初中中考提前招生数学锦囊知识归纳 19页

2017级考生鼎力巨作初中数学锦囊编者：何恺选初中之知识汇高中之精华既为学生打造也供教师参考\n一封给考生的信（代序）亲爱的考生：你好！首先感谢你在茫茫文库中找到了这份资料，并下载或打印了出来.我是宁波市2017年的一名考生，这份资料是我在中考和提前招生前整理出来的.这份资料主要含有一些中考和提前招生的知识，因为课本内容有限，因而我在学习过程中，把一些书中没有提及的知识都整理了起来，方便复习.提前招生结束并被录取后，我又对这些资料进行了处理，并给了几位参加中考的同学.中考结束后，他们都跟我说这份资料帮到了他/她不少.现在是2018年，我再一次想起了这份资料，并写下了这份序言，准备传到百度文库上，也正如你看到的.这份资料中包含了很多初中的基本知识，但也有高中知识（他们是用来辅助我们解题的）.很多的知识，对于我们来说并不一定要完全的掌握，因而我在每个知识点的后都写上了知识掌握难度（在页眉上有注释：知识点的掌握要求（从易到难）：a了解、经历b理解、体验c运用、探索），这也是符合我们本地升学考试考试指南的要求的，只是我重新对一些知识点进行了掌握程度的分类，这个分类更多的是针对提前招生的.你可以在目录中看到，这份资料分为基础知识模块、挑战压轴题、小专题三个板块.基础指数模块，便是知识点的汇总，这里几乎没有例题.挑战压轴题是针对压轴题三到四个小问，由难到易写的，里面也有一些核心知识点的梳理.小专题部分，是我在考试前最后一点时间写的，因而只有两节，虽然第一节很详细，但第二节其实是没有完工的，在此表示我的歉意.这份资料我觉得你可以把它当工具书来用，特别是基础知识模块.因为很多的公式、定理，并不需要可以去背，用得多了，自然也就记下来了.现在在读高中的我，也经常发现初中自己整理的这些知识，实际上在高中阶段也是会常常用到的.因而，我强烈建议你对于一些掌握要求是a的知识，也稍作了解，不要完全跳过.初中数学有很多的解题思想，包括分类讨论、数形结合等，对于这些思想我并没有详细列举，不过相信你对他们很熟悉.但在考试中，若你遇到了解不出的几何题，我建议你可以尝试一下建立坐标系的方法——虽然计算会复杂一些，但至少你不会无计可施.当然，建立坐标系的方法，需要平日更多的练习，并结合一些坐标系中的公式，例如三角形重心坐标公式（见基础知识模块三-7），会给解题带来很大的帮助.数学学习，要说的要讲的有很多很多，一页A4纸是绝对写不完的.但经验和方法更多需要你自己的挖掘，需要你在日日月月的积累中找出适合自己的道路.总而言之，在我看来这份资料是能给你带来很大帮助的，只要你愿意，能从头到尾看一边，并能在要用到时把这份资料翻出来看看.很多的知识点的证明由于版面限制和考试不作要求，我没有写进，但如果你想知道，可以自己在网上找找——基本上我收集的公式定理你都能在网上找到它的证明过程.数学是有趣并可爱的，但习题也能让人感到苦恼，甚至绝望.希望我的帮助能让你的学习稍稍轻松一些.愿在一年后，或是几个月、几周、几天后的升学考试中，你能收获人生中第一桶（也许是）最美最宝贵的金子，进入理想的学校！编者何恺2018年1月6日\n目录一封给考生的信（代序）---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2/19目录---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3/19第一部分基础知识模块---------------------------------------------------------------------------------------------------------------4/19⚠基础知识模块的所有内容都可以在升学考试中直接使用，但请注明：“由XXX得”.（针对宁波地区，请询问你的指导老师以确认）一.圆的个性------------------------------------------------------5/1910.有趣的五点共圆（不要求）1.圆幂定理11.勾股定理的拓展（要求c）相交弦定理（要求b）12.垂心的性质（要求b）切割线定理（要求b）割线定理（要求b）2.切线长定理（要求b）四.四边形的个性-----------------------------------------------9/193.圆周角定理（要求c）1.平行四边形的判定（要求c）4.垂径定理（要求c）2.矩形的判定（要求c）5.垂径定理的逆推（要求b）6.平行弦的性质（要求c）3.正方形的判定（要求c）7.圆内接四边形的任一外角等于它的内对角（要求c）4.筝形（要求b）8.四点共圆的证明方法（要求b）5.多边形内角和（要求c）9.托勒密定理（要求a）6.多变形外角和（要求c）10.圆的方程（要求b）11.弦切角定理（要求b）7.梯形中位线（要求b）12.相切圆的性质（要求b）8.格点多边形面积计算（要求a）13.相交圆的性质（要求b）14.对圆进行切割分成的块数（要求a）五.代数与求导-------------------------------------------------10/19二.三角函数的个性--------------------------------------------6/191.基本不等式（要求a）1.三个基本的三角函数（要求c）2.求导（要求a）2.三角函数大小比较：（要求b）3.柯西不等式（要求a）3.和差公式（要求a）4.倍角公式（要求b）5.简单的半角、倍角推导（要求b）六.坐标系的个性----------------------------------------------11/196.余弦定理（要求a）1.两点间距离公式（要求c）7.三角函数与三角形面积的关系（要求b）2.点到线段（直线）的距离公式（要求a）8.三角函数求导（不要求）9.正弦定理（要求a）3.中点坐标公式(要求c）4.圆的方程（要求b）三.三角形的个性-----------------------------------------------7/1915.运用铅垂高×水平宽求出三角形面积（要求c）1.等腰三角形三线合一（要求c）22.常用的三角形面积公式6.直线k与位置关系（要求c）一般面积公式（要求c）海伦公式（要求a）7.三角形重心的坐标（要求b）三角函数（要求b）1七.双曲线、抛物线的个性----------------------------------12/19铅垂高×水平宽（要求c）21.双曲线的定义（要求a）3.外心的性质（要求c）2.双曲线k的意义（要求c）3.内心的性质（要求c）3.双曲线、直线与坐标轴截得的线段相等（要求c）4.直角三角形的内切圆（要求c）4.抛物线的定义（要求a）5.角平分线定理（要求c）5.抛物线弓形面积的最大值（要求c）6.中线定理（要求a）6.直角点的纵坐标（要求b）7.重心及其坐标（要求c）7.找抛物线上指定的张角（要求b）8.费马点（要求a）8.抛物线与x轴的截距（要求b）9.欧拉线（要求a）9.抛物线与直线交点连线的长度（要求b）\n第二部分挑战压轴题-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------13/19一.挑战压轴第①问：抛物线与直线----------------------------------------------------------------------------------------------------------13/191.抛物线与x轴焦点2.抛物线与直线二.挑战压轴第②问：抛物线与三角形-------------------------------------------------------------------------------------------------------14/191.直角三角形2.等腰（边）三角形三.挑战压轴第③问：抛物线与四边形-------------------------------------------------------------------------------------------------------15/191.已知三点求一点2.已知两点求两点四.挑战压轴第④问：抛物线与圆-------------------------------------------------------------------------------------------------------------16/19第三部分小专题------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17/19一.求代数最值--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17/191.基本的一次、二次函数2.构造法（数形结合）3.绝对值“找零点”4.配方法5.换元法6.主元法7.偏微分方程法（求导）求导方法详见代数与求导2.求导.8.柯西不等式二.求几何最值--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18/191.同侧将军饮马2.异侧将军饮马3.有定角型编后语-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19/19\n一.圆的个性1.圆幂定理（要求b）i)相交弦定理如图1：圆中两条弦??,??交于P，则有??∙??=??∙??.图1图2证明:如图2，连??,??，则有∠???=∠???,∠???=∠???即可证得∆???~∆???所以??∙??=??∙??.ii)切割线定理如图3：??与⊙?相切，??与⊙O交D，则有??²=??·??.证明：如图4，连TD,TO,DO,TC设∠PT?=?,∠OT?=?由切线得α+β=90°∵??=??∴∠???=∠???=?∴∠???=2?图3图4∴∠TCO=α=∠PTD又∵∠???=∠???（证明了弦切角定理）∴∆???~∆???∴??²=??·??iii)割线定理如图5：??与⊙?相切，??与⊙O交D，??与⊙O交B则有??2=??·??=??·??.证明：割线定理是切割线定理的推导，运用等量代换即可证得.2.切线长定理（要求b）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.图5图63.圆周角定理（要求c）一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，直径所对的圆周角为90°.4.垂径定理（要求c）垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧.5.垂径定理的逆推（要求b）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.证明：如图9，??为??的中垂线.根据中垂线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，图7图8在这条线段的垂直平分线上，因为圆心到?、?的距离均为半径，所以弦的垂直平分线经过圆心.6.平行弦的性质（要求c）圆的两条平行弦所夹的弧相等.证明：运内错角相等、圆周角性质即可证得.7.圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角（要求c）（如图?，∠1=∠2）证明：∠1+∠3=∠2+∠3=180°∠1=∠2图98.四点共圆的证明方法（要求b）i)直接找到一点到四个点的距离相等ii)证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角（类似于7）iii)证明线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆.如图7，可以根据∠BAC=∠BDC，得到A、B、C、D四点共圆.iv)运用相交弦定理、切割线定理的逆定理证明.（先证相似，再用[iii]证明）9.托勒密定理（要求a）圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.不要求证明.如图8，??·??=??·??+??·??.10.圆的方程（要求b）圆的标准方程：(?－?)²+(?－?)²=?²其中圆心坐标?(?,?)，圆的半径为?.原理：勾股定理、两点间距离公式.11.弦切角定理（要求b）弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数.证明：见切割线定理的证明.12.相切圆的性质（要求b）相切圆的连心线必过切点，且垂直于公切线.如右图，若??为⊙?1⊙?2的外公切线，连心线与??交于?，则有??=2√??；特别地，若∠?=r130°，则=.R313.相交圆的性质（要求b）相交圆的连心线（或其延长线）垂直平分公共弦.图1014.对圆进行切割分成的块数（要求a）?(?+1)若把切割?次所分成的块数记为??，则??=+1.2\n二.三角函数的个性1.三个基本的三角函数（要求c）???对比斜,???邻比斜,???对比邻.2.三角函数大小比较：（要求b）正弦、正切值随角度的增大而增大（可记为正变关系）；余弦值随角度的增大而减小.3.和差公式（要求a）????±???????(?±?)=????∙????±????∙???????(?±?)=????∙????∓????∙???????(?±?)=1∓????∙????1一个简单的证明（面积法）如右图，?∆???=?∆???+?∆???，根据三角形面积公式?=??∙????可以得出2111|OA||OC|sin(α+β)=|??||??|+|??||??|,222|OA||OC|sin(α+β)=|??||??|+|??||??|,∵|OA|=|OA|cosα=|OC|cosβ，|AB|=|OA|sinα，|BC|=|OC|sinβ,∴|OA||OC|sin(α+β)=|OA|sinα|OC|cosβ+|OA|cosα|OC|sinβ,∵|??||??|≠0,∴sin(?+?)=sin?cos?+sin?cos?.不要求证明.4.倍角公式（要求b）2?????sin2?=2sin?????cos2?=1−2?????????=（常用）?−?????不要求证明.5.简单的半角、倍角推导（要求b）如右图，可以利用图形，对一些简单的角的倍角、半角三角函数值进行推导.6.余弦定理（要求a）如右图，?2=?2+?2−2??∙???(?),?2=?2+?2−2??∙???(?),?2=?2+?2−2??∙???(?)?2+?2−?2?2+?2−?2?2+?2−?2也写作：????=????=????=.2??2??2??应用：SSS、SAS时解三角形.7.三角函数与三角形面积的关系（要求b）1?=??∙????.具体见三角形的个性.28.三角函数求导（不要求）详见代数与求导2.求导9.正弦定理（要求a）???如右图，===2?（?为△???的外接圆半径）.????????????推导：根据三角形面积公式iii（详见三角形的个性2.常见的三角形面积公式），111可得?=??∙????=??∙????=??∙????,等式同时除以???，即可推得正弦定理.222\n三.三角形的个性1.等腰三角形三线合一（要求c）等腰三角形（等边三角形亦为等腰三角形）中，底边上的中线就是它的顶角平分线和底边上的高.⚠注意：逆向判定尽量写清过程！逆向应用：i)已知?为??中点，??⊥??，求证??=??.证明：由条件：??为??的中垂线，所以??=??.ii)已知?为??中点，??平分∠???，求证??=??.证明：运用倍长中线法.如图，延长AD至E，使AD=DE，∵??=??，∠1=∠2，BD=DC∴△???≅△???∴??=??∴∠4=∠5=∠3，∴??=??，∴??=??=??即??=??.iii)已知??⊥??，??平分∠???，求证??=??.证明：∵∠??B=∠ADC=90°,??=??,∠???=∠CAD∴??=??.2.常用的三角形面积公式i)面积=底乘高除以二（要求c）ii)海伦公式S=√?(p−a)(p−b)(p−c),其中a，b，c分别为三角形三边长，p为半周长，S为三角形的面积（要求.a）1111iii)?=??∙????=??∙????=??∙????.（要求b）iv)坐标系中运用铅垂高×水平宽（要求c）2222???3.三角形的外接圆，及其圆心：中垂线的交点——外心的性质（要求c），半径?=（要求a）??111?1?????????推导：如图：?=??∙????=?=??∙????=??∙==∴?=222??22?4?4??3.三角形的内切圆，及其圆心：角平分线的交点——内心的性质，S=??（要求c）??∙???∙???∙??(?+?+?)?1推导：如图：?=++==??222224.直角三角形的内切圆（要求c）一个重要性质：四边形EODB为正方形（证明：∠???=∠BEO=∠BDO=90°,EO=OD）?+?−?∵根据切线长定理，??=??,??=??∴??+??=??，∴??+??+??+??=?+?+?=?+?，∴?=.25.角平分线定理（要求c）i)角平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在角内到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.ii)三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.逆定理：如果三角形一边上某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的????连线是三角形的一条角平分线.如右图，若??为角平分线，则有=iii)角平分线长度：如右图，若??为角平分线，则????有??2=??×??−??×??6.中线定理（要求a）三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半的平方与该边中线平方的和的两倍.如图，若?为中点，则??2=1(??22)−12+????.247.重心的性质（要求c）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.??+??+????+??+??在平面直角坐标系中，三角形重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(,).??8.费马点（教材拓展内容）（要求a）三角形的费马点P到三角形的三个顶点?、?、?的距离之和最短.（我也不知道在教材什么位置老师说有）\n9.欧拉线（要求a）三角形的垂心外心重心三点共线，且垂心到重心的距离是重心到外心的距离的两倍.10.有趣的五点共圆（不要求）任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点，则这五点（KLMNO）共圆.证明连??、??、??、??、??、??、??、??、??、??.∵∠???+∠???=∠???+∠???=∠???+∠???=180°∴????四点共圆同理????四点共圆从而????四点共圆∴∠???=∠???=∠???=180°－∠???又∠???=180°−∠???=∠???=∠???∴∠???=∠???+∠???=∠???+(180°－∠???)∴∠???+∠???=∠???+(180°－∠???)+∠???=180°故????四点共圆同理????四点共圆∴?、?、?、?、?五点共圆11.勾股定理的拓展（要求c）直角三角形三斜边作出的相似的图形都存在?+?=?直1直2斜12.垂心的性质（要求b）三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心.①如右图，延长高线并与外接圆相交，则有??=??,??=??,??=??推导（以??=??为例）：连??，∵∠???=∠???（同角的余角），∠???=∠???（同弧）∴∠???=∠???又∵??+??，??⊥??∴△???≌△???∴??=??②类似的，根据四点共圆的知识可以得出这一结论：垂心关于三边的对称点，均在原三角形的外接圆上.③??∙??=??∙??=??∙??.④?、?、?、?（垂心组）中任意一点是以剩下三个点为顶点的三角形的垂心.⑤欧拉线：详见三.三角形的个性9.欧拉线.\n四.多边形的个性1.平行四边形的判定（要求c）两组对边平行判定；一组对边平行且相等；两组对边分别相等；两组对角分别相等；对角线互相平分.2.矩形的判定（要求c）有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形.3.正方形的判定（要求c）对角线相等的菱形是正方形；有一个角为直角的菱形；一组邻边相等的矩形.4.筝形（要求b）??两组邻边分别相等的四边形是筝形.?=，其中m、n是两条对角线长.25.多边形内角和=???°(?−?)（要求c）6.多变形外角和=360°（要求c）7.梯形中位线（要求b）2Lh梯形的中位线L等于两底和的一半,平行于两底.S==Lh.梯28.格点多边形面积计算（要求a）记多边形内格点数为?，边界上的格点数为?，则?=?+0.5?−1.\n五.代数与求导1.基本不等式（要求a）i)??+??≥???条件：?、?∈?推导：∵(?−?)2=?2+?2−2??≥0∴?2+?2≥2??（当且仅当?=?时取等??+??号）变形：??≥,当且仅当?=?时等号成立.??+?22?+?ii)≥?√??(均值定理)条件：a、b为正数推导：∵(√?)+(√?)≥2√??∴≥2√??（当且仅当?=?时?2?+??取等号）变形：??≤()，当且仅当?=?时等号成立.??+?我们称为a、b的算术平均数，√??为几何平均数，因而：两个正数的算数平均数不小于他们的几何平均数.2均值定理的几何含义：“半径不小于半弦”如图，DD’垂直于直径AB，则有CD=√??（根据射影定理），当且仅当DD’过圆心即a=b时，√??=?+?.2.导数（要求a）求导可以找出一个函数的极限.对函数?(?)进行求导，用?′(?)表示.i)基本求导法则(?)’=0(??)′=???−1[三角函数求导(????)′=????(????)′=−????(????′)=???2?]′′′′′′′′′?′?′?−?′?1′?′(?)(?+?)=?+?(?−?)=?−?(??)=??+??()=()=−??2?(?)?(?)^211110.5′对于根式，看做指数函数：?(?)=√?=??(?)=(?2)’==2√?2√?ii)复合函数求导′′′?′2′1−?+1链式法则(?(?(?)))′=?′(?)∙(?(?(?)))√?=(?)例：(√2?−?2)=(2x−x)=?√?2√2?−?2√−?2+2?应用使用导数找极值.详见专题：找代数最值5.偏微分方程法（求导）.对于?(?)，当?′(?)=0时的?值，能使得?(?)有极值.3.柯西不等式（要求a）(?2+?2)(?2+?2)≥(??+??)211221212证明2????≤?2?2+?2?2根据(??−??)2≥0121212211122?2?2+?2?2+2????≤?2?2+?2?2+?2?2+?2?2两边同时加上?2?2+?2?212121212121212211212(?2+?2)(?2+?2)≥(??+??)2因式分解11221212应用试求函数?=√2∙√5−?+√3∙√?−3的最大值.22222根据柯西不等式，易知?2=(√2∙√5−?+√3∙√?−3)≤(√2+√3)(√5−?+√?−3)=10∴?2≤10,?=√10???\n六.坐标系的个性1.两点间距离公式?=√(??−??)?+(??−??)?（要求c）2.点到线段（直线）的距离公式（要求a）|??−?+?|设直线l的方程?=??+??(?,?)?=.√?+??将?(?,?)代入?=??+?中并移项，得到??−?+?，再代入公式即可.3.中点坐标公式(要求c）??+????+??设?坐标(??,??),?坐标(??,??),则??中点的坐标为(,).??4.圆的方程（要求b）详见圆的个性10.圆的方程.15.运用铅垂高×水平宽求出三角形面积（要求c）26.直线k与位置关系（要求c）平行的直线?相等，垂直的直线斜率之积为-1.7.三角形重心的坐标（要求b）详见三角形的个性7.重心及其坐标.\n七.双曲线、抛物线的个性1.双曲线的定义（要求a）与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹是双曲线.2.双曲线k的意义（要求c）1双曲线上的任意一点?(?,?)，则??=?，?∆???=?∆???=2?，?矩形APCO=?3.双曲线、直线与坐标轴截得的线段相等（要求c）如右图，双曲线与直线交于?、?两点，直线与坐标轴交于?、?两点，则有??=??.4.抛物线的定义（要求a）平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.5.抛物线弓形面积的最大值（要求c）??+??如右图，?在??上方的抛物线上运动，当??=时，?∆???有最大值.26.直角点的纵坐标（要求b）21如右图，?在抛物线?=??+??+?上，抛物线与?轴交于?、?两点，若∠???=90°，则??=−.?特别地，当?为抛物线与?轴的交点时，??=−1；当?为抛物线顶点时，∆=4.7.找抛物线上指定的张角（要求b）对于求抛物线上一个指定的张角，要用上圆周角的性质.例题1如图，抛物线与?轴交于?、?两点，?在抛物线上运动，求（1）使得∠???=90°的?点（2）使得∠???=60°的?点（3）使得∠???=45°的?点（4）使得∠???=30°的?点解析根据以下步骤，找出半径??和圆心?的坐标，联立圆的解析式与抛物线解析式，即可求得?点坐标.（1）如图1，以??为直径作圆，与抛物线交于两点，根据直径所对的圆周角为90°，这两点即可使得∠???=90°.（2）如图2，以??为底?为顶点，在??上方（或下方）构造等腰△???，使∠???=120°，过?、?、?作圆与抛物线交于两点，根据圆内接四边形对角互补，这两点即可使得∠???=60°.（3）如图3，以??为底?为顶点，在??上方（或下方）构造等腰△???，使∠???=90°，过?、?、?作圆与抛物线交于两点，根据圆周角等于圆心角的一半，这两点即可使得∠???=45°.（4）如图4，在??上方（或下方）构造等边△???，过?、?、?作圆与抛物线交于两点，根据圆周角等于圆心角的一半，这两点即可使得∠???=30°.图1图2图3图48.抛物线与x轴的截距（要求b）设抛物线方程?=??2+??+?b?22b2−4ac△√△推导：∵?1+?2=−c?1?2=?∴(?1−?2)=(?1+?2)−4?1?2=a2=?2∴?=|??−??|=|?|9.抛物线与直线交点连线的长度（要求b）若?=??2+??+?与?=??+?交于A(?1,?1)B(?2,?2)则AB=√1+?2|?1−?2|.\n挑战压轴第①问：抛物线与直线1.抛物线与x轴焦点考点：?=??2+??+?图像与x轴交点?，?代表??2+??+?=0时的两根；对称轴与两根的关系；图像与方程∆的关12系；根的取值范围.（要求c）2.抛物线与直线考点：求抛物线与直线的交点（联立求解）；直线与抛物线交点的存在性&位置关系：相切，相交，相离（方程组的∆）；不等式（组）的解集；（要求c）直线与抛物线的位置关系补充（要求b）：对于抛物线?(?)=??2+??+?和直线?:??+??+?=0：题型一：交点个数和位置关系问题通过求出方程?(?)=?(?)的∆，∆>0两个交点相交，∆=0一个交点相切，∆<0没有交点相离.题型二：弦长问题通过求出方程?(?)=?(?)的两个解，并代入两点间距离公式.题型三：最值问题求抛物线?(?)上任意一点?到直线?(?)的距离的最小值及?点坐标.①平行直线法（要求c）：求出对于方程?(?)=??+?，∆=0时的?的值，求出方程组?(?)、ℎ(?)=??+?的解?(?,?)（斜率为k的直线与抛物线?(?)的切点），并计算Q到直线的距离.②坐标法（要求a）：设抛物线上任意一点?(?0,?0),则?到?的距离可以用公式?=??0+??0+?|√?2+?2|表示【详见六.坐标系的个性2.点到线段（直线）的距离公式】，并将?0用?(?)代替，求出????（可以用配方或者求导函数等方法），以及当?取最小值时?0、?0的值，即为?点的坐标.一元二次不等式解法补充（要求b）：对于任意一个一元二次不等式，一般有以下几种解法：解法一：因式分解法求解2?2−7?+6<0思路：利用十字相乘的(2?−3)(?−2)<0,分两种情况讨论.1）2?−3<0，?−2>0得?<1.5且?>2（不成立）2）2?−3>0，?−2<0得?>1.5且?<2.综上，1.5?，两边开平方求解.解法三：图像法通过看图像可知，二次函数图像与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案.⚠一元二次不等式在初中阶段通常运用图像法求解结果比较保险.\n挑战压轴第②问：抛物线与三角形⚠由于射影定理的出现使得计算简单，三角形在抛物线中常常以直角的形式出现.本节以介绍直角三角形为主1.直角三角形考点：与代数结合（勾股定理及其逆定理）；射影定理；垂直的直线斜率为-1；两点间距离公式的应用；（要求c）射影定理（要求c）：在??△???中，∠???=90°，??是斜边??上的高，则有射影定理如下：??²=??·????²=??·????²=??·??.证明方法：三角形相似232例1已知抛物线?=?+??−?(?>0)与x轴交于?、?两点.4（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；112（2）若−=(点?是坐标原点)，求抛物线的解析式；????3（3）设抛物线与?轴交于点?，若△??C是直角三角形，求△???的面积.解析：???（1）对称轴直线?=−=−,?>0,−>0.2?223211?1+?22（2）设?(?1,0)?(?2,0)由韦达定理得出?1+?2=−?,?1∙?2=?,−==,解4?????1∙?23得?=2,?=?2+2?−3.322（3）根据条件：?(0.5?,0)?(1.5?,0)?(0,−?)运用射影定理：AO∙BO=??,带入计算4即可.⚠注意：但凡直角三角形的某边在坐标轴上时，通常运用射影定理可以快速地进行求解.例2如图，抛物线与?轴交于?、?两点，与?轴交于?点，且?(−1,0)．（1）求抛物线的解析式及顶点?的坐标；（2）判断△???的形状，证明你的结论；（3）点?(?，0)是?轴上的一个动点，当??+??的值最小时，求?的值．解析：（1）经计算，?=0.5?2−1.5?−2.（2）运用勾股或射影定理.（3）将军饮马模型，将?作关于?轴对称点C’，连?’?即可.例3如图,在第一象限内作与?轴的夹角为30°的射线??,在射线??上取一点?,过点?作??⊥?轴于点?.在抛物线?=?2(?>0)上取一点?，在?轴上取一点?，使得以?，?，?为顶点的三角形与△???相似，则符合条件的点?的坐标是_____.解析：如右图所示，共4种情况.2.等腰（边）三角形考点：三线合一，中垂线，等边三角形中的60°.（要求c）⚠在抛物线中，证明三角形等腰、边，很少会要求证明角相等的关系，要善于运用三线合一.\n挑战压轴第③问：抛物线与四边形1.已知三点求一点考点：根据三点，找出另一点使得以四个点为顶点的四边形21例1如图：二次函数?=−?+??+?的图像与?轴交于?(−,0),?(2,0)两点，且与?轴交于点?.2（1）求该抛物线的解析式，并判断△???的形状；（2）在?轴上方的抛物线上有一点?，且?、?、?、?四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出?点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点?，使得以?、?、?、?四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在，求出?点的坐标.解析：123（1）使用焦点式?=−(?+)(?−2)=−?+?+1（2）求出直线AC与CB的斜率，斜率之积为-1.22⚠本题难度不大，因为梯形不在宁波中考范围内，故不做详细解析，但关键是作平行线后分类讨论.2.已知两点求两点分类讨论必定会是这两种分类：邻线为边邻线为对角线23例2如图,抛物线?1=??−2??+?经过?(−1,0),?(0,)两点，与?轴交于另一点?.2（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为?,点?为线段??上一动点(不与点?重合),点?在线段MB上移动,且∠???=45°,设线段??=√2?,??=?2,求?2与?的函数关系式，并直接写出自变量?的取值范围；2（3）在同一平面直角坐标系中,两条直线?=?,?=?分别与抛物线交于点?、?,与(2)中的函数图象交于点?、?.问四边形????能否成为平行四边形?若能，求?、?之间的数量关系；若不能，请说明理由.解析：123（1）?=−?+?+.22（2）计算得?(1,2)?(3,0)作??⊥??于?易得等腰△???，??=1−?,??2=(1−?)2+4.MPMQMP2??2??1212△???∽△???∴=,MQ===?2=??=(?−1)+2(0⩽x<3).MBMPMB2√22√222（3）平行四边形的判定：见四边形的个性由题意EF∥HG，因而只要FE=HG即可判定平行四边形.1(?−1)21(?−1)21(?−1)21(?−1)2+=+计算得?+?=2.2222例3在平面直角坐标系中,已知抛物线经过?(−4,0),?(0,−4),?(2,0)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点?为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为?，△???的面积为?.求?关于?的函数关系式，并求出?的最大值；（3）若点?是抛物线上的动点，点?是直线?=−?上的动点，判断有几个位置能够使得点?、?、?、?为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点?的坐标.12解析：（1）?=?+2?−8.（2）作AB平行线与抛物线相切即可.2（3）如右图：当??为边时，有?1、?2、?3三种情况；当??为对角线时，为?4.计算，可得?(−4,4)或(−2+2√5,2−2√5)或(−2−2√5,2+2√5)或(4,−4).?4?1?2?3\n挑战压轴第④问：抛物线与圆⚠圆的性质请见圆的个性⚠抛物线与圆着重考察切线的知识.122例1如图,点?(4,0),以点?为圆心、2为半径的圆与x轴交于点?.?.已知抛物线?=(?−4)−过63点?和?，与?轴交于点?.122(1)点?(8,2)在抛物线?=(?−4)−上，点?为此抛物线对称轴上一个动点，求??+??的最小值；63(2)??是过点?的?的切线，点?是切点，求??所在直线的解析式.解析：（1）作将军饮马模型.取?关于对称轴的对称点?，连??，与对称轴交于?点，则?为最小的点，??+??的最小值即为??.经计算，??=2√10.（2）如图，连??、??，根据??=??=2，易证得△???≌△???.∴??=??,??=??1∴∠???=∠???∴??∥??计算得???:?=−?.2例2已知：抛物线?:?=?2+(?−1)?+(?−2)与x轴相交于?(?,0),?(?,0)两点,且x0)的最小值.对?进行求导，解方程y′=0,得到的解就能使原函数有最值.?−1\n′?2−2?−1?1=1+√2?2=1−√2当?=(?−1)2=0时，{?=2+2√2{?=2−2√2(舍)∴?=1+√2时，????=2+2√2.128.柯西不等式详见代数与求导3.柯西不等式.专题：求几何最值这一专题主要归纳了求面积大小、线段长度最值的常用方法.1.同侧将军饮马?为??上一点，??⊥??，??⊥??，求??+??的最短距离？作?’关于??与?对称，连?’?，则有??+??=??+?’?.∵??+?’?≥??′（当且仅当?,?,?’三点共线时取等号）所以??+??的最短距离为??’2.异侧将军饮马?、?为直线?异侧的两点，?在?上，求|??−??|的最大值和最小值？作?’关于?与?对称,连接?’?并延长，与?交于?’.则|??−??|的最大值为|??′−??′|.∵|?’?−?’?|=|??’|而通常情况下|?’?−?’?|＜|??’|当?在??中垂线上时，|??−??|有最小值，|??−??|=0.∵中垂线上一点到线段两端距离相等，故??=??,|??−??|=0.3.有定角型有定角，必有一圆.3如右图，圆?半径为3，??三角形???顶点?，?在圆上，∠?=90°，????=，求??最小值？4观察后不难发现，∠???为定角，故?、?、?三点共圆.??+??≥??,∴??⊥??时，OC???=1.5\n编后语感谢你看到了这里.无论你是老师、家长或是同学，我都真诚地希望你能在阅读这份资料并发现错误后告诉我.因为时间紧张、学习繁忙，这份资料中必定存在很多的差错.同时，这份资料也会一直保持更新进行纠正，你可以联系我来获取它的最新版本.愿您的学生、孩子，或你是学生本人，都能考进梦寐以求的学校.加油！编者2018年1月联系方式QQ1903326369电子邮箱i@ihkk.net版本信息版本1801最后一次编写20180107编者何恺