高考数列总结 12页

目录1•引言错误!未定义书签。2.数列与不等式结合的研究错误！未定义书签。2.1、求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题32.2、数列参数与不等式的证明问题42.3、求数列中的最大值62.4、求解探索性问题83•构造数列在证明屮的运用93.1、构造数列证明不等式93.2、构造数列证明整除性103.3、构造数列证明恒等式114•结束语115•参考文献12\n数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【内容摘要】数列一直以来都是高中数学比较重要的一个知识点，而不等式在高屮数学屮所占的比例也相比较的突岀，数列与不等式相结合的题型在高屮数学中更是以不同的方式出现在题冃中，这一直以来都是同学们的一个觅难点，很多学生都不能很好地把握住解题的要领，不知道如何运用什么样的方法來解决数列与不等式交汇题型，那么在木论文中给出了数列与不等式交汇题型的儿种解决方法，运用构造法、比较法、数学归纳法等来解决数列与不等式交汇题型，通过归纳-猜想-论证来解决题日。【关键词】数列；数列与不等式结合；构造数列证明不等式；比较法；构造法1引言数列与不等式的综合在高考屮时有出现，且多属屮高档题，通常是以数列作为载体考查不等式证明，不等式恒成立，求参数范围等。解题方法多变，思维性强。解决数列与不等式的难点就要明确数列中的不等式思想，熟练掌握不等式的比较法和构造法在数列中的灵活运用。比较法和构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，分析解题的思路从而使问题得以解决。比较法和构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法，基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程屮,若按习惯定势思维去探求解题途径比较怵1难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽n己思维范围，运用不同的方法解决不同的题型也是培养学生创造意识和创新思维的手段z-,同时对提高学生的解题能力也有所帮助。2数列与不等式结合的研究数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查。主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者Z间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明屮要注意放缩法的应用。此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视\n野的广度和进一步学习数学的潜能。近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视。2.1求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D,则当xGD时,有f(x)NM恒成立f(x)minMM；f(x)WM，恒成立f(x)maxWM；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得。例1：等比数列｛色｝的公比q>l,第17项的平方等于第24项，求使a】+禺+・・・+a”>古+丄+•••+丄恒成立的正整数n的取值范围.'a2an分析：利用条件屮対项间的关系，寻求数列首项勺与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围。解：由题意得：(附”)2二角严,.・.附9=1.曲等比数列的性质知：数列｛丄｝是an以丄为首项，以丄为公比的等比数列，要使不等式成立，则须®qn丄[i-(-)n]"W—,把a^=q^代入上式并整理，得7怡⑷_1)〉讥1_丄)，g-ii_丄qqq”>q'9,・・・q>l,・・・n>19,故所求正整数的取值范围是n>2Q・点评：本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果•本题解答体现了转化思想、方程思想及佔算思想的应用。例2：设数列⑺”｝的前n项和为S”,已知a严a,%严S“+3SwAT・(I)设bn=Sn-3nf求数列｛仇｝的通项公式;(II)若an^>an,neN*,求d的取值范围.分析：第(I)小题利用S”与色的关系可求得数列的通项公式；第(II)小题将条件转化为关于n与a的关系，再利用a,于是，当71^2时，an=S“-S“_]=3“+(a—3)X2心一3"」—(a—3)X2-2=2x3"」+(q—3)2-2,~/3、”-2-盼=4x3"T+(a-3)2心=2"-212--+a-3,12丿■■又・・・时，<3、”_2色+。请ol2・+Q—3°u*a$-9・乂a2=a】+3〉a】・・・・综上所述，所求的a的取值范围是[-9,+09).点评：一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解。本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视。2.2数列参与的不等式的证明问题\n此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根木的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的冃的。例3：已知数列｛%｝是等差数列,其前n项和为S”，a3=7,S4=24.(I)求数列｛色｝通项公式；(II)设p、q都是正整数，且pHq,证明5^<|(S2/,+S2l-(3c)w_1,neN*；(III)设Ovcy丄，证明：q；+...Q；〉刃+1,nwN"3121-3c分析：第(1)小题可考虑用数学归纳法证明；第(2)小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第(3)小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前ri项和求和，再进行适当放缩。解：(1)必要性：・・・缶=0,a2=\-c,\n乂・・・/w[O,l],0l)则ak+i=cal+1-c1-c=>0A«,+1e[O,l],由数学归纳法知①e[O,l]对所有成立.⑵设Ovc<],当72=1时，d]=0,结论成立.3当22时,Jd.=ca【i+1-c,l-an=c(l-%)(1+an_x+2,结论成立.311-3c当空2时,由(2)知an>\-(3c)n~l>0:.疋>(l-(3c)n~l)2=1-2(3c)”"+(3c)2(n-°>1-2(3c)”tcij+a；+•••+a；=a；+•••+a；〉a?—1—2[3c+(3c)~+…•+(3c)"1]门2(1-(3c)")、小2=n+l>/?+l1-3c1-3c点评：木题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意•木题的第(I)小题实质也是不等式的证明。2.3求数列中的最大值问题\n求解数列屮的某些最值问题，有时须结合不等式來解决，其具体解法有：（1）建立1=1标函数，通过不等式确定变量范用，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值。例5：设等差数列a｝的前,2项和为S”，S4>10,S5<15,则印的最大值是•分析：根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项al与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，曲此可确定a4的最大值。解：由题意得：・・•数列｛%｝的前〃项和为S”，且S4>10,S5<154x3仙+——dnio12=5x4,*5d]+d<15125—3d2+3d=5+3d2,為=角+3d=(q+2d)+d=3+d即dG聖輕5偽53+〃，贝Ij5+3d56+2d,2a453+d<3+1=4故印的最大值是4.点评：本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列公差d是解答的关键，同时解答屮要注意不等式传递性的应用。例6：等比数列仗”｝的首项为q=2002,公比q二-丄，求：2（I）设/⑺）表示该数列的前项的积,求/⑺）的表达式;（II）当n取何值时，/⑺）有最大值.分析：第（I）小题首先利用等比数列的通项公式求数列｛色｝的通项，再求得/⑺）的表达式；第（II）小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值C\n解：(1)%=2002•(—*)”=于仇)=2002”・(一*)"(；~1)・仃I)由(I)知，得慣;(L竽,则当nW10时，£；；)：壮竽>1,/.|/(11)|>|/1(10)|>-->|/(1)|,当n^ll时，竽<1,|/(11)|>|/(12)|>|/(13)|>-,v/(H)<0,/(10)<0,/(9)>0,/(12)>0,・・・/(n)的最人值为/⑼或/(⑵中的最犬者.・・/(⑵・7(9)2002,2-(-)662720029•(-)362=2002冷7勞)>1・・・当心12时，加有最大值为心=2002嗨严.点评：本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较/(12)与/(9)的大小。整个解答过程还须注意/(n)屮各项的符号变化情况。2.4求解探索性问题数列与不等式屮的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在。若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果。例7：已知｛色｝的前n项和为S”，且色+S”=4・(I)求证：数列是等比数列;(II)是否存在正整数k,使弘三〉2成立.5,-2分析：第(I)小题通过代数变换确定数列°曲与色的关系，结合定义判断数列｛色｝为等比数列；而第(II)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理,确定此不等式成立的合理性。解:(I)由题意,an+S”=4,S”+]+an^｛=4,\n由两式相减，得(s“+]+%+])-(S”+。“)=0,即2an+[-an=0,an+i=^atl-乂2d]=S[+d]=4,・：a〕=2,・：数列｛陽｝是以首项6/)=2,公比为q=—的等2比数列。(II)由(I)知,得以=2[i-(|ri1-丄2又由亘二>2,得…〉2,整理得：-<2'-a<1,1|11<2^<-,S,-24-22~k-232・・・kwN*,・・・肝WN*,这与27(1,2)相矛盾,故不存在这样的k,使不2等式成立。点评：本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出孑盾时须注意条件“kWN*”，这是在解答数列问题屮易忽视的一个陷阱。3数列构造在证明中的运用数列构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用数列构造法解数学题可从中欣赏数学Z美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神人有裨益。3.1构造数列证明不等式相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果.构造数列，利用数列的单调性证明不等式。如果要证明不等式f(n)>g(n)f(neN).构造数列｛an｝：an=f(n)-若绚*(1)-g(l)»0且｛%｝是递增数列，即色〉％»0,于是证明T/(n)>g(n).例9：在Rt\ABC中，a,b为直角边的长，c为斜边的长.求证：an+bn3,ngN).\n/\a+lc丿(C丿构造数列｛an｝:%”+1-1又0<-3时，即-+--1<-+--1=0丿丿lc丿\^>则不等式a"+bn3,ne7V)成立.3.2构造数列证明整除性命题定理:对于数列｛an｝,mIan(an,tnwZ)的充要条件是:加I①且讪仏+i一色)•例10：试证n7+6!n(/?eN)能被7整除.证明：构造数列［an}:%二1+6!二7x103,atJ=n+6!/?an+l-an=(n+1)7+6!(n+1)—n7一6!n=(77+1)7-n1+6!证明：根据勾股定理可知/+戸=。2,即/、2a+ic丿UJ-1=0,显然有首项⑷=、2+b、1=0an~an-\Z、"+1a26+C冷5+c”+c>3+C>2+C^n+1+6!\n=7(n6+3n5+5n4+5n3+3n2+zt+105)则71仏屮—心)，又71也根据定理可知71%,即n+6!n(ngN)能被7整除.3.3构造数列证明恒等式1%+—设a〉0,f>0,7i>2,an-x点评：一•般要证明bn=bn成立，我们通常转化为证明仇•仇t成立。3结束语数列与不等式交汇主要以压轴题的形式岀现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查。主要考查知识垂点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用。此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能。数列构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学屮发现、类\n比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用数列构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间,启辿智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。【参考文献】[1]叶立军•初等数学研究[M].上海:华东师范大学出版社,2008.[2]曲一线・5年高考3年模拟[J]・北京：首都师范大学出版社教育科学岀版社,2012.