2018届高考数学 高考大题专项突破三 高考中的数列 文 新人教a版 5页

高考大题专项练三　高考中的数列1.(2017江西宜春中学3月模拟,文17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=5,S5=3S3-2.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.2.(2017北京丰台一模,文16)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17.(1)求证:数列{bn}是以-2为公差的等差数列;(2)设数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn的最大值.3.已知等比数列{an}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Sn是数列{bn}的前n项和,求Sn.4.(2017河南洛阳三模,文17)已知数列{an}满足a1=3,an+1=.(1)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)令bn=a1a2…an,求数列的前n项和Sn.5.(2017江苏,19)对于给定的正整数k,若数列{an}满足:an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{an}是“P(3)数列”;(2)若数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明{an}是等差数列.〚导学号〛6.(2017河南南阳一模,文17)已知f(x)=2sinx,集合M={x||f(x)|=2,x>0},把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{an},n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=,设数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.-5-\n〚导学号〛7.(2017云南昆明一中仿真,文17)数列{an}和{bn}中,已知a1a2a3…an=(n∈N*),且a1=2,b3-b2=3,若数列{an}为等比数列.(1)求a3及数列{bn}的通项公式;(2)令cn=,是否存在正整数m,n(m≠n),使c2,cm,cn成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.8.(2017山东潍坊一模)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,数列{bn}是公比大于0的等比数列,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)令cn=求数列{cn}的前n项和Tn.〚导学号〛高考大题专项练三高考中的数列1.解(1)设等差数列{an}的公差为d,∵a3=5,S5=3S3-2.∴∴∴an=2n-1.(2)∵bn==22n-1,∴=22=4,b1=2.∴数列{bn}是等比数列,公比为4,首项为2.∴Tn=(4n-1).2.(1)证明设等比数列{an}的公比为q,-5-\n则bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2=log2q,因此数列{bn}是等差数列.又b11=log2a11=3,b4=17,所以等差数列{bn}的公差d==-2,即bn=25-2n,即数列{bn}是以-2为公差的等差数列.(2)解设等差数列{bn}的前n项和为Sn,则Sn=n==(24-n)n=-(n-12)2+144,于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.3.解(1)∵等比数列{an}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8,∴a1+a1q2=20,a1q=8,∴2q2-5q+2=0,解得q=2或q=(舍去),∴a1=4.∴an=2n+1.(2)bn=,Sn=+…+,Sn=+…+.∴Sn=+…+.∴Sn=1-.4.解(1)∵an+1=,∴an+1-1=-1=,∴,∴,∵a1=3,∴,∴数列是以为首项,以为公差的等差数列,∴(n-1)=n,∴an=.(2)∵bn=a1a2…an,∴bn=×…×,∴=2,∴Sn=2+…+=2.5.证明(1)因为{an}是等差数列,设其公差为d,则an=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,an-k+an+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2an,k=1,2,3,所以an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an,-5-\n因此等差数列{an}是“P(3)数列”.(2)数列{an}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,an-2+an-1+an+1+an+2=4an,①当n≥4时,an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an.②由①知,an-3+an-2=4an-1-(an+an+1),③an+2+an+3=4an+1-(an-1+an).④将③④代入②,得an-1+an+1=2an,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{an}是等差数列.6.(1)解f(x)=2sinx,集合M={x||f(x)|=2,x>0},则x=kπ+,解得x=2k+1(k∈Z),把M中的元素从小到大依次排成一列,得到数列{an},所以an=2n-1.(2)证明bn==,所以Tn=b1+b2+…+bn<=.7.解(1)∵a1a2a3=,a1a2=,∴a3==8,又由a1=2得8=2q2,∴q2=4,解得q=2或q=-2,∵a1a2a3…an=>0(n∈N*),故舍去q=-2,∴an=2n,则a1a2a3…an=2(1+2+3+…+n)=,∴bn=.(2)由(1)知cn==1+,假设存在正整数m,n(m≠n),使c2,cm,cn成等差数列,则2cm=c2+cn,即2+1+,∴,故n=,由n>0,得00,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.∴a1=-1,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7,解得d=-2,q=2.∴an=-1-2(n-1)=1-2n,bn=2n.(2)cn=①当n=2k(k∈N*)时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)=2k+,令Ak=+…+,∴Ak=+…+,∴Ak=+4+…++4×,可得Ak=.∴Tn=T2k=2k+.②当n=2k-1(k∈N*)时,数列{cn}的前n项和Tn=T2k-2+a2k-1=2(k-1)++2=2k+.∴Tn=k∈N*.-5-