【高考调研】高考数学精品复习 课时作业(六十) 5页

课时作业(六十)一、选择题1．如图所示，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且PB＝BC，则的值为(　　)A．2　　　　　　　　B.C.D．1答案　C2．Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是(　　)A．一条直线或一个锐角三角形B．一条线段或一个钝角三角形C．一个钝角三角形D．一个锐角三角形答案　B二、填空题3．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AB＝________，AC＝________，BC＝________.答案　　2　3解析　∵∠CAE＝∠EAB，∠EAB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB.又∵CB⊥AD，∴∠ACB＝∠CAE＝∠EAB＝30°.又∵AE＝2，∴AB＝，AC＝2，BC＝3.4.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的大小为________．\n答案　99°解析　连结OB，OC，AC，由题意得∠OCE＝∠OBE＝90°，∠DCF＝∠DAC＝32°，又∵∠E＝46°，∴∠BOC＝134°，∠BAC＝∠BOC＝67°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝99°.5.如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若AD＝CD＝1，则⊙O的半径r＝________.答案　解析　过B点作BE∥AC交圆于点E，连AE，OB并延长交AE于F，则∵BC是⊙O的切线，AE∥BC，∴BF⊥AE.又BC2＝CD×AC＝2，∴BC＝，BF＝＝.设OF＝x，则解得r＝.6.如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为____________．答案　解析　连结CO，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.即△ABC为直角三角形，又AB＝6，BC＝3，∴sin∠CAB＝.又∠CAB＝30°，∴AC＝3，AO＝OC.∴△AOC为等腰三角形．∴∠ACO＝30°.又l为⊙O的切线，∴OC⊥l，即∠DCO＝90°.∴∠DCA＝60°.∴AD＝AC·sin60°＝.7.如图，已知PA、PB是圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与A、B重合的另一点，若∠ACB＝1则∠APB＝________.答案　60°解析　过C作⊙O的一直径CD，连结AD，BD，\n∴∠CAD＝∠CBD＝90°.∵∠ACD＋∠BCD＝∠ACB＝1∠ADC＝180°－∠ACD－∠CAD，∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD，∴∠ADC＋∠BDC＝∠ADB＝60°∴∠AOB＝1∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°.∴∠APB＋∠AOB＝180°.∴∠APB＝60°.8．(·天津卷，理)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．答案　解析　由题意可知△PBC∽△PDA，于是由＝＝，＝＝＝.9．(·陕西卷，理)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.答案　解析　由题意得BC＝4，AC＝3，∴AB＝5.由切割线定理得：BC2＝BD·AB，∴BD＝，AD＝5－＝，∴＝.三、解答题10.(·南通)如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB＝∠DCP.证明　因为PA与圆相切于A，所以DA2＝DB·DC.因为D为PA中点，所以DP＝DA.所以DP2＝DB·DC，即＝.\n因为∠BDP＝∠PDC，所以△BDP∽△PDC.所以∠DPB＝∠DCP.11．(·盐城)在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N.若AC＝AB，求证：BN＝2AM.求证　如图，在△ABC中，因为CM是∠ACB的平分线，所以＝.又已知AC＝AB，所以＝.①又因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以BM·BA＝BN·BC，即＝.②由①②可知，＝，所以BN＝2AM.12.如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直于相交于点G，与弧AC相交于M，连结DC，AB＝10，AC＝12.(1)求证：BA·DC＝GC·AD；(2)求BM.解析　(1)证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB＝90°又AD是圆O的直径，所以∠DCA＝90°又因为∠BAG＝∠ADC(弦切角等于同弧所对的圆周角)，所以Rt△AGB∽Rt△DCA，所以＝.又因为OG⊥AC，所以GC＝AG.所以＝，即BA·DC＝GC·AD.(2)因为AC＝12，所以AG＝6，因为AB＝10，所以BG＝＝8.由(1)知：Rt△AGB∽Rt△DCA，所以＝.\n所以AD＝15，即圆的直径2r＝15.又因为AB2＝BM·(BM＋2r)，即BM2＋15BM－100＝0.解得BM＝5.13．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．解析　(1)△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°.又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．(2)解法1：设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴＝.即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.解法2：由(1)知PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同解法1.14．(·辽宁卷，理)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解析　(1)由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.