.故在区间单调递减,在单调递增的.综上所述当时,,此时，函数在单调递增,当时,在区间上单调递减,在上单调递增的.（Ⅱ）由（*）式知，当时，函数不存在极值点，因而要使得\n有两个极值点，必有，又的极值点只可能是和，且由的定义可知，且，所以，，解得，此时，（*）式知,分别是的极小值点和极大值点，而令，由且知当时,当时,记（ⅰ）当时，，所以因此，在上单调递减，从而，故当时，（ⅱ）当时，，所以因此，在上单调递减，从而，故当时，综上所述，满足条件的的取值范围是为.【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式.（三）最值\n