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- 2022-07-20 发布
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课时作业(十四)一、选择题1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是( )A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案 C解析 ∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0得－10时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)·ex>0解得：x>2.3．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( )A．(0，)B．(，＋∞)C．(－∞，)D．(－∞，a)答案 A解析 由f′(x)＝－a>0得0g′(x)，则当ag(x)B．f(x)g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)答案 C解析 ∵f′(x)>g′(x)，∴[f(x)－g(x)]′>0，∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数．∴f(a)－g(a)g(x)＋f(a)．7．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且f(－3)·g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)答案 D解析 f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数∴f(x)·g(x)为奇函数x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0即x＜0时，[f(x)·g(x)]′＞0∴f(x)·g(x)为增函数，且f(－3)·g(－3)＝0根据函数性质可知，f(x)·g(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)8．(·东北三校)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则( )A．a0，即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)2解析 假设y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上是单调递增函数，则f′(x)＝y′≥0恒成立．即x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，所以Δ＝4b2－4(b＋2)≤0成立，解得－1≤b≤2，故所求为b>2或b<－1.11．函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________答案 (2，＋∞)解析 令g(x)＝f(x)－x∴g′(x)＝f′(x)－1由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数∵g(2)＝f(2)－2＝0∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．12．(·宁波十校联考)已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，f(－4)，f()，f(－)的大小关系为______(用“<”连接)．答案 f()0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．14．(·湖南卷，文)已知函数f(x)＝＋x＋(a－1)lnx＋15a，其中a<0，且a≠－1.讨论函数f(x)的单调性．解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)．\nf′(x)＝－＋1＋＝.①若－10；当－a1时，f′(x)>0，故f(x)分别在(0，－a)，(1，＋∞)上单调递增，在(－a,1)上单调递减．②若a<－1，同①可得f(x)分别在(0,1)，(－a，＋∞)上单调递增，在(1，－a)上单调递减．15．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析 f′(x)＝ex－a.(1)若a≤0，f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即f(x)在R上递增．若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)．(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立，∴a≤(ex)min.又∵ex>0，∴a≤0.(3)由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立，∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵ex在(－∞，0]上为增函数，∴x＝0时，ex最大为1，∴a≥1.同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上可知：a＝1即存在a＝1满足条件．16．(·新课标全国卷)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．解析 (1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加．(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)0，排除C选A.4．(08·全国Ⅰ)若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，则a的取值范围是( )A．a＞0B．－1＜a＜0C．a＞1D．0＜a＜1答案 A解析 y′＝a(3x2－1)解3x2－1＜0得 －＜x＜∴f(x)＝x3－x在(－，)上为减函数又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－，)．∴a＞0\n5．(·皖南八校)已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)函数y＝f(x)的图象在x＝4处的切线的斜率为，若函数g(x)＝x3＋x2[f′(x)＋]在区间(1,3)上不是单调函数，求m的取值范围．解 (1)f′(x)＝(x>0)，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)由f′(4)＝－＝，得a＝－2，则f(x)＝－2lnx＋2x－3，∴g(x)＝x3＋(＋2)x2－2x，∴g′(x)＝x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数，且g′(0)＝－2<0，∴∴故m的取值范围是(－，－3)．
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