【高考调研】高考数学精品复习 课时作业(十三) 6页

课时作业(十三)一、选择题1．若f′(x0)＝a≠0，则li＝(　　)A．a　　　　　　　　　　　B．－aC.D．－答案　A2．(·衡水调研)已知函数f(x)＝－cosx＋lnx，则f′(1)的值为(　　)A．sin1－1B．1－sin1C．1＋sin1D．－1－sin1答案　C解析　∵f(x)＝－cosx＋lnx，∴f′(x)＝＋sinx，∴f′(1)＝1＋sin1.3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则(　　)A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案　B解析　切线方程为y＝－2x＋1，∴f′(x0)＝－2<04．(·新课标全国)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)A．y＝x－1B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2答案　A解析　由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得在点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.5．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　)A．f(x)＝g(x)B．f(x)＝g(x)＝0C．f(x)－g(x)为常数函数D．f(x)＋g(x)为常数函数答案　C6．(·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)A．64B．32C．16D．8答案　A解析　求导得y′＝－x－(x>0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝y′|x＝a＝－a－，由点斜式得切线l的方程为y－a－＝－a－\n(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a－，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.7．(·辽宁卷)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)答案　D解析　设曲线在点P处的切线斜率为k，则k＝y′＝＝，因为ex＞0，所以由均值不等式得k≥，又k＜0，∴－1≤k＜0，即－1≤tanα＜0，所以≤α＜π.8．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)A.B．－C.D．－或答案　B解析　f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴(－a，－1)为顶点的抛物线．∴(3)是对应y＝f′(x)的图象∵由图象知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0.∴a2－1＝0，a<0∴a＝－1∴y＝f(x)＝x3－x2＋1∴f(－1)＝－选B.二、填空题\n9．曲线y＝tanx在x＝－处的切线方程为______答案　y＝2x＋－1解析　y′＝()′＝＝，所以在x＝－处的斜率为2，曲线y＝tanx在x＝－处的切线方程为y＝2x＋－1.10．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________.答案　－2解析　由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2)∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.11．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案　3x－y－11＝0解析　y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3≥3当且仅当x＝－1时取等号，当x＝－1时y＝－14∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)即3x－y－11＝012．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝______答案　3解析　在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，∴点M在y＝x＋2上．∴f(1)＝·1＋2＝.f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝3.13．(09·江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．答案　4解析　依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.三、解答题14．(·济南统考)点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．答案　解析　y＝x2－2ln＝x2－lnx(x>0)，y′＝2x－，令y′＝1，即2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y\n＝x－2的距离即为所求．15．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．答案　y＝－x，(，－)解析　∵直线过原点，则k＝(x0≠0)．由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x－3x＋2x0，∴＝x－3x0＋2.又y′＝3x2－6x＋2，∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2.∴x－3x0＋2＝3x－6x0＋2.整理得2x－3x0＝0.解得x0＝(x0≠0)．这时，y0＝－，k＝－.因此，直线l的方程为y＝－x，切点坐标是(，－)．1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f(x)＝(　　)A．sinx　　　　　　　　　B．－sinxC．cosxD．－cosx答案　D解析　f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知周期为4.∴f(x)＝f3(x)＝－cosx.2．已知曲线S：y＝3x－x3及点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为(　　)A．0B．1C．2D．3答案　D解析　显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x0切线方程为：y－(3x0－x0)＝(3－3x0)(x－x0)∵P(2,2)在切线上∴2－(3x0－x0)＝(3－3x0)(2－x0)即x0－3x0＋2＝0(x0－1)(x0－2x0－2)＝0由x0－1＝0得x0＝1由x0－2x0－2＝0得x0＝1±.\n∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．3．(09·安徽)设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是________．答案　[，2]解析　∵f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)．∵θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]，∴sin(θ＋)∈[，1]．4．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于y＝x的切线，则二切线之间距离为________．答案　解析　y＝x(x＋1)(2－x)＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2，令－3x2＋2x＋2＝1得x1＝1或x2＝－∴两个切点分别为(1,2)和(－，－)切线方程为x－y＋1＝0和x－y－＝0d＝＝5．(·山东卷，文)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．解析　当a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.又f(2)＝ln2＋2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.1．(·海淀区)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x＝5处的切线的斜率为________．答案　0\n解析　由题意得f′(5)＝＝＝f′(0)，且f′(0)＝＝－＝－f′(0)，f′(0)＝0，因此f′(5)＝0.