高考数列专题 13页

第五讲等差等比1．在等差数列中，，则（）A.B.C.D.-1或12.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（）A.B.C.D.3.已知数列{}的前项和，第项满足，则（　　）A．B．C.D．4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　　）A．2B．3C．4D．55.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　）Ａ．2Ｂ．4Ｃ．6Ｄ．86.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为．一．等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列，若3.等差数列的通项公式：------该公式整理后是关于n的一次函数4.等差数列的前n项和等差中项:如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或二．等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有2.对于等差数列，若，则。也就是：，13\n3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：当n为偶数时，，当n为奇数时，则，。三．等比数列的判定方法:1.定义法：若2.等比中项：若，则数列是等比数列。3.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。4.等比数列的前n项和:当时，等比中项:如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么。四．等比数列的性质:1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有2.对于等比数列,若，则即：。3．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：第六讲求通项公式1.已知数列{}的前n项和为，且，则等于()A.4B.2C.1D.-213\n2．在数列中，，且，则_____.3．在数列中，若(n≥1),则该数列的通项=_____.4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是.5.已知数列{}的前项和，则其通项；若它的第项满足，则6.已知数列对于任意，有，若，则一、根据数列{}的前n项和求通项已知数列前n项和Sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.二、由递推关系求数列的通项1.利用迭加、迭乘、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成{bn}的等比数列。3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得。4.对含与Sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。【范例1】记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和【变式】数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（I）求的值；（II）求的通项公式．【范例2】设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．13\n【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{Pn}}.求：（Ⅰ）的关系式；（Ⅱ）数列的通项公式；【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【变式】已知函数f(x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f(x)）两点的直线平行。求证：当n时，(Ⅰ)x第七讲数列求和1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，2．错位相减法求和：如：3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。4．合并求和：如：求的和。5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项：6．公式法求和7．倒序相加法求和13\n【范例1】设数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前项和．【变式】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；【范例2】已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．（I）求（II）求数列的前2n项和；【变式】在数列中，，，．（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．【范例3】已知，点)在函数的图象上，其中=1，2，3，…（Ⅰ）证明数列是等比数列；（Ⅱ）设，求Tn及数列的通项；（Ⅲ）记，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明第八讲数列综合1.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　）Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2.已知等差数列的前项和为，若，则3.在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于()13\nA．B.C.D.4.已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.(I)求数列的首项和公比；(II)对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前10项之和；【范例1】已知数列，满足，，且（）（I）令，求数列的通项公式；（II）求数列的通项公式及前项和公式．【变式】在等差数列中，，前项和满足条件，（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和。（理）在数列中，，其中．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和；13\n第五讲等差等比1.A2.D3.B4.D5.B6.第六讲求通项公式1.A2.353.4.5.2n-10,86.4【范例1】解析（I）整理得（Ⅱ）由所以【变式】解：（I），，，因为，，成等比数列，所以，解得或．当时，，不符合题意舍去，故．（II）当时，由于，，…………，13\n所以．又，，故．当时，上式也成立，所以【范例2】解：（1）由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故．则又由（1）知且，故，因此为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由可得，即两边开平方得．即为正整数【范例3】解析（Ⅰ）由题得过点P1（的切线为过原点又过点Pn（的因为过点Pn-1（13\n整理得（Ⅱ）由（I）得所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列【变式】解、(I)证明：因为所以曲线在处的切线斜率即和两点的直线斜率是以.第七讲数列求和【范例1】解(I)验证时也满足上式，(II)，①②①-②：，【变式】解：（Ⅰ）设这二次函数,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以又因为点均在函数的图像上，所以当n≥2时，13\n当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.【范例2】（I）解：方程的两个根为，，当时，，所以；当时，，，所以；当时，，，所以时；当时，，，所以．（II）解：．【变式】解、（Ⅰ）证明：由题设，得，．又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．所以数列的前项和．（Ⅲ）证明：对任意的，．所以不等式，对任意皆成立【范例3】解：（Ⅰ）由已知，，两边取对数得13\n，即是公比为2的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知（*）=由（*）式得（Ⅲ）又又.第八讲数列综合1.B2.73.C【解析】因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则即，所以，故选择答案C。4.解:(Ⅰ)依题意可知,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,所以数列的的首项为,公差,13\n,即数列的前10项之和为155.【范例1】解：（Ｉ）由题设得，即（）易知是首项为，公差为２的等差数列，通项公式为．（II）解：由题设得，令，则．易知是首项为，公比为的等比数列，通项公式为．由解得，求和得．【变式】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为,由得：，所以，即，又＝，所以。（Ⅱ）由，得。所以，当时，；当时，，。（理）（Ⅰ）解法一：，，．13\n由此可猜想出数列的通项公式为．以下用数学归纳法证明．（1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何都成立．解法二：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．（Ⅱ）解：设，　　　①　　　　　　　　②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．13