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2014年高三复习数学同步练习1-2命题、量词、逻辑联结词【基础巩固强化】1.(2013·江西吉安一中上学期期中考试)下列命题中，不是真命题的为(　　)A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题[答案]　D[解析]　A中原命题为真命题，故逆否命题为真；B中逆命题为“正方形的四条边相等”，它是真命题；C中否命题为“若x2≠9，则x≠3”显然为真命题；D中逆命题为“若两个角相等，则这两个角互为对顶角”显然为假，故选D.2．(文)(2011·聊城模拟)下列命题中为假命题的是(　　)A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2[答案]　B[解析]　由指数函数值域知2x－1>0恒成立；当x＝1时，lgx＝0<1；∵直线y＝2与y＝tanx的图象有交点，∴方程tanx＝2有解；∴A、C、D都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)2>0不成立，∴B为假命题．(理)(2011·山东实验中学模拟)下列命题中是真命题的为(　　)A．∀x∈R，x2y2[答案]　C[解析]　令f(x)＝x2－x－1，∵Δ>0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有x0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0[答案]　C[解析]　依题意得，命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，选C.4．(2011·辽宁铁岭六校联合考试)与命题“若p，则q”的否命题真假相同的命题是(　　)A．若q，则pB．若p，则qC．若q，则pD．若p，则q[答案]　A[解析]　原命题的否命题与原命题的逆命题是等价命题，真假相同，故选A.5．(文)(2012·安阳模拟)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2[答案]　A[解析]　由p∨q为假命题可知p和q都是假命题，即非p是真命题，所以m>－1；再由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立为假命题知m≥2或m≤－2，∴m≥2，故选A.(理)(2011·广东省东莞市一模)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x<3x；命题q：∀x∈(0，)，cosx<1，则下列命题为真命题的是(　　)A．p∧qB．p∨(q)C．(p)∧qD．p∧(q)[答案]　C[解析]　在x∈(－∞，0)上，y＝2x的图象恒在y＝3x的上方，所以不存在这样的x使得2x<3x成立，命题p为假命题，命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选C.第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习6．(文)(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是(　　)A．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若aC．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列D．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝成立[答案]　D[解析]　对于A，当a⊥b时，a·b＝0也成立，此时不一定是a＝0或b＝0；对于B，当a＝0，b＝1时，该命题就不成立；对于C，b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件；对于D，因为sinx＋cosx＝sin(x＋)∈[－，]，且∈[－，]，所以该命题正确．(理)(2012·合肥第一次质检)下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；④若命题p：∀x∈R，x2＋1≥1，命题q：∃x∈R，x2－x－1≤0，则命题p∧(綈q)是真命题．其中真命题为(　　)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案]　A[解析]　由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要log2x>0，∴x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题p是真命题，命题q是真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故④错误．所以选A.第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习7．(文)(2011·济南模拟)命题p：∃x∈R，lgx＝0，q：∀x∈R,2x>0，命题(綈p)∧q的真假为________(填“真”或“假”)．[答案]　假[解析]　∵x＝1时，lgx＝0，∴p真；由指数函数值域知2x>0恒成立，∴q真；∴(綈p)∧q为假．(理)(2011·南京一调)设p：函数f(x)＝2|x－a|在区间(4，＋∞)上单调递增；q：loga2<1.如果“非p”是真命题，“p或q”也是真命题，那么实数a的取值范围是________．[答案]　(4，＋∞)[解析]　∵“非p”为真命题，∴p为假命题，又p或q为真命题，∴q为真命题．若a>1，由loga2<1知a>2，又f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上单调递增，且p为假命题，∴a>4，因此得，a>4；若0b，则a2>b2”的逆命题为假命题；②已知直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：x＋by＋2＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－2；③对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f′(x)>g′(x)．其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)．[答案]　①③[解析]　①显然正确．②中l1⊥l2⇔a＋2b＝0，但a＋2b＝0与＝－2不等价，∵当a＝b＝0时，＝－2不成立，故②错；③由条件知，f(x)为奇函数，在x>0时单调增，故x<0时单调增，从而x<0时，f′(x)>0；g(x)为偶函数，x>0时单调增，从而x<0时单调减，∴x<0时，g′(x)<0，∴x<0时，f′(x)>g′(x)，故③正确.能力拓展提升11.(2011·北京模拟)下列命题中，真命题是(　　)A．∃x∈R，sin2＋cos2＝B．∀x∈(0，π)，sinx>cosxC．∃x∈R，x2＋x＝－1D．∀x∈(0，＋∞)，ex>1＋x[答案]　D[解析]　∵对任意x∈R，sin2＋cos2＝1，∴A假；当x＝时，sinx＝cosx，∴B假；对于函数y＝x2＋x＋1，∵Δ＝－3<0，∴y>0恒成立，∴C假；对于函数y＝ex－x－1，∵y′＝ex－1，当x>0时，y′>0，∴y＝ex－x－1在(0，＋∞)上为增函数，∴y>e0－0－1＝0，即ex>1＋x恒成立，∴D真．12．(文)(2011·大连质检)下列命题中真命题的个数是(　　)①∀x∈R，x4>x2；第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习②若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2＋1>0”．A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3[答案]　B[解析]　当x＝0时，x4>x2不成立，∴①假；p∧q是假命题，则p、q至少有一个为假，∴②假；③显然为真，故选B.(理)(2011·汕头模拟)下列说法中，正确的是(　　)A．命题“若am20”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件[答案]　B[解析]　命题“若am21⇒/x>2，但x>2⇒x>1，∴x>1是x>2的必要不充分条件，故D假，B显然为真．13．(2011·宿州模拟)已知命题p：∃x∈[0，]，cos2x＋cosx－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是(　　)A．[－，－1]B．[－，2]C．[－1,2]D．[－，＋∞)[答案]　C[解析]　依题意：cos2x＋cosx－m＝0在x∈[0，]上有解，即cos2x＋cosx＝m在x∈[0，]上有解．令f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，由于x∈[0，第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习]，所以cosx∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．14．(文)(2011·长沙调研)下列结论：①若命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)[答案]　①③[解析]　①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧(綈q)为假命题，故①正确；②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.(理)(2011·常德模拟)已知命题“如果|a|≤1，那么关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．[答案]　2[解析]　由|a|≤1，得－1≤a≤1，且Δ＝(a＋2)2＋4(a2－4)＝5(a＋)2－－12≤5(1＋)2－<0，∴原命题为真，逆否命题亦为真．反之，如a＝－2时，所给不等式的解集即为空集，但a∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．15．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习(1)求证：“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解析]　(1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2＝2x于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时，直线l与抛物线相交于点A(3，)、B(3，－)．∴·＝3.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，其中k≠0.由得，ky2－2y－6k＝0，则y1y2＝－6.又∵x1＝y，x2＝y，∴·＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝3.综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么·＝3”是真命题．(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2＝2x于A、B两点，如果·＝3，那么直线过点T(3,0)．该命题是假命题．例如：取抛物线上的点A(2,2)，B，此时·＝3，直线AB的方程为y＝(x＋1)，而T(3,0)不在直线AB上．16．(文)已知命题p：在x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立；命题q：函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．[解析]　∵x∈[1,2]时，不等式x2＋ax－2>0恒成立，∴a>＝－x在x∈[1,2]上恒成立，第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习令g(x)＝－x，则g(x)在[1,2]上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝1，∴a>1.即若命题p真，则a>1.又∵函数f(x)＝log(x2－2ax＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数，∴u(x)＝x2－2ax＋3a是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x2－2ax＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立，∴a≤1，u(1)>0，∴－1－1.(理)探求关于x的方程x2＋2mx＋12－m＝0两根都大于2的充要条件．[解析]　设两根为x1，x2，则而⇔⇔⇔⇔－0且x≠1，都有x＋>2B．∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数[答案]　D[解析]　∵x＋≥2等号在x＝1时成立，∴A真；将x＝1，y＝0代入直线方程ax＋y＝a中成立，∴B真；令m－1＝1得m＝2，此时f(x)＝x－1是幂函数，故C真；当φ＝时，f(x)＝sin＝cos2x为偶函数，故D假．4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.”若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．{a|a≤－2或a＝1}B．{a|a≤－2或1≤a≤2}C．{a|a≥1}D．{a|－2≤a≤1}[答案]　A[解析]　“p∧q”为真，即p、q同为真．对于命题p，∀x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，只需12－a≥0成立，即a≤1；对于命题q，∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a2－4(2－a)≥0，∴a≤－2或a≥1，∴选A.5．(2011·南昌模拟)给出以下三个命题：第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习①若ab≤0，则a≤0或b≤0；②在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是(　　)A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．②③[答案]　B[解析]　对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．6．已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切．(1)求动圆C的圆心C的轨迹方程；(2)设直线l：y＝kx＋m(其中k，m∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线－＝1交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量＋＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．[解析]　(1)圆M：(x－2)2＋y2＝64的圆心M的坐标为(2,0)，半径R＝8.∵|AM|＝4|AM|.∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A、M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝4，c＝2，∴b2＝a2－c2＝12.∴所求动圆的圆心C的轨迹方程为＋＝1.(2)由消去y化简整理得：(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－Δ1＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－48)>0①由消去y化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12＝0.设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3＋x4＝，Δ2＝(－2km)2＋4(3－k2)(m2＋12)>0②第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习∵＝(x4－x2，y4－y2)，＝(x3－x1，y3－y1)，且＋＝0，∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，即x1＋x2＝x3＋x4，∴－＝，∴km＝0或－＝.解得k＝0或m＝0.当k＝0时，由①、②得－20，ω>0，φÎR)，则“f(x)是奇函数”是“φ=”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【命题意图】本题考查简易逻辑以及函数的奇偶性，属于中档题【答案解析】B由f(x)是奇函数可知f(0)=0，即cosφ=0，解出第16页2014年高三数学一轮复习\n2014年高三复习数学同步练习φ=+kπ，kÎZ，所以选项B正确13、（2013年高考（重庆卷））命题“对任意，都有”的否定为（）A、对任意，都有B、不存在，都有C、存在，使得D、存在，使得【答案】：D第16页2014年高三数学一轮复习