阅读理解型(初中数学中考题汇总49) 7页

第45章阅读理解型1.(2011江苏南京，28，11分)问题情境已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．探索研究⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．①填写下表，画出函数的图象：x……1234……y…………1xyO134522354（第28题）－1－1②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．解决问题⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．\n【答案】解：⑴①，，，2，，，．函数的图象如图．②本题答案不唯一，下列解法供参考．当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．③===当=0，即时，函数的最小值为2．⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．2.（2011江苏南通，27，12分）（本小题满分12分）已知A(1，0)，B(0,－1)，C(－1，2)，D(2，－1)，E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0），经过其中三个点.（1）求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上；（2）点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上吗？为什么？（3）求a和k的值.【答案】（1）证明：将C，E两点的坐标代入y＝a(x－1)2＋k（a＞0）得，，解得a＝0，这与条件a＞0不符，∴C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上.\n（2）【法一】∵A、C、D三点共线（如下图），∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上.∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能：①A、B、C；②A、B、E；③A、B、D；④A、D、E；⑤B、C、D；⑥B、D、E.将①、②、③、④四种情况（都含A点）的三点坐标分别代入y＝a(x－1)2＋k（a＞0），解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解.所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上.【法二】∵抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）的顶点为（1，k）假设抛物线过A(1，0)，则点A必为抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点，所以必过x轴上方的另外两点C、E，这与（1）矛盾，所以A点不可能在抛物线y＝a(x－1)2＋k（a＞0）上.（3）Ⅰ.当抛物线经过（2）中⑤B、C、D三点时，则，解得Ⅱ.当抛物线经过（2）中⑥B、D、E三点时，同法可求：.∴或.3.（2011四川凉山州，28，12分）如图，抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根。（1）求抛物线的解析式；（2）点是线段上的一个动点，过点作∥，交于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标；（3）点在（1）中抛物线上，点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点\n的坐标，若不存在，请说明理由。yxOBMNCA28题图【答案】（1）∵，∴，。∴，。又∵抛物线过点、、，故设抛物线的解析式为，将点的坐标代入，求得。∴抛物线的解析式为。（2）设点的坐标为（，0），过点作轴于点（如图（1））。∵点的坐标为（，0），点的坐标为（6，0），∴，。∵，∴。∴，∴，∴。∴。∴当时，有最大值4。此时，点的坐标为（2，0）。（3）∵点（4，）在抛物线上，∴当时，，\n∴点的坐标是（4，）。①如图（2），当为平行四边形的边时，，∵（4，），∴错误！链接无效。。∴，。②如图（3），当为平行四边形的对角线时，设，则平行四边形的对称中心为（，0）。∴的坐标为（，4）。把（，4）代入，得。解得。，。yxOBMNCA图（1）HyxOBEA图（2）DyxOBEA图（3）D\n4.（2011江苏苏州，28,9分）（本题满分9分）如图①，小慧同学吧一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）.小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧O1O2，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和.小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路程；问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是π？请你解答上述两个问题.【答案】解问题①：如图，正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O运动所形成的图形是三段弧，即弧OO1、弧O1O2以及弧O2O3，∴顶点O运动过程中经过的路程为.\n顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积为=1+π.正方形OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程为.问题②：∵方形OABC经过4次旋转，顶点O经过的路程为∴π=20×π+π.∴正方形纸片OABC经过了81次旋转.