中考数学复习指导：初中数学中非负数的应用 6页

初中数学中非负数的应用冬和正数统称为非负数•初屮数学屮常见的非负数有：⑴实数的绝对值:若a为任意实数，则|^|>0.(2)算术平方m：V^>o(6/>o).(3)实数的偶次幕:若Q为自然数,则a2n>0.⑷任何数的平方;$00.非负数的重要性质有：(1)若干个非负数的和为0,则其中的每一个数都为0.即：qn(),^2>(),・-^>0,目.吗+勺—色=o，贝ga〕=他=…=ari=o・(2)非负数的积、商(除数不为零)仍是非负数.在初中数学中，非负数在解题时有着广泛的应用，现举例如下：一、利用非负数性质求值例1已知/一6。+9+5”+5|+7丁^=0,求3a-2b+4c的值分析由已知，得(—3)2+5|/?+5|+7>/c^2=0v(6Z-3)2>0,|/?+5|>0,Vc^2>0由非负数性质知a-3=0,”+5=0,\Jc-2=0a—3=0于是也+5=0c—2=0a=3解得Jfe=-5c=2/.3a-2b+4c=27例2已知：5\Jx2—9—2(9_x1—18十,,(.y=求x、y的值x+3\n分析根据二次根式的被开方数为非负数，得x2-9>0,9-x2>0/.x2>9,£Lx2<9・•・x2=9/.x=±3vx+3^0x=3把x=3代入已知，得〉=一3二、利用非负数性质解方程1•解无理方程例3解方程：分析这是一个无理方程，并且一个方程里有三个未知数，显然用一般的方法不能求解•仔细观察方程特点，不难发现，原方程对以化为：(Vx+3-1)2+(77^2-3)2+(V7+4-5)2=0+3—1=0由非负数性质，得｛J戸一3=0a/z+4—5=0x=—2解得卜=11z=212.解绝对值方程例4解方程：a-l|+|a+/?|=l(a,b为自然数).分析这是一个含有绝对值的方程，从表面上看无从下手，认真观察方程的特点，容易发现：a-l>0,6z+/?|>0rti自然数性质，得\n3.解二元二次方程例5解方程:2x2-6与+5才+2兀一2y+l=0分析将方稈的左边配方，得(x-2y)2+(x-y+l)2=0由非负数的性质，得x-2y=0Vx-y+l=()兀=一2解得｛,b=->三、利用非负数性质化简例6已知y7a/10-2兀-4,化简J16-8x+)，一J4b+i2y+9.分析由二次根式的被开方数为非负数，Wx-5>0,H10-2x>0,•••x=5,/•y<-4故有4-y>0,2y+3v0・・・原式=|4_y|_|2y+3|=4_y+(2y+3)=y+7四、利用非负数性质求代数式的最大(小)值例7iS/7i=7x2-4xy+>,2+16x-2y+8,求加的最小值.分析求代数式的最小值的一般方法是通过配方法求解•由已知，得771=(2兀一y+1)~+3(x+2)2—5.由非负数的性质，知J(2x-y+l)2>0|(x+2)2>0\n•••当2x—y+l=()x+2=0,即2时,b=—3加有最小值-5且关于x的方程五、利用非负数性质判断三角形的形状例8已知弘/?、c为AABC的三边，3(a2+Z?2+c2)x2-(6Z+/?+c)x+-=0有实数根试判断\ABC的形状.4分析由题意，得3△=[_(d+方+c)]2一4(/+/?2+c2)x->04(6f—by+(b—c)~+(c—6Z)~=0由非负数的性质，得a-b=0,b-c=0,c-a=0a=b=c六、非负数在二次函数中的应用例9已知d、b为实数,求抛物线y二兀2_4/处一(才/_2“+1)与兀轴的交点个数分析求二次函数图象与兀轴的交点个数，实质上就是求与Z相关的一元二次方程的根的个数，因此构造一元二次方程x~—4bx—(—cT—2cib+1)=0由一元二次方程根的判别式，得△=16夕+4x1x(*/—2必+1)=(«-4/?)2+4•・・(6/-4/?)2>0@一4疔+4>0,即△>()・•・一元二次方程x2-4hx-(-a2-2ab^l)=0有两个不相等的实数根，4\n・•・抛物线y=F一^bx-(—a2-2«Z?+1)与兀轴有两个交点4七、非负数在一元二次方程中的应用例10设d、b、Q为互不相等的非零实数.求证:三个方程ax1+2/?x+c=0,①bx2=0,②ex2+2ar+/?=0,③不可能都有两个相等的实数根.分析本题如果直接用一元二次方程根的判別式來判断很难得出结果，那么不妨采用逆向思维法来思考.假设三个方程都有两个相等的实数根，则Aj=4b2-4ac=0,<=4c2-4ab=0,A3=4a2-4bc-0,三式相加，得(a—b)~+(/?—c)亠+(c—a)~=0,由非负数的性质，得a=b=c,这与已知相矛盾，所以，方程①、②、③不可能都有两个相等的实数根.[a+b=S例11已知实数a、b、c满足方程组｛°厂，试求方程^z/?-c2+8V2c=48bx1-\-cx-a-0的根分析可以通过构造一元二次方程来解•由已知，得a+b=8,axb-c2-8>/2c4-48故a.b可视为一元二次方程x2-8x+c2-8V2c+48=0的两个根，.・.A=(一8尸-4xlx(c2-8>/2c+48)=-(c-4a/2)2>0•••(c-4V2)2>0/.(c一4a/2)2=0,/.c=4>/2把c的值代入方程，得\nx2-8x4-16=0,・•・a=b=4所求方程为x2+V2%-l=0,它的根为—v2±>/6x=2八、非负数在方差中的应用例12已知a、b是实数,且b+c=8,bxc=/_]2。+52,求实数b的方差.分析?=-[(Z72+c2)--0+c)2]22=-[(/?4-c)2-2bc--(b+c)2]22=_(d_6)2•・•52>0/.—(g—6)~no,(q—6)~50v(^-6)2>0,・・・(—6)2=().•.d=6,/.be=16•/Z?+c=8,,\h=c=414•・•实数d、b、c的平均数为一3实数°、b、c的方差为?=l[(62+42+42)-3x(y)2]