从数学高考命题谈数学高考解题(续) 4页

解题熄数嚏赦鸣参鸯～一一。一÷忌想法电畿。‘心0誉2o09年第l1期(上旬l瓣学嵩孥毹题数学高考解题(续)罗增儒(陕西师范大学基础教育课程研究中心)理能力，所以应用了直接设问的方式(见例I1)；而3案例讲解对文科考生，着重考查考生猜想、直觉判断，再加以论篇幅所限，仅谈“以能力立意命题”和“数学思想证的能力，所以其设问为例1—2．方法的考查”两个案例，均涉及命题与解题．从以上的命题过程可以看出，以能力立意命题拓3．1案例1：以能力立意命题展了命题思路，在选材时视野更为宽广，不拘泥于学科知识的束缚，更多地着眼于学科的一般的思想方例1—1已知函数厂()tan，∈(0，詈1，若法，着眼于有普遍价值、有实际意义的问题，或实用背景．选材的观点提高了，命题者关注的是反映能力与zl，2∈f0，詈1，且z1≠z2，证明、厶，潜能的本质特征，解决问题时的思维与操作活动的心[厂(z。)+厂(。)]>厂()．理过程，体现思维品质与技能的典型问题，并以其为核心选用题材，构筑试题，使之对知识和能力的考查(1994年高考数学理科第22题，12分)容易实现和谐统一的要求．以能力立意命题利于题型例1—2已知函数_厂()=lqg。(n>0且Ⅱ≠1，设计，易于形成综合自然、新颖脱俗的试题．因为现实1z∈R)，若，zz∈R，判断寺[厂()+厂()]与世界的问题本身就是综合的，以能力立意命题，从问题人手，不囿于具体的知识和资料的束缚，用统一的_厂f半)N)kd,，并加以证明．观点组织材料，对知识的考查自然地倾向于理解和应用，尤其是综合和灵活应用，所考查的知识也往往是(1994年高考数学文科第22题，I2分)学科的主体知识，或者是知识网络结构中交汇点部(1)命题意图(参见文[2]P．296)分．因此也较易形成不同综合程度的系列试题．可减本题在命题之初的基本立意是考查代数抽象推少试题的反复修改，可节省命题时间．同时这样设计理，背景是高等数学中函数的凸、凹性．在确定这一立的试题，深入浅出，不落窠臼．意以后，选用了各种函数，如(2)试题讲解(仅谈例1—1)厂()一sin-r；厂()一COSz；讲解1(差异分析法)：求证式可具体化为_厂()一tan；厂(Lz)一cotz；1／～—L一、．厂(|r)一log；厂(z)一lg；÷(tan1+tan2)>tanf)．①厶＼厶，_厂(z)一。；_厂(z)一zi1；观察左、右两边可以找出差异：_厂(z)za．差异1：两边函数名称相同，但角不一样．对这一因为当年数学科需要命制四种试卷，其要求从高到目标差立即作出反应，变为同角同名函数：低依次为老高考理科、新高考理科、老高考文科、新高考Xltantan等文科．鉴于考查要求的不同，经过比较，决定老高考理科f_一——————三————．②选定正切函数，老高考文科选定以a为底的对数函数(需一tan。每一tan詈一tan等tan等要分口>1和O，③②在编制设问时也是考虑到不同试卷的考查特一a。1一b1一ab’点，例如对理科试卷，目的是考查考生严密的逻辑推很清楚，两边都有a、b，都有商的形式，差异在于\n解荦巾思想方法一中学墨学磬节分23心2oo9"~f1期止旬l运算方式不同，左边是加式．为两项之和，右边是一又由OC为AOB的半分线，知项，表现为商的形式，立即做出反应，对左边通分合c一号(ToB+11OA)一字，并．可得“b(“+6)(1一ab)．一且tan半的函数线为TC．有十一二‘比较式③与式④的右端，分子出现了相同因子aTC—TB+BC+6，但式④多了1一n?)，为消除此差异，设法变通式④<[(丁B+Bc)+(丁B+cA)]的分母，使出现1一ab的项，从而有“，b(a+b)(1一ab)==I~TB+(TB+BC+CA)]i二十F。一‘1(TB+丁A)差异3：对比式③与式⑤的差异，只需做一步缩一百．小便可完成全题的证明．即tan半<÷，一一±鱼!二堡垒1一a2l—b：(1～“6)：一(“一6)2>(1一．(因。≠6．故不取等得证丢[厂()q-f(J22)]>厂()．ab)：1一ab一“⋯‘讲解3(答题技术)：如果在考场采用下面的证法号)而又遇到障碍怎么办?这跟平时做作业不一样，可以其中⑤式大于0能保证分母放大时分式的值运用答题技术呈现知识点、踩住得分点缩小．tan5Cl+tan372一+证明1：w-L—f()+_厂(：)]COS1COS’!!±!!tan鲁tan等COS1COS2一————一J一——————卜ta卜ta等COS(-T1+z2)+COS(1一z2)’⑥(tan+tan等)(一tan等tan等)做到这一步需要讨论分子、分母大于0，然后分(一tan每tan等)一(tan等一tan等)母放大：00害1+COS(⑦1≤一厂()．1+2)一tan鲁tan鲁zzcl-i-．1"2：tan———一．⑧讲解2：这个问题有明显的几何意义，即正切函数厂()一tan，∈(0，号)为凹函数，但是用正切函即丢+厂(-／'2)]>厂()．⑨数的图象来证明本例会陷于“逻辑循环”，一个“数形但是“讨论”这一步过不去，怎么办?有两个办法：证明2：不妨设<。，如图．J’办法1：缺步解答．把上述解法写下来，就到第⑥在单位圆上分别作出tanx、tanx?式，12分的题可以得6分．C的函数线TB、TA，由丁B<丁A知办法2：跳步解答．由结论的需要想到⑧式和⑦OB：c；(3：r)一(一1)．r=0解：设厂(z)-(2十,／X)，贝0与已知条件作比较，得(d0+a2+Ⅱ)一(a1+n3)n6=C3(一1)，r一0，1，2，⋯，6，一(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+＆4一a1一a3)则＆6+aj+a4+＆3+a2+日1+ao===厂(1)厂(一1)一(2+,／g)(一2+,／g)6一c；36一r(一1)r一(3—1)e一26．-_(4—3)一1，选A．r=0说明：按照这个解法，本题涉及二项式定理，有3说明：若逐一求出a。一16，a1===32√5，a2—120，a3个求解步骤：求a，；求和；得结果．但是，这个解法先求=40，a一25，得原式一161。一(72~／)。一25921出a再消去a有明显的思维回路；而由最后一式知，—25920—1，运算太麻烦，还容易出错．若把所求式展最终归结为一1的计算，这可以由“差异分析”直接开为a+a十a；一a；一a；+2a0a2+2aoa4+2a2a4解题得中出心．—2aa。，知识没有问题，但会由于求不出结果而导致解法2：让我们将已知式与求值式逐项对齐，并思路中断，这些都叫做高考解题的“策略性错误”．进行差异分析例2—4若(1—2or)一ao+alz+a2z+⋯(-／6+d5．32；++砚-r3+口2十。1+a0一(3一1)，+a2㈨。(∈R)，则(a0+a1)+(ao+a2)+(a0a6+++铂+a2+a1+ao===?+a。)+⋯+(a。+Ⅱ)一．(用数字作答)可见，已知式中的项有字母z，结论中的每一项都(2004年高考数学天津卷理科第(15)题)没有字母z．“没有字母”是什么意思?可以理解为每解：设．厂(z)一(1—2)。o，贝0一项中的字母工都等于1，消除差异的办法应同时取(口。+a1)十(no+a2)十⋯+(no十n2)一1，一1，一一1，。一1，=1，lz一1，一2003f(0)十厂(1)===2003+(1—2)一2004．所以取z一1代人已知式，得例2—5已知(1一)。一no十al+a2+a3。n6+aj+a4+a3+a2+a1+a0=(3—1)一32．+n4z+口5z，则(a0+a2+a4)(a1+n3+a5)的值等说明：可见，在差异分析观点之下，取值z一1就于．不是一个妙手偶得的特殊技巧了，而是一个策略思想(2007年高考数学安徽卷文科第(12)题)的具体实施，并且，这一经验的积累，又与“特殊化”、解：分别取等于1和一1，有“整体处理”的策略思想相通，可以用来处理很多数学a0+a1+＆2+a3+a4+05—0，问题，比如下面几道类似而又有变通的高考题：日0以l+“2一n3+a4一Ⅱ5—2．例2—2已知(1—2)一日0+al+a2z2+⋯+解得＆o+a24-口4一一(口I+a3+日)一16，“7，那么al+n2+⋯十a7一．所以(“0+n：+Ⅱ4)(＆l+“3+aj)一一256．\n解荦中思想方法～中学数学教学参考25．心2∞9年翱1期止旬)．例26若(一2)j一6／jj+Ⅱ4Lr+(=c3,95。+＆2启示1：为什么7年都考此类题呢?从解法看并+nl』¨十‰，则Ⅱl+d2十“3+Ⅱl+nj一．(用数未考到二项式定理，对所给定的恒等式取值时主要不字作答)是考某个知识点，而是考“特殊与一般的基本数学思(2008年高考数学福建卷理科第(13)题)想”，“分类与整合的基本数学思想”(主要是整体处解法类似例2—2，答案为31．理)．如果不是“考查数学思想方法”，那么按照“取值”例2—7若(1—2x)一Ⅱ。+a1+⋯+a2㈣的解法，我们难以从《考试大纲》的考试内容中找到出题的理由，更别说二十几年反复出现了．『2·(∈R)．m4~t十6／2+⋯+的值为启示2：由7年都考此类题。可感悟高考解题的两A．2B．O(：．一1D．一2个基本思路：模式识别(化归为课本已解决过的问题、(2009年高考数学陕西卷理科第(6)题)化归为往届的高考题)，差异分析．解：设，、()一(1—2)。。，则参考文献／’(0)一6／，1，1罗增儒．怎样解答高考数学题．西安：陕西师范大学出版社，1994／、(吉)一~6／z~qa2"-4_⋯+参一o．2张奠宙、宋乃庆主编．数学教育概论[M]．北京：高等教育出版社，2004．相减，2一--生2~+⋯+一l厂(—)一厂(o)一。一1一一1．(续完)(上接第21页)要求，就导致教材内容结构的逻辑性大大降低，这与方面和谐起来，能使高一高二年级有一定的层次数学学科逻辑严密性和数学教材系统性的突出特点性．”：：不相符合，从而影响教与学．可以设想，如果再进一步广东省深圳外国语学校谢增生老师指出：“高中把模块课时统一减少，就将对教材内容的安排增加更教材亟待解决的一个问题是模块教学与知识体系问多的困难，从而更加影响教材内容的系统性和逻辑题：模块教学要求小步走，螺旋式上升，使知识体系被性．中学数学传统教学内容中如初等代数、三角函数、打乱，一种知识分成几个不同部分，分散于不同模块，立体几何、解析几何和概率统计的基础知识是高中学不成体系，导致跳跃式地讲授知识，许多工具性的内生应该掌握的数学基础知识，这些内容应该作为高中容后置或被删除，如集合、函数中都用到的一元二次数学的必修内容，按这些内容本身的逻辑体系安排这不等式的知识，要到数学5才出现．螺旋式上升与新些学科分支的教材内容，并应考虑教学内容之间的互课程倡导的积极主动、勇于探索的学习方式存在不和相联系，必修内容是否就不必再设置模块，而是按学谐之处．”他提出应该调整顺序，完善学科知识体系期确定教学内容．在确定了必修内容以后的其他内使教材内容符合学生的认知规律．容，如微积分的初步知识及目前的一些选修模块和专安徽省巢湖市教育局教研室张永超老师也指出：题的教学内容，则可作为选修课程．这样，既保证了课“不等式、三角函数等都是数学学习的基本工具，以前程的灵活性和选择性，又兼顾了数学课程的必要的逻的大纲及其配套教材是将解一元二次不等式放在初辑性和系统性，而教学内容的学分可根据相应教学内中，或放在高一起始阶段学习的，但是《课标》却将解容的分量等因素加以确定．一元二次不等式与简单的线性规划、均值不等式集中参考文献1陈小红．关于新课程必修模块不同教学顺序教学安排的实在一起，安排在必修数学5中，这不便于函数、集合知践与思考(之一)[J]．中学数学教学参考(上半月)，2008，5识的教学．”“必修数学2中。解析几何内容只涉及圆2孙福明．苏教版高中数学教材使用过程中的若干感受[j]．与方程，而双曲线、椭圆与抛物线的定义、标准方程和中学数学月刊，2007，10几何性质等内容却被安排在选修系列1、选修系列23朱耀习．关于新课程必修模块不同教学顺序教学安排的实中．因此只要求取得高中毕业学分而不参加高考的学践与思考(之二)[J]．中学数学教学参考(上半月)，2008，5生．则难以学到圆锥曲线的相关知识，对这些学生数4谢增生．对新课标下高中数学教材的几点思考[J]．中学数学素养的培养十分不利．《课标》在必修数学2平面解学研究．2007．11．5孙立群．高中数学新课标必修模块教学举要[J．中学数学析几何初步中列出了有关空间直角坐标系的内容，不教学，2007，3仅与章节名称不符。而且这里的空间直角坐标系与选6张金良，朱成万．对浙江省高中数学新课程实验的调查与修21中‘空间中的向量与立体几何’相关内容相隔思考[J]．教学月刊，2007．3太远。也属知识割裂的表现．”¨7张永超．关于《普通高中数学课程标准(实验)》适用性和科由于一个模块的课时限制，为了符合模块的课时学性的几点思考．数学教育学报[J]，2008，2