【高考调研】高考数学精品复习 单元能力测 8页

单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B的映射，则满足f(0)>f(1)的映射有(　　)A．3个　　　　　　　　B．4个C．5个D．2个答案　A解析　当f(0)＝－1时f(1)可以是0或1，则有2个映射．当f(0)＝0时，f(1)＝1，则有1个映射．2．函数y＝的定义域为(　　)A．(1，＋∞)　　　　　　　　B．[1，＋∞)C．(1,2)∪(2，＋∞)D．(1,2)∪[3，＋∞)答案　C解析　由ln(x－1)≠0得x－1>0且x－1≠1，由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1,2)∪(2，＋∞)．3．已知f(x)＝a|x－a|(a≠0)，则“a<0”是“f(x)在区间(0,1)内单调递减”的(　　)A．充分不必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　f(x)＝a|x－a|(a≠0)在(0,1)内单调递减的充要条件是a<0或a≥1，故选A.4．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为(　　)A．2B.C.D．1答案　B解析　由题可知函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，当f(x)＝0时x＝1，当f(x)＝1时x＝3或，所以要使值域为[0,1]，定义域可以为[，3]，[1,3]，[，1]，所以b－a的最小值为.故选B.5．设f(x)是R上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋)，则当x∈(－∞，0)时，f(x)等于(　　)A．x(1＋)B．－x(1＋)C．－x(1－)D．x(1－)答案　C解析　令x<0，则－x>0∴f(－x)＝－x(1＋)＝－x(1－)∵f(－x)＝f(x)＝－x(1－)\n6．函数f(x)＝－6＋2x的零点一定位于区间(　　)A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(5,6)答案　B解析　f(1)＝－3<0，f(2)＝－<0，f(3)＝>0，故选B.7．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　　)A．f(6)>f(7)B．f(6)>f(9)C．f(7)>f(9)D．f(7)>f(10)答案　D解析　y＝f(x＋8)可看作是y＝f(x)左移8个单位∴y＝f(x)关于x＝8对称，两侧单调性相反．8．已知函数f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a>0，且a≠1)，在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是(　　)答案　B解析　观察选项，在01情况下，对三个函数的图象分析可知，A、C、D均不符合．选B.9．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b－3(x∈R)图象恒过点(2,0)，则a2＋b2的最小值为(　　)A．5B.C．4D.答案　B解析　∵f(x)＝x2＋ax＋b－3的图象恒过点(2,0)，∴4＋2a＋b－3＝0，即2a＋b＋1＝0，则a2＋b2＝a2＋(1＋2a)2＝5a2＋4a＋1＝5(a＋)2＋，∴a2＋b2的最小值为.10．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f(log5)的值等于(　　)A．－1B.C.D．1答案　D解析　由f(x＋1)＝f(x－1)，知f(x＋2)＝f(x)，函数y＝f(x\n)是以2为周期的周期函数．因为log5∈(－2，－1)，log5＋2＝log∈(0,1)，又f(x)为偶函数且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋，∴当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋，所以f(log5)＝f(log5＋2)＝f(log)＝3－log＋＝3log3＋＝＋＝1，故选D.11．已知函数f(x)＝2x＋lnx，若an＝0.1n(其中n∈N*)，则使得|f(an)－|取得最小值的n的值是(　　)A．100B．110C．11D．10答案　B解析　分析|f(an)－|的含意，估算2x＋lnx与最接近的整数．注意到210＝1024,211＝>，∵ln11∈(2,3)，∴x＝11时，2x＋lnx与最接近，于是，0.1n＝11，∴n＝110.12.如图是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成，函数S＝S(a)(a≥0)是图形介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分面积，则函数S(a)的图形大致为(　　)答案　C解析　(1)当0≤a<1时，S(a)＝2×1×a＋×a[1＋(1－a)]＝－(a－3)2(2)1≤a<2时，S(a)＝＋2a(3)2≤a<3时，S(a)＝a＋\n(4)a≥3时，S(a)＝综上S(a)＝二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共把答案填在题中横线上)13．已知f(x)＝ax－，f(lga)＝，则a的值为________．答案　10或10－解析　alga－＝，两边取10为底的对数得(lga－)·lga＝，解得lga＝1或lga＝－，故a＝10或a＝10－.14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(1.5)＝________.答案　2.5\n解析　f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝f(x)，故T＝4，∴f(1.5)＝f(1.5－4)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.15．某厂有形状为直角梯形的边角料，现从中截取矩形铁片(如图所示)，当矩形面积最大时，矩形的两边x，y分别应为______．答案　x＝15，y＝12解析　由三角形相似的性质可得：＝，∴16x＝480－y＝24－x.∴S＝x·y＝x·(24－x)＝24x－x2＝－(x－15)2＋×152.当x＝15，y＝12时，S最大．16．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a，b)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)答案　(2,3)解析　∵f(2)f(4)<0，f(2)f(3)<0，∴f(3)·f(4)>0，故x0∈(2,3)．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(1)写出f(x)的单调区间；(2)若f(x)＝16，求相应x的值．解析　(1)当x<0时，f(x)在(－∞，－2]上递减，在(－2,0)上递增；当x>0时，f(x)在(0,2]上递减，在(2，＋∞)上递增．综上，f(x)的单调增区间为(－2,0)，(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－2]，(0,2]．(2)当x<0时，f(x)＝16，即(x＋2)2＝16，解得x＝－6；当x>0时，f(x)＝16，即(x－2)2＝16，解得x＝6.故所求x的值为－6或6.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－.(1)求x<0时，f(x)的解析式；(2)试证明函数y＝f(x)(x≥0)在[0,1]上为减函数．解析　(1)任取x<0，则－x>0，∵f(x)是偶函数，\n∴f(x)＝f(－x)＝－＝(x<0)．(2)任取x1，x2∈[0,1]，且x10，x＋x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴y＝f(x)(x≥0)在[0,1]上为减函数．19．(本小题满分12分)已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)．(1)若函数f(x)有三个零点，并且已知x＝0是f(x)的一个零点．求f(x)的另外两个零点；(2)若函数f(x)是偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1.求f(x)在[－4,0]上的解析式．解析　(1)由题意，可知f(2＋x)＝f(2－x)恒成立，即函数图象关于x＝2对称．又因为f(0)＝0,0关于x＝2对称的数为4，得f(4)＝f(0)＝0.∴4也是f(x)的一个零点．图象关于x＝2对称且有三个零点，则只有f(2)＝0.∴f(x)另外两个零点为2,4.(2)设x∈[2,4]，则该区间关于x＝2对称的区间为[0,2]．x关于x＝2对称的点为4－x，即4－x∈[0,2]，4－x满足f(x)＝2x－1，得f(x)＝7－2x.∴在x∈[0,4]时，f(x)＝又∵f(x)为偶函数，可得x∈[－4,0]的解析式为f(x)＝知f(x)＝x2－x＋k，且log2f(a)＝2，f(log2a)＝k(a＞0，a≠1)(1)求a，k的值；(2)当x为何值时，f(logax)有最小值？并求出该最小值．解析　(1)由题得由(2)得log2a＝0或log2a＝1解得a＝1(舍去)或a＝2由a＝2得k＝2(2)f(logax)＝f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2当log2x＝即x＝时，f(logax)有最小值，最小值为.21．(本小题满分12分)某厂家拟在举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．\n(1)将该产品的利润y(万元)表示为m的函数．(2)该厂家的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大．分析　(1)本题含有多个计算公式：年利润＝年销售收入－总成本；年销售收入＝年销售量×销售价格；总成本＝产品成本＋促销费用；销售价格1.5×每件产品平均成本；产品成本＝固定投入＋再投入；每件产品年平均成本＝产品成本/年销售量．(2)转化为求函数y＝f(m)的最大值．解析　(1)由题意可知当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k，即k＝2.∴x＝3－.由题意，得每件产品的销售价格为1.5×(元)，则的利润y＝x[1.5×]－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8(3－)－m＝－－m＋28(m≥0)，即y＝－－m＋28(m≥0)．(2)下面证明当0≤m≤3时，函数y＝－－m＋28是增函数．设0≤m1＜m2≤3，则y1－y2＝(－－m1＋28)－(－－m2＋28)＝(－)＋(m2－m1)＝＋(m2－m1)＝(m1－m2)[－1]，∵0≤m1＜m2≤3，∴m1－m2＜0,0＜(m2＋1)(m1＋1)＜16.∴＞1.∴－1＞0.∴y1＜y2.∴当0≤m≤3时，函数y＝－－m＋28是增函数．\n同理可证，当m＞3时，函数y＝－－m＋28是减函数．则当m＝3(万元)时，ymin＝21(万元)，∴该厂家的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．[注]：也可用导数法求最值．22．(12分)(1)已知函数y＝ln(－x2＋x－a)的定义域为(－2,3)，求实数a的取值范围；(2)已知函数y＝ln(－x2＋x－a)在(－2,3)上有意义，求实数a的取值范围．解　(1)据题意，不等式－x2＋x－a>0的解集为(－2,3)，∴方程－x2＋x－a＝0的两根分别为－2和3.∴a＝(－2)×3＝－6.(2)据题意，不等式－x2＋x－a>0的解集{x|－x2＋x－a>0}⊇(－2,3)，∴方程f(x)＝－x2＋x－a＝0的两根分别在(－∞，－2]和[3，＋∞)内．∴⇒.∴a的取值范围为a≤－6.