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- 2022-07-20 发布
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课时作业(三)一、选择题1．下列全称命题中假命题的个数( )①2x＋1是整数(x∈R)；②对所有的x∈R，x>3；③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；④任何直线都有斜率．A．1 B．2C．3D．4答案 C解析 ①②④是假命题．2．下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B3．(·皖南八校)下列命题中正确的是( )A．对所有正实数t，有0D．不存在实数x，使x3＋x＋1＝0答案 C解析 选项A不正确，如t＝时，有>t；选项B不正确，如x＝3<4，而x2＋5x－24＝0；选项D不正确，设f(x)＝x3＋x＋1，f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，故方程x3＋x＋1＝0在(－1,0)上至少有一个实数根．对于C，x＝－1时即满足条件，故选C.4．已知命题p：∀x∈R，x2＋x－6<0，则命题綈p是( )A．∀x∈R，x2＋x－6≥0B．∃x∈R，x2＋x－6≥0C．∀x∈R，x2＋x－6>0D．∃x∈R，x2＋x－6<0答案 B解析 全称命题的否定为特称命题，选B.5．(·辽宁卷)已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)答案 C解析 由题知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，f(x)≤f(x0\n)是错误的，选C.6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为( )A．m≥2B．m≤－2C．m≤－2或m≥2D．－2≤m≤2答案 A解析 若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则綈p：∀x∈R，mx2＋1>0与綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据綈p：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，根据綈q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.二、填空题7．命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∃x0，y0∈R，x0＋y0>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假8．(·安徽卷)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案 对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠09．(·江南十校联考)若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．答案 －2≤a≤2解析 因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－2≤a≤2.10．(·新课标全国卷)已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R为减函数．则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．答案 q1，q4解析 p1是真命题，则綈p1为假命题；p2是假命题，则綈p2为真命题；∴q1：p1∨p2是真命题，q2：p1∧p2是假命题，∴q3：(綈p1)∨p2为假命题，q4：p1∧(綈p2)为真命题．∴真命题是q1，q4.11．已知：p：>0，则綈p对应的x的集合为______．答案 {x|－1≤x≤2}解析 p：>0⇔x>2或x<－1∴綈p：－1≤x≤212．设命题p：若a>b，则<；命题q：<0⇔ab<0.给出下面四个复合命题：①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨(綈q)．其中真命题的个数有________个．答案 2个解析 p假，q真，故①④真三、解答题13．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧\nq为真，求实数m的取值范围．答案 －2≤m≤－1解析 2x>m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m<0.若p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真，则mx2－2x＋m<0对任意的x∈R恒成立．当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立；当m≠0时，有∴m<－1.若q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.又p∧q为真，故p、q均为真命题．∴∴－2≤m<－1.14．已知命题p：|x2－x|≥6;q：x∈Z，若“p∧q”与“綈q”同时为假命题，求x的值．答案 －1,0,1,2解析 ∵“p且q”为假，∴p、q中至少有一个命题为假命题；又“綈q”为假，∴q为真，从而知p为假命题故有即得∴x的值为：－1,0,1,215．已知命题p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q：函数y＝(2a－1)x为减函数，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．答案 0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∃x∈R，x2＋x－1≥0答案 B解析 若p∨q为真命题，则p、q有可能一真一假，此时p∧q\n为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．2．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( )A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根答案 C解析 特称命题的否定是全称命题．3．(·安徽卷，理)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．答案 存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”4．已知数列{an}，那么“对任意的n∈N*，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上”是“{an}为等差数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 充分不必要解析 对任意的n∈N*，点Pn(n，an)在直线y＝2x＋1上，所以an＝2n＋1，则数列{an}为等差数列；而{an}为等差数列，例如an＝3n－5是以3为公差，以－2为首项的等差数列，点(n，an)却不都在直线y＝2x＋1上．
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