高考公式汇总 46页

高考数学公式定理规律汇总(精编版)集合1.元素与集合的关系xgA<=>xeCb,AxgCb,Ao亦A9•2.德摩根公式Cu(AnB)=CuA\jCuB;Cu(A\jB)=CuAnCuB■3.包含关系AC\B=A^>A\JB=BoAuBoQBuCMoAgB=O)^CUA\JB=R4.容斥原理card(AUB)=cardA+cardB-card(AAB)card{AUBUC)=cardA+cardB+cardC一card(APlB)-card(AC\B)-card(Br\C)-card(CAA)+card(AABAC)5集合{坷宀，…，。」的子集个数共有2”个;真子集有2”_i个;非空子集有2J个;非空的真子集有2"_2个.6.集合A中有M个元素，集合B中有N个元素，则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射.二次函数，二次方程7.二次函数的解析式的三种形式⑴一般式/(兀)二处彳+bx+c(aH0)；(2)顶点式/⑴=恥-疔+2工0)；⑶零点式/(x)=—)(“一兀2)(。H°)&解连不等式Nv/(x)0时，若2d［阳］max2a^［阳I,/(x)max=max{/(p)J(q)}/(x)min=minx=~T~G［〃，可f（x）=min!f（n）f（a｝］x=电Ip^1］⑵当avO时，若2d,则八兀丿minI八P），八q）［,若2a,/Wmax=rnax｛/（p）,/（^）｝/Wmin=min｛/（p）,/（^）｝11・一元二次方程的实根分布依据：若/（加）/5）＜°,则方程/（力=0在区间（加小）内至少有一个实根.设f{x)=x2+px+q则（1）方程/（x）=°在区问（®+°°）内有根的充要条件为f（m）=0或I2p2-4q>0』>m（2）方程/（兀）=°在区间曲）内有根的充要条件为/（肋/（"）V°或f\n)=0af(m)>0f(加)>0.f(斤)>0p2-4q>0pm<0时，若2d［阳］max2a^［阳I,/(x)max=max{/(p)J(q)}/(x)min=minx=~T~G［〃，可f（x）=min!f（n）f（a｝］x=电Ip^1］⑵当avO时，若2d,则八兀丿minI八P），八q）［,若2a,/Wmax=rnax｛/（p）,/（^）｝/Wmin=min｛/（p）,/（^）｝11・一元二次方程的实根分布依据：若/（加）/5）＜°,则方程/（力=0在区间（加小）内至少有一个实根.设f{x)=x2+px+q则（1）方程/（x）=°在区问（®+°°）内有根的充要条件为f（m）=0或I2p2-4q>0』>m（2）方程/（兀）=°在区间曲）内有根的充要条件为/（肋/（"）V°或f\n)=0af(m)>0f(加)>0.f(斤)>0p2-4q>0pm<0一j（3）方程/（兀）=°在区间（一°°“）内有根的充要条件为/（〃）<。或I212.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据⑴在给定区间（一00，*00）的子区间厶（形如[%0],（-汽0],k，+x）不同）上含参数的二次不等式.f（x,/）no（f为参数）恒成立的充要条件是/（兀,UninD.⑵在给定区间（一00/00）的子区间上含参数的二次不等式/（兀』）》°（/为参数）恒成立的充要条件是/（兀叽厶）a>00JqvO⑶/（x）=员+/z?+c>0恒成立的充要条件是I>°或®-4“v0.简易逻辑13.真值表Pq非pP或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假14.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有AI个至多有（川一1）个小于不小于至多有〃个至少有3+1）个对所有兀，成立存在某兀，不成立卩或彳F且F对任何兀，不成立存在某x,成立卩且q或「q逆命题15.四种命题的相互关系原命题互逆\n互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非P则非q互逆若非q则非P16.充要条件（1）充分条件：若PF,则P是9充分条件.（2）必要条件：若q=p,则”是$必要条件.（3）充要条件：若paq,且q=p，则〃是彳充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.函数17.函数的单调性（1）设X]*2G[d，b],X]H兀2那么（兀I一兀2）[/（西）一/（兀2）]＞°O./（和-/（心）＞oo/⑴在[%引易一吃上是增函数;/（西）一/（兀2）（西一兀2）[/（兀1）一于（兀2）]V0OV0O/*（兀）在[%]上是减函数.⑵设函数）=/（兀）在某个区间内可导，如果广（兀）＞°,则/⑴为增函数；如果则/⑴为减函数.如果函数八兀）和g（无）都是减函数，则在公共定义域内，和函数/（兀）+g（x）也是减函数；如果函数y=/⑺和“=g（Q在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数丿=/虫（劝1是增函数.18.奇偶函数的图彖特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，欧函数相反；如果一个函数的图彖关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0,则必有f（0）=0;⑴若函数=是偶函数，则/（兀+。）=/（一兀一。）；若函数y=f（x+a）是偶函数，则/（兀+d）=/（—兀+Q）a+bjv—⑵对于函数y=f（x\xER]ff（x+a）=f（h-x）恒成立，则函数/⑴的对称轴是函数2；两个\n_a+b函数y=/（x+q）与y的图象关于直线2对称.⑶若/（兀）=一/（一兀+叫则函数J=fM的图彖关于点2’对称；若/（劝=一/（兀+叫则函数>'=为周期为2d的周期函数.17.多项式函数P（X）二匕兀"+色-“心+•••+&）的奇偶性多项式函数P（x）是奇函数oP（兀）的偶次项（即奇数项）的系数全为零.多项式函数戶（切是偶函数oP（Q的奇次项（即偶数项）的系数全为零.18.函数y=/（x）的图象的对称性⑴函数）/（兀）的图象关于直线兀=Q对称o+切=Ma7）0fQa一兀）=/（兀）.a+b⑵函数尸/⑴的图象关于直线—2对称o/（Q+庶）=/（»愿）<=>f（a+b—mx）=f（tnx）■19.两个函数图象的对称性⑴函数）‘=/⑴与函数丿=/（一兀）的图象关于直线兀=°但卩丿轴）对称._a+b⑵函数>,=/（处一°）与函数V=/（b-加）的图象关于直线%2加对称.⑶函数V二/（X）和>，=厂°）的图象关于直线y=x对称.20.若将函数歹=/（兀）的图彖右移上移〃个单位，得到函数y=/（兀一d）+"的图象；若将曲线/（x,刃二。的图象右移。、上移b个单位，得到曲线/^-a,y-b）=0的图象.21.互为反函数的两个函数的关系f（a）=b^=>f~\b）=a若函数y=fg+b）存在反函数,则其反函数为⑴…刃并不是）,=[.厂血+”而函数円广仏+b）是r[/（x）一切的反函数.\n24・儿个常见的函数方程⑴正比例函数/（兀）=巴/（兀+刃=fM+f（y\/（I）=c⑵指数函数/（兀）=J/（兀+〉'）=/（力/（刃，/⑴=。北o⑶对数函数/⑴=s艮兀,/（小）=/（兀）+/（刃，/⑺）=is>o,Q工1）⑷幕函数/（兀）"丿5）=/⑴/。），/（!）=a⑸余弦函数/（x）=cos兀”正弦函数g（兀）=sin兀，f（x-y）=f（x）f（y）+g（x）g（y）,/(0)=l,lim^=lXT()X25.几个函数方程的周期（约定a>0）{1}f（x）=f（x^a）9则/（兀）的周期/(X+Q)=—-—(f(x)工0)⑵/(兀)=/(无+。)=0,或八/(/八丿/(x+a)或盘aw。）,或*如6心（"'（心［刖）,则加的周期“；f(x)=1!—(/(x)主0)⑶/(x+d)，则/(兀)的周期T=3a；f（xi工）=/3）+心2）⑷'21-/Ui）/U2）且/@）=1（/（州）・/（兀2）幻，°<1舛一兀2lv2o）,则/（x）的周期“4a；⑸/U)+/(x+Q)+/(x+26/)/(x+36/)+/(x+4z)=/W/U+«W+WU+WU+4<0/i/iijfM的周期T=5a.(6)Mx+°)=/⑴-/(X+°),则/(兀)的周期T=6a指数与对数26.分数指数幕加1--1Icn=Cln=—Im*⑴^a，n（a>0,m,nwN“,目斤>1）.（2）莎（ci>°,m,nwN",冃斤>1）27.根式的性质\n（1）（丽）（2）当〃为奇数时，历=a当〃为偶数时,a,a>0-a,a<028・有理指数幕的运算性质ar-as=ar+s(a>O,r,seQ)(2)3)s=a"(a>0,几sgQ)⑶（aby=a，b‘（a>0,b>0,rwQ）注：若a>0,p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用.29.指数式与对数式的互化式log"N=b0cP=N（a>0,qH1,TV>0）30.对数的换底公式呃”Nlog,”Q（d>0,且且加Hl,7V>0)logmbn=—log“bC推论"m（a>0,且q>1严，斤〉且加Hi严工1,N>0）31.对数的四则运算法则若a>0,aHl,M>0,N>0,贝9⑴log"（MN）=log“M+log„N:⑵bg"aT=logflM-log°N；⑶k）g“M"=nlog“M（gR）32.设函数了（兀）=log-（屁+bx+%北0），记^=b2-4ac.若fM的定义域为©则d〉0,且△V0；若/（X）的值域为心则&>°,且AYO.对于的情形，需要单独检验.33.对数换底不等式及其推广1牙丰—若d>°/>0严>0”0侧函数尸1°氐@兀）⑴当a>b时,在心方）和（2'+8）上）=log"（bx）为增函数⑵当a，=1°騒伽）为减函数.推论:设n>^>1,P>°,a>0,且QH1,则\n2rutil⑴呃丿（2）呃〃呢〃小驟丁.29.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为n,平均增长率为卩，则对于时间兀的总产值〉'，有y="（i+"）［数列30.等差数列的通项公式色二吗+⑺_1）力二dn+纠_〃⑺wNJ；s二呦+①）其前n项和公式为"2|n（n-l）~2-°Id——/?_+（4—d）n2236.等比数列的通项公式H.qgN*）q其前n项的和公式为l-qnax,q=\4°一'\少1\_qnax.q-\37.等比差数列仏｝：粘产*“+〃吗的通项公式为b+（刃一l）d,q=lan=bq”+（d-b）qi-dg-1其前n项和公式为nb+n（n-\}dX（l=1），idj—q"d（b一-——）——-+-——n^q工1）\-qq-\\-q38・数列的同项公式与前n项的和的关系H=1"U，-5n_1,n>2（数列SJ的前“项的和为必二坷+的+…+色）.39.分期付款（按揭贷款）ah^+hylX—每次还款（1+妙-1元（贷款Q元严次还清，每期利率为“）.三角函数40.常见三角不等式\nXG(0,—)(1)若2,则sinxl41•同角三角函数的基本关系式sin&sin2^+cos20-1,tan0=cos0,tan0-cotO=132.正眩、余弦的诱导公式sin(¥+o)=0)的周期3x$k兀+T函数y=tan（砂+°）,2’（A,。°为常数，且aHo,u）＞0）的周期力正弦定理亠丄=—=2RsinAsinBsinC39.余弦定理a2=b2+c2-2bccosA.b2=c2+a2-2cacosB.c2=a2+/?2-2abcosC9/40.而积定理S=—ah——hh.——ch,,,（1）222（他、%、人分别表示玄、b、c边上的高）.S=丄absinC=—bcsinA=—casinB(1)222s妙B=^(\OA\\OB\Y-(OAOB)2⑶239.三角形内角和定理在Aabc中，有A+B+C=/roC二龙-(A+B)C_兀A+B©寸勺一^厂«2C=2^-2(A+B)40.在三角形中有下列恒等式①sin(A+B)=sinC\n②tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC39.简单的三角方程的通解sinx=aox=£龙+(—1)*arcsina{kgZJa|<1)cosx=a<=>x=2k7U±arccosa{keZJa\<1)tanx二d=>x=+arctana(keZ,aeR)40.特别地，有sinG=sin0oa=k兀+(-$0(kwZ)■cosa=cosPoa=2k兀±0伙€Z)tana=tan0=>a=Zjt+0伙gZ)41.最简单的三角不等式及其解集sinx>«(|a|<1)<=>xe(2k7r+arcsina.2k7T+^-arcsina),kgZsinxxe(2k7i-arccosa.2k7T+arccosa).kgZ■cosxq(gwR)=>xe(k7t+arctana.k7U+—),keZ兀tanx<6Z(^g7?)xg(k兀,+arctan<2),Z2■2q=(a—0)+(a+/?)2卩=(Q+0)_(G_0)42.角的变形：G=(Q+0)_0向量43.实数与向量的积的运算律设入、》为实数，那么(1)结合律：(pia)=(X|i)a;\n⑵第一分配律：(入+u)a二入a+pa;(3)第二分配律：A,(a+b)=Xa+Xb.4&向量的数量积的运算律(1)a•b=b•a(交换律);(2)(久a)・b二彳(a•b)=^a*b=a*(^b);(1)(a+b)•c=a•c+b•c.\n49・平面向童基本定理如果el、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1、入2,使得a=Xlel+X2e2.不共线的向量el、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.50.向量平行的坐标表示设」知川4也*2）,且弄0,则a=b（bH0）OS2—S=°.51.a与b的数量积（或内积）a•b=|a||b|cos0.52.a-b的儿何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos©的乘积.53.平面向量的坐标运算⑴设"3』）4也？2）,则3+"3+兀2』+力）.⑵设护3」）4也，力），则力）.⑶设a（K*i）,8（勺*2）侧^B=OB-OA=（x2-x1,y2-y1）⑷设3二（兀*），壮尺，则仏二（加，幻）⑸设护3」）4也，力），则彳・g（轧+皿）.54.两向量的夹角公式55・平面两点间的距离公式d’B=\AB\=yjABAB=J（兀2—西尸+（力一必）2（A（西,）1）,b（勺，力））.56.向量的平行与垂直设a=（X'°'）,b=（X2O；2）,且弄0,则A||b«b=Xa。兀宀―3严°.a丄b（aHO）Oa・b=oOS2+M2=0.57.线段的定比分公式设£CW1）,£（兀2?2）,Pg）是线段肚的分点/是实数,且则1+2o1+久0P=tOPx+(1-t)OP2(1+兄)\n5&三角形的重心坐标公式AABC三个顶点的坐标分别为人区，儿）、^衣2汀2）、C（x3,y3）则^abc的重心的坐标是C（兀|+吃+兀3刃+%+%）3'3丿■59•点的平移公式\x=x+h\x=x-h[y=y+R[y=y-k=op+~pp注:图形F上的任意一点P（x,y）在平移后图形尸上的对应点为P（兀，）'），且PP的坐标为（忙◎60•"按向量平移〃的几个结论⑴点p（x，）“）按向量a，讥）平移后得到点p（兀+心+幻.⑵函数夕=/（兀）的图彖C按向平移后得到图象C贝JC'的函数解析式为y=f{x-h^k⑶图象C'按向量a=5,k）平移后得到图象C,若C的解析式则C的函数解析式为y=f（x+h）-k⑷曲线C：/（兀刃=°按向量a=5，k）平移后得到图象C,则C'的方程为/（兀一九歹一幻二。.⑸向量m=（兀刃按向量a=（人町平移后得到的向量仍然为m=（兀刃.61.三角形五“心〃向量形式的充要条件设。为AABC所在平面上一点，角人5C所对边长分别为Q,b,c，则■>2・2・2(1)(2)(4)(5)0为AABC的外心oOA=OB=OC0为AABC的重心oOA+OB+OC=6O为SABC的垂心0OA•OB=OB•OC=OC•OAO为AAJ3C的内心ctOA+bOB+cOC=0O为AABC的ZA的旁心oaOA=bOB+cOC不等式62.常用不等式：\n（1）Rna2+b2>2ab（^且仅当a=b时取“二〃号）.\n(2)agK=>2(当且仅当a=b时取“二〃号).(3)a3+b3+c3>3abc(a>0,Z?>0,c>0)・(4)柯西不等式(a2+/?2)(c2+d2)>(ac+bdY,a,b,c,dgR.a-\b\0（或v0）（aH（）,△=/r-4ac>0），如果a与ax1+bx+c同号，则其解集在两根之外；如果°与cuc^bx^c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根Z外，异号两根之间.x,x2O（X-X|）（X-兀2）>O（X|0时,有\x0g(x)>0或[g(x)]2f(x)>0g⑴vOj/(x)0g(兀)>0(x)v[g(兀)F⑴当°>1时,af{x}>a^x}o/(x)>g(x).97w>olog“f(x)>log“g(兀)u>{g(x)>0fM>g(x)(2)当0VGV1时，af(x)>a8(x)o/(x)vg(x).9fM>0log“f(x)>log“g(x)o0M0V7w>Jg(Qo“gw>o(1)fM>g(x)\n兰+工=1⑷截距式ub（。、b分别为直线的横、纵截距，a、”工0）⑸一般式山+血+—0（其中a、b不同时为0）.70.两条直线的平行和垂直⑴若Zt:y=£兀+勺/2:y=k2x+b2①Z,IIl2o&=k“b\工优.Z]丄<2Ok&2——1⑵若4：Ax+B/+G=O,2：停+B2y+C2=0”且Al、A2、Bl、B2都不为零,②两直线垂直的充要条件是也+也=0；即：人丄JoM+BQ"71.夹角公式,—k}tana=\L…1+怎厶:y=k{x+b.12:y=k2x^b2kxk2^-lxtana=|⑵A^2~4>^iI£A2+B]Br(£:A_x+色y+C]=0I•4兀+jB。y+C°=0A4+民HO72.'到‘2的角公式tma=(1)1+k2k}:y=£]X+ql2:y=k2x+h2k{k2tan6r=£-％B、AA->+5|5⑵，//:人兀+3/+(7]二0l2:Ax+B2y+C2=0人九+色坊工。)71直线厶丄‘2时，直线II到12的角是2.\n73・四种常用直线系方程⑴定点直线系方程：经过定点人(心北)的直线系方程为y~yo=k^~xo\^直线兀=勺),其中p是待定的系数；经过定点*(%，儿)的直线系方程为人(兀—兀0)+“°一北)=0,其中是待定的系数.⑵共点直线系方程：经过两直线ZI•A3；4-C,=0/2:X+B2y+C2=°的交点的直线系方程为GV+B』+CJ+2GV+B2y+C2)=0(除»其中入是待定的系数.⑶平行直线系方程：直线y=kx^b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是Ax+By+zLrOq/lHO),入是参变量.⑷垂直直线系方程：与直线山+Qy+C=O(aho,bho)垂直的直线系方程是庆-细+久=°,入是参变量.74.点到直线的距离d_丨心)+By()+C|JA?+B，(点P(x()，Vo),直线Z：A^+By+C=O)75.Ax+By+C>°或v°所表示的平面区域设直线Z：山+By+C=O,若a>o,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示山+By+Cv°,Ax+By+C>。，若Avo,则在坐标平而内从左至右的区域依次表示山+〃y+C>°,Ar+By+Cv°,可记为"x为正开口对，X为负背靠背“。(正负指X的系数A,开口对指〃<>“，背靠背指”><“)76.(A"+B/+C|)(停+B2y+C2)>0或<0所表示的平面区域设曲线c：(Ax+Biy+C])(4兀+场歹+(2)=0(A]A2B]B2则(A,x+Bly+Cl)(A2x+B2y+C2)>O或<0所表示的平面区域是：(A{x+B{y+C,)(A2x4-B2y4-C2)>0所表示的平面区域上下两部分；(£兀++CJ(&x++C?)v0所表示的平面区域上下两部分.圆77.圆的四种方程⑴圆的标准方程(兀-d)2+O-疔=厂1(2)圆的一般方程戏+F+Dx+Ey+F=0(»2+F_4F>0).\n⑶圆的参数方程X=d+/"COS&y=h^rsin0⑷圆的直径式方程（兀一Q+（y—yJ（y—儿）=0（圆的直径的端点是川心川、凤七丿））.7&圆系方程⑴过点*J,Bg，力）的圆系方程是（兀一西）（兀一兀2）+0一开）0一力）+2［（兀一兀］）01一丁2）一0一必）（兀］一兀2）］=00（兀一旺）（兀一尢2）+（）一必）0-『2）+久（俶+勿+。）=°,其中血+by+c=0是直线AB的方程，入是待定的系数.⑵过直线/:山+By+C=°与圆C:X+的交点的圆系方程是F+y2+Dr+Ey+F+A(Ar+By+C)=0”入是待定的系数.⑶过圆G：〒+y2+£）』+£■』+片=o与圆C2,x2^y2^D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程是0+y2+£）］兀+Qy+好+2（兀-+y2+£>2兀+耳丁+坊）=0入是待定的系数79•点与圆的位置关系点P（Xo,儿）与圆（X_0）2+（y_方）2=厂2的位置关系有三种若d=血_兀（））2+（b_y（））2,则d>ro点戶在圆外;d=ro点P在圆上；厂o点P在圆内.80.直线与圆的位置关系直线心+》+C=0与圆（x_a）'+（y_bF=尸的位置关系有三种:d>i•o相离oAv。.9d=r'o相切o△=0.9d人+r,o外离u>4条公切线._9\nd二斤+厂2O外切O3条公切线.9t]-r2\1条公切线90vdvk-q|O内含O无公切线■82.圆的切线方程（1）己知圆/+才+加+£丿+尸=°.①若已知切点（"o,%）在圆上，则切线只有一条，其方程是心+川+举也+呼2+"03+M+如旦+些旦+心0当（兀，北丿圆外时，22表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点的切线方程可设为y—y（）=*（x-如），再利用相切条件求k,这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.③斜率为k的切线方程可设为y=kx+b,再利用相切条件求b,必有两条切线.997（2）己知圆倉+厂=广.__2①过圆上的人（勺/0）点的切线方稈为兀0%+儿）=厂；②斜率为k的圆的切线方程为y=^±rVl+F.椭圆r22仪二GC0S&-~—=l（Q>b〉0）J_a83.椭圆/b~的参数方程是X2y2——d=l（6t>/?>0）84.椭圆旷少焦半径公式\nzpF\F_2'特\PF}\=a+ex\PF2\=a-ex片，佗分别为左右焦点22—+件=1（。>〃>0）pppb2•tan82.焦点三角形：P为椭圆/b~上一点，则三角形的而积s=别地，若砒丄戶坊，此三角形面积为，；22使P耳丄P场的条件是c2b,即椭圆的离心率e的范围是——+—1(Q>/?>0)86.在椭圆/上存在点P,V287•椭圆的的内外部22⑴点P（“）在椭圆才斧1心>°）的内部«4+4/?>0)的外部22<=>4+4>iertr二+善=1（5>0）⑴椭圆*巧斗塑=1p（x（），x））处的切线方程是/b222^L+yL=l（a>b>0）空+生=i⑵过椭圆/h~夕卜一点Pg，%）所引两条切线的切点眩方程是/b297⑶椭圆/+戾_">（））与直线处+By+C=0相切的条件是A2a2+B2b2=c\双曲线22—l（d>0">0）89・双曲线旷巧的焦半径公式\PFx\=\e(x^—)\\PF2\=\e(--x)\c,c90.双曲线的内外部2222P(xv\二-+=1(g>0,">0)0气一*>1⑴点rUo，y°｝在双曲线矿k的内部X/T2222⑵点PS）在双曲线计斧的外部O予一畚<1\n91.双曲线的方程与渐近线方程的关系7?F丄=121⑴若双曲线方程为/b~y2b—r一丁7=°oy=±—x=＞渐近线方程：/犷a%22.bx+y-ax⑵若渐近线方程为cioab=＞双曲线可设为/?222—1=九⑶若双曲线与X有公共渐近线，可设为d，b2在y轴上）.92.双曲线的切线方程（入焦点在x轴上,九＜0,隹占y八W八92X"V⑴双曲线0b-上一点处的切线方程是a⑵过双曲线ak外一点尸（入0,儿丿所引两条切线的切点弦方程是心二］a2b2~X2/_（3双曲线/b2一1（°＞°力＞0）与直线Ax+By+C=O相切的条件是A2a2-B2b2=c2.93.到渐近线的距离等于虚半轴的长度（即b值）抛物线94.焦点与半径抛物线b=ax（a0）,焦点是（纟,0）,准线x=-—\44抛物线/二ay（a丰0）,焦点是（0,纟），准线y=4495.焦半径公式抛物线）'=2刃（p＞0）,（（兀0，旳）为抛物线上一点，焦半径lCFl~X°+2.CD-x.+—++—=x（+x9+p96.过焦点眩长2「2"对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。97.设点方法\n抛物线)‘=2pr上的动点可设为p2p‘°或P(2pt\2pt)或p(兀,比)，其中y：=2px°二次函数y=or2+Z?x+c=6r(x+—)2+~—98.2。4aSHU)的图象是抛物线:h4ac-h2(—)⑴顶点坐标为2/4a.b4ac-b2+1IjII(2)焦点的坐标为2/4a4ac-b2一1y二——⑶准线方程是4。.99.抛物线的内外部⑴点尺无，％)在抛物线尸=2px(p>0)的内部0尸v2px(p>0)点Pg，儿)在抛物线/=2px(p>0)的外部o尸>2px(p>0)(2)点P(%，%)在抛物线y2=-"Up>°)的内部o尸<-2px(p>0).点卩(兀()，儿)在抛物线y2=-2px(p>0)的外部U>y2>-2px(p>0)⑶点卩(如*0)在抛物线"=2py(p>0)的内部0^2v2py(p>0).点戶(兀0,儿)在抛物线戏=2py(p>0)的外部o/>2py(p>0).(4)点在抛物线兀2=2py(p>0)的内部o兀2v2py(p>0)点Pg，儿)在抛物线“=-2py(p>0)的外部oF>-2py(p>0)100.抛物线的切线方程⑴抛物线尸=2px上_点%)处的切线方程是=#(兀+兀。).⑵过抛物线尸=2px外一点P(x°，%)所引两条切线的切点眩方程是％)=0(兀+禺).⑶抛物线尸=2pMp>0)与直线处+By+C=0相切的条件是PB?=2AC101・过抛物线尸=2PX(p>0)的焦点f的直线与抛物线相交于\n4（西,）[）302*2），则有=-p\^x2=4p-(2)=>儿一八兀I_x2,g|Jk（）A.K（）b二冷（0为原点）圆锥曲线共性问题120.两个常见的曲线系方程⑴过曲线拆（兀）‘）=°,E（兀，y）=°的交点的曲线系方程是A（兀，刃+M（x,y）=°（2为参数）.22xIy二i2.⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程M_klr-k，其中kmin｛a\b2｝时,表示椭圆；当｝0a为直线AB的倾斜角,由方程104.涉及到曲线上的点A,B及线段AB的屮点M的关系时，可以利用“点差法:比如在椭240],儿），3（兀2，丁2），中点M（x0,y0）,则22£1_.2^/b222Ki)耳+讣二K2）R为直线的斜率）.=乩二^・（_—）儿一儿1江・（-儿）105.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线F（”,y）=0关于点P（xoOo）成中心对称的曲线是尸（2兔厂兀，2儿—刃=°.（2）曲线Fgy）=°关于直线心+By+C=0成轴对称的曲线是F(x-2A(Ar+fiy+C)A2+B22B(Ax+By十C)A2+B2\n105."四线〃一方程r??兀y+税对于一般的二次曲线A"+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,用兀（）兀代兀？，用y“代才，用2代小,兀。+兀%+歹用2代兀，用2代y,即得方程Av+B•血土鱼+Cs+D・g+E・K±2+F=0222,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.立体几何106.证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.107.证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.108.证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.109.证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.110.证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平而内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.111.证明平面与平面的垂直的思考途径\n（1）转化为判断二而角是直二而角；（2）转化为线面垂直.105.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律\n(1)加法交换律:a+b=b+a.⑵加法结合律：(a+b)+c二a+(b+c).⑶数乘分配律：入(a+b)二入a+入b.105.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.106.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(bHO),a〃bO存在实数入使a=Xb.P、A、3三点共线oAPII4Bo乔=/亦o丽=(1-/)鬲+(面AB\\CD^45^CD共线且AB、CD不共线«AB=tCD且4B、CD不共线107.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的o存在实数对兀\使P=Q+y.推论空间一点P位于平面MAB内的°存在有序实数对兀)'，使MP=xMA+yMB或对空间任-•定点6有序实数对兀)'，使OP=0M+xMA+yMB□7.对空间任一点。和不共线的三点A、B、C,满足OP=xOA+y°B+z°C(x+y+z=k),则当£=1时，对于空间任一点。，总有P、A、B、C四点共面；当£工1时，若°丘平面ABC,则P、A、B、C四点共面；若平面ABC,则P、A、B、C四点不共面.A、B、C、D四点共而oAD与AB、AC共面«AD=xAB+yACOD=(l-x-y)OA+xOB+yOC21&空间向量基本定理如果三个向量a、b^c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc・推论设0、A、B、C是不共面的四点，则对空I'可任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC119.射影公式已知向量而N和轴/,e是？上与/同方向的单位向量.作A点在/上的射影人，作B点在/上的射影用,则A用=|丽cos匕e>=a•e120.向量的直角坐标运算设a=(«Pa2,a3)b=(勺'“2'“3)则\n⑴a+b=⑷+勺4+^2，。3+勺）；⑵a—b=（。1—勺，-“2'。3—“3）.⑶入a=（加】血2,加3）（AER）；（4匕・&=如+唤+%3；122•设A（xiOVzi）,b（兀2，沪2）,则AB=OB-OA=(勺一西，％一必“2一召)122.空间的线线平行或垂直11设d=3，y],zj,Z?=(x2,y2,z2)^贝gX]=Ax2sin20=sin2q+sin202-2sin^singcoscp.|G-02$05180’-©+2）（当且仅当6=90时等号成立）.132.空间两点间的距离公式若A（心刃"1）,b（兀鸟‘力‘勺）,则\n%=|AB|=VABAB=g一兀J?+&一”）2*（z?一zj2130.点Q到直线/距离k=W\yl（\a\\b\y-（a-b）2——（点P在直线/上，直线/的方向向量护"，向量"尸°）.131.异面直线间的距离d—二_1，?1（屮2是两异面直线，其公垂向量为方，C、°分别是也上任一点，〃为4丿2间的距离）.235.点B到平面°的距离a=——-——_I川（斤为平面。的法向量，AB是经过面。的一条斜线，4&Q）.136.异面直线上两点距离公式d=』忙+nv+/t2+2mncos0^h2+m2+n2d=Jh2+加$+h2-2mncos（p（（p=E-AA一F）（两条异面直线a、b所成的角为（），其公垂线段A4‘的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,AE=mfAF=n,EF=cl）137.三个向量和的平方公式（°+乙+c）2=/+庆+c+2a•乙+2厶・c+2c・d-2—2-2=Cl+b+c•\a\cos13&长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为A、“、A,夹角分别为G、&2、&3,则有I2=/,2+Z;+!；0cos2q+cos202+cos2Q=]osin20x+sin202+sin2仇=2（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.139.面积射影定理fs=^—COS0（平面多边形及其射影的面积分别是S、S',它们所在平面所成锐二面角的为&）.140.斜棱柱的直截面\n已知斜棱柱的侧棱长是仃则面积和体积分别是$斜棱柱侧和％懺柱，它的直截面的周长和面积分别是q和51,则①S斜梭柱侧=cj②U斜棱柱=SJ139.作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.140.棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.141.欧拉定理（欧拉公式）V+F-E=2（简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）.（1）E二各面多边形边数和的一半•特别地，若每个面的边数为斤的多边形，则面数F与棱数E的关系：E=-nF2.♦E=-mV（2）若每个顶点引出的棱数为加，则顶点数V与棱数E的关系：2.142.球的半径是R,则V=-7rR3其体积3,其表面积S=4兀R，.143.球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.⑵球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.⑶球与正四面体的组合体：V6V6棱长为Q的正四面体的内切球的半径为12，外接球的半径为4.144.柱体、锥体的体积岭诩=-Sh'3（S是柱体的底而积、力是柱体的高）.\n排列组合139.分类计数原理（加法原理）N=卑+加2+…+mn140.分步计数原理（乘法原理）N=m2x・•・xmn141.排列数公式n!A：二九（斤+（n-m）l%,meN*,且加§〃注:规定°!=1.142.排列恒等式⑴船=（—加+1）&心；A；：⑵n-m⑶W；⑷m;:w；⑸A；；；nA「⑹1!+2・2!+3・3!+・・・+斤・斤！=(/?+1)!一1143.组合数公式&/?(/?-1)•••(“-772+1)力！C：二A；；；二1x2x•••xm-gn*,meN,且加144.组合数的两个性质注:规定U='145.组合恒等式\nC；n-mn工C；⑷r=0=2;⑸C；+C；+|+C；+2+…+c;=cr+1n+\⑹V+c；+c；+・.•+C：+…+C；=2"（7）C：+c；+◎+•••Y+C；+C：+・・・2门⑻C：+2C；+3C；+・・・+g：=h⑼CQ+CH+…+gcm+n（10）O2+（C：）2+（C；）2+…+c：）—c;;139.排列数与组合数的关系140.单条件排列以下各条的大前提是从“个元素中取加个元素的排列.（1）"在位〃与"不在位〃①某（特）元必在某位有di种；②某（特）元不在某位有①①-1（补集思想）一①（着眼位141A加一1置）一宀1+%・肉_（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴••心m^1时，无解;A"nn当n,(西-环)2.卩+(兀2一环『羽+…+比一砖产几+…170.标准差/后171.方差的性质⑴D(妬+0)=a洌；⑵若纟〜B®,P)，则D^=np(l-p)(3)若§服从几何分布，且P(§i)=g(k,p)=qf\n169.方差与期望的关系D§=E§2_（E02170.正态分布密度函数（X-“F'（"）=下=7"26~,XG（-oo,+o°）"2兀6,式中的实数b（cr>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.171.标准正态分布密度函数2,施(-8,2)175.对于N（“Q）,取值小于X的概率F(x)=0X_Q丿P(X,/)(3)"T8\_q179.函数的极限定理(S无穷等比数列W(⑷—的和).lim/(x)=alim/(x)=lim/(x)=aXT®OXT心-180.函数的夹逼性定理如果函数f(x),g(x),h(x)在点x0的附近满足:⑴g(x)ooV(2)'x丿(*2.718281845…).183.函数极限的四则运算法则lim/(x)=alimg(兀)=h若2勺，心勺，贝|Jlim[/(x)±^(x)]=a±Z?⑴fL」；\n（2牌［心）皿）卜讥；⑶fg（x）b183.数列极限的四则运算法则lima”==b若—8宀n,贝glim(a±bn)=a±b〃T8卿％伏）Mblim(c-a}=limc・liman=c・a⑷“too“Too"Too(C是常数).导数184./（兀）在兀。处的导数（或变化率或微商）厂（勺）=$A=.V0lim乞=lim心+心）-心）心t（）Ay山t（）Ay+△/)-$(/)Ar185.瞬时速度v=s\t)=lim—=limA/tO$4t()187•瞬时加速度a-v(t)=lim—AttO&vv(r+Ar)-v(^)lima/toAf18&/（兀）在（G0）的导数/V)*=冬=0=limG二lim/(Z)—g)dxdx"toAx山to心iso.函数歹=/（力在点"o处的导数的几何意义函数）Ufix）在点兀0处的导数是曲线fM在Pg，/（兀0））处的切线的斜率/©O）,相应的切线方程是y_y（m兀-兀（））190.几种常见函数的导数\n(1)C'=0(c为常数).⑵(£)'=处心(*0(3)(sinx)z=cosx⑷(cosx/=-sinx(InxY=-(logax)'=-log/⑸％；兀⑹(")'=K・(d')'=aTna190.导数的运算法则1・0(])(w±v)=u±v・♦1(2)(wv)=uv+uv(3)Vuv-uv（心0）191.复合函数的求导法则I>・■设函数u=g'在点兀处有导数域函数y=在点兀处的对应点u处有导数儿=/（"）,则复合函数）'=/（0（劝）在点兀处有导数，且儿=儿・以，或写作£（0（兀））=/（况）0（力.192.常用的近似计算公式（当x充分小时）J1+兀=1+丄XV1+X-1+—X(1)(2)(1+x)"=1+gx(qwR)；⑶宀1+x；⑷厶(1+劝=兀；(5)sinx-x(兀为弧度)；(6)^nx^x(兀为弧度)；(7)arctan%-x(%为弧度);n\n190.判别/（£））是极大（小）值的方法当函数/（兀）在点兀。处连续时，（1）如果在兀0附近的左侧/©）>0,右侧/©）VO，则/（兀0）是极大值;（2）如果在兀附近的左侧十（兀）V0,右侧f（x）>0,则/（兀0）是极小值.复数191.复数的相等a+bi=c+dioa=c，b=d（abc、deR）192.复数zn的模(或绝对值)Iz|」d+bi|二J/+/?2193.复数的四则运算法则⑴(d+bi)+(c+di)=(d+c)+(b+d)i.(2)(a+bi)一(c+di)=(a—c)+(b—d)i.⑶(a+bi)(c+di)=(ac一hd)+(be+ad)i.(d+bi)*(c+di)=⑷ac+bdtbe-ad19&复数的乘法的运算律对于任何ZPZ29Z3GC,有交换律:Z「Z2=Z2P结合律：（Z1，Z2），Z3-Z\'（Z2，Z3）.分配律:Z|°（%+?3）=Z]•Z?+Z]•Z3199.复平面上的两点间的距离公式〃=|Z]—Z2|=J（%2—兀1）~+（歹2—）1）（Z]=兀]+丁]（Z?=勺+）200.向量的垂直非零复数m,Z2=c+di对应的向量分别是°乙，0Z2,则\n画丄返o0lN"2IfI2_Z2「勺的实部为零oZ]为纯虚数O|Z]+Z2『=|zj+|z2I2HIz212o丨Z]+Z21=|Z]—Z21oac+bd=0ozi=加2（入为非零实数）.