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- 2022-07-20 发布
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1.设函数/(无)hUb>0)上的两点,%b~满足(工%.(学,也)=(),椭圆的离心率e=—,短轴长为2,0为坐标原点.baba2(1)求椭圆的方程；(2)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；(3)试问：AA0B的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5.已知数列｛色｝中各项为：12、1122、111222、……、11……122……2……vVZV'个”个”(1)证明这个数列屮的每一项都是两个相邻整数的积.(2)求这个数列前n项之和S“・\n(I)若P是该椭圆上的一个动点，求P"・PF?的最大值和最小值；(II)是否存在过点A(5,0)的直线/与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在，求直线/的方程；若不存在，请说明理由.7、已知动圆过定点P(1,0),且与定直线L:x=l相切，点C在/上.(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；(2)设过点P,且斜率为-V3的直线与曲线M相交于A,B两点(i)问：AABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由(ii)当AABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.8、定义在R上的函数y=f(x),f(0)H0,当x>0时,f(x)>l,且对任意的a、bWR,有f(a+b)=f(a)f(b),(1)求证:f(0)=l；(2)求证：对任意的xGR,恒有f(x)>0；(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)・f(2x-x2)>l,求x的取值范围。9、己知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,ceR)满足/⑴=0,且关于兀的方程/(x)+x+z?=0的两实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内。(1)求实数b的取值范圉；(2)若函数F(x)=log,/(x)在区间(-1-c,1-c)上具有单调性，求实数C的取值范围10、已知函数/(兀)在(-1,1)上有意义J(丄)=-1,且任意的x、ye(-1,1)都有21•*）+/»/（歸(1)若数列｛£｝满足西=+，兀州2V时“),求心I）+/（尙）的值.⑵求1+対+『中…+®+3“+i11.在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内两点G、M同时满足①ga+gb+gc=o②\MA\=\MB\=|伉|③丽〃农(1)求顶点C的轨迹E的方程\n(2)设P、Q、R、N都在曲线E上，定点F的坐标为(血，0)，已知丽〃尸0,RF//FN匙PF・RF二0.求四边形PRQ7面积S的最大值和最小值.12.已知。为锐角，且tan6Z=V2-1,jr1函数/(x)=x2tan2a+x•sin(2a+—),数列｛aj的首项.an+l=f(an).n+\⑴求函数/(无)的表达式；(2)求证：an+l>an；/?+!111*(3)求证：1<—+—+•••+—<2N)1+a｛1+a21+勺13.(本小题满分14分)已知数列｛色｝满足q=1,%+]=2a“+l(nwV)(I)求数列｛色｝的通项公式;(II)若数列仇｝满足泸“-屮㈠…4〃心=(陽+1产，证明：｛an｝是等差数列;(III)1112证明：1——Hh<—(neM)a2偽an+1314.已知函数g(兀)牛？+|宀必HO),(I)当Q=1时，若函数g(x)在区间(-1,1)上是增函数，求实数C的取值范围;(II)当a>^时，(1)求证：对任意的送［0,1］，gZ(%)<1的充要条件是c<^；(2)若关于兀的实系数方程孑(无)=0有两个实根Q,0,求证：阀51,且|期51的充要条件是——1时，函数g(x)是[1,3]减函数，此时，g(x)罰=g(3)=2—3d,g(x)n泊=£(1)=1一所以力(。)=2。一1；4分(3)当0l(II)画出y=h(x)的图象，如右图。12分(1>]数形结合，可得/2(兀)・=h—=—。14分\/minqn2.解：(I)先用数学归纳法证明0va”vl/wN\(1)当n"时,rfl己知得结论成立；(2)假设当zk时，结论成立，即0V©V1.则当zk+l时,IY因为00,所以f(x)在(0J)上是增函数X+lX+1\n又f(x)在［0,1］±连续，所以f(0)o，知g(x)在(0,1)上增函数又g(x)在［0,1］上连续，所以g(x)>g(0)=0.1+x2210分因为0Vd”vl,所以g(Q”)>0,即牛一/(匕)>0,从而G曲V牛JI1b阿因为rs尹+%所以心去__12分所以仇=吐邑…虹也»丄/!①bn-lbn-2S2"2由(II%V争知詈今所以眷\〜亿a2a3an<4a2an-l%222因为半,心2,0an^n\.16分%!=0Xo=X1.(I)在/(%]+x2)+/(Xj-x2)=2/(xi)cos2x2+4asin2x2中,分别令\n71X=—+x1471=—471r71X.=—+x4/(x)+/(-x)=2cos2x+4(7sin2x,71f(—+x)+f(x)=2cb/(—+兀)+f(-兀)=2cos(—+2x)+4asin2(—+x)③71[_j1-cos2(—+x)得旷(兀)=2d+2cos2x-2cos(——F2%)+4°[——“]一4°[]=2a+2(cos2x+sin2x)一2a(cos2x+sin2x)二/(x)=a+血(1一a)sin(2兀+—)4(II)当兀w[0,才]时,sin(2x+—)e[,1].(1)・・・|/(x)|W2,当avl时，l=a+逅[J(l-a)]W/(x)Wa+V^(l—a)W2.即1—血£(1—血)aW2—血・-迈WaW\・(2)・・・|/(x)|W2,当gNI时，—200+的(丄一0)0/(兀)Wl・即1WqW4+3VL故满足条件。的取值范围[-V2,4+3V2].4.(1)2b=2.b=1,€=°=-=>a=2.幺=馆aa2椭圆的方程为「宀1（2分）（2）设AB的方程为y=kx+羽y-kx+4由v=>(k2+4)x2+2y/3kx-l=0%!+x2二+，=1一4（4分）由已知0=)弓2=兀]兀2+丄(鋼+希)(处2+V3)=(14-—)X]X24-x2)+—ci44\n疋+化1、gk-2屈（）H4宀44宀4（7分）（3）当人为顶点时，B必为顶点.S^oB=l（8分）当儿B不为顶点时，设AB的方程为尸kx+by=kx+by22—+x=4n伙2+4）x~+2kbx+/??—4=0得•至！+兀。=-2kb宀4_b2-4一宀4*=晋=。o*+吟3-。代入整理得:2宀宀4⑴分）\b\\xl-x2\=^-\b\/站+七）'一4旺£1=|纠J4/—4戸+16疋+4=更"2\h\所以三角形的面积为定值.（12分）125⑴吹严-1）10”+—（10"-1）（2分）11_11nz,_1=§（10〃一1）.（10”+2）=（弋—）.（七—+1）（4分）10〃一1记：A=,则a=33……3为整数3'、‘'」/7个an-A（A+1）,得证（6分）（2）II7・・・a=-102/,+-10"--”999112Sn=-（102+104+……+102H）+-（10+102+……10,?）__nn999（8分）（12分）\n6、解：(I)易^a=^5,b=2,c=1,/.F}=(-1,0),F2(1,0)设P(x,y),则PF、•PF2=(-1-x-y)•(1-x-y)=x2+y2-1%2+4--x2-1=-x2+355vxg[-75,75],.••当兀=0,即点P为椭圆短轴端点时，PFfPF?有最小值3；当x=±V5,即点P为椭圆长轴端点时，PF}-PF2有最大值4(II)假设存在满足条件的直线/易知点A(5,0)在椭圆的外部，当直线/的斜率不存在时，直线/与椭圆无交点，所在直线/斜率存在，设为k直线/的方程为y=k(x-5)由方程组得(5疋+4)x2—50k2x+125疋一20=0y=k(x-5)依题意△=20(16—80疋)>0,得—5k-kFR=—10-(-上匚2f2r:kk“=k・5疋+4_20比\n综上所述，不存在直线/,使得|F2C|=|F2D|7、解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线/为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y~4x.(2)(i)由题意得，直线AB的方程为:-艸X-1)消去y得:=4x16T咚(不符，舍)辭警+凡阳粧晋心唤+3=0,解得"扛=3•所以A(*翠,B(3,一2⑹AB匸"2+2=假设存在点C(-1,y),使ZXABC为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即[+皿+2严学,相减得齐叶2毎岭+_誓解得厂寸产(y—才二(亍233因此，直线/上不存在点c,使得AABC是正三角形.(ii)解法一：设C(-1,y)使AABC成钝角三角形，由｛辽[件*-1)得y=2屈此时A,B,C三点共线，故y丰2聽.当|BC|2>|AC|2+|AB|2,即28+4舲y+y2>y-^y+y2+竽,即y>彳巧时,ZCAB为钝角.当|AC|2>|BC|2+|ABF,即空一^^y+y2>28+4^y+y?+—939y|AC|2+|BCF,即竺>—-+y?+28+4“y+y2993r4r-42<0即:厂+勺届+勺v0,(y+J该不等式无解，所以ZACB不可能为钝角.冈此，当AABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:10V32-^3zry<-一或丁工2J3)•解法二：以AB为直径的圆的方程为：(X_2)2+(y+2侖)2=(3)2圆心(2_2侖)到直线L：x=—1的距离为色\n333333■所以，以AB为直径的圆与直线L相切于点G(-l,-半).当直线/上的C点与G重合时，ZACB为直角，当C与G点不重合，且A,B,C三点不共线时，ZACB为锐角，即AABC中ZACB不可能是钝角.因此，要使AABC为钝角三角形，只可能是ZCAB或ZCBA为钝角.过点A且与AB垂直的直线为:y_NL(x-丄).令x=-1得y=巫3339•过点B且与AB垂直的直线为：y+2巧=—(x-3),令x=-1得y=-巴巧33又由*:护x-1)解得y=2巧,所以,当点C的坐标为(-1,2侖)时，A,B,C三点共线，不构成三角形.因此，当AABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的収值范围是：10^3,2羽一匠、y<-一—^y>—(y丰2j3).8、解：(1)令a=b=O,则f(O)=[f(O)]2Vf(O)HOf(O)=l(2)令a二x,b=-x贝!]f(O)=f(x)f(-x):.f(-x)=——f(x)由已知x>0时,f(x)>l>0,当xvO时，-x>0,f(-x)>0・•・f(x)二丄一>0又x=0时，f(0)=2>0f(-x)・・・对任意XER,f(x)>0(2)任取x2>Xi，则f(x2)>0,f(Xi)>0,x2-Xi>0f(X)—-J-=f(x2)-f(-xl)=f(x->-Xj)>lf(X|)~・・・f(x2)>f(x1)・・・f(x)在R上是增函数(3)f(x)・f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又l=f(0),f(x)在R上递增・•・由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0・•・00g(-2)=l-5/?<0]g(0)=_l_bv0g(l)=/?+l>0JI5即⑵令心⑴。•••（）＜尹今＜1log/?u在（0,+°°）是减函数而一1一c=2b>-b,函数/(x)=x2+2bx+c的对称轴为x=-hA/(x)在区间(—l—c,l—c)上为增函数,从而F(x)=log,/(兀)在(-1-c,l-c)上为减函数。且/(x)在区间(—l—c,l—c)上恒有/(%)>0,只需/(-l-c)>0,1517且c=-2b-K-2\xtl|・・・|亠TM1又兀严一・1+有22xn1<1zrx+X而gJ=/（当）=〃曲2心）+心）=2心）•・・・竺』=2・・・{/（£）}是以-伪首项，以2为公比的等比数列，故/久）=-2心心）⑵由题设，有/（0）+/（0）=/（芒£）=/（0）,古好（0）=01+0又XW（-1,1）,有/（无）+/（-X）=/（--T）=/（0）=0,1-X'得/（—兀）=-/（X）,故矢財'（X）在（—1,1）上为奇函数.由\n1_1_伙+1）伙+2）/+3R+1一伙+1）伙+2）-「1一伙+1）伙+2）伙+1）伙+2）得/（F养）二兀占+心羔）二门占"士）川[1|]于是»E7T）"忌）“"忌）.故]+/”（*...+/•（占严（占"11.W：（1）设C（xzy）,vGA^GB=2G0^①知GC=-2G0,AG为AABC的重心，（2分）x由②知M是MC的外心，沖在x轴上。由③知M（§,。）,由|MC|I莎I^J（|）2+i=J（-v-|）2+r7化简整理得：亍灼如。）（6分）2⑵F"，。）恰为奇+Z的右焦点设PQ的斜率为&。且心〒则直线PQ的方程为円（x-血）|+|語;MRU皿^亠。讥n,6yf2k26宀3X1•x2=；3/+1（8分）収P（x“），Q（x.y2）则3X2二科则|PQ|=Jl+疋•J（X|+兀2）2—4斗兀2\n,6城$.6P-32希伙2+1)3/+1•・・RN丄PQ,把k换成-丄得|RN|="伙+1)k3+疋(10分）・・・S丄PQWRN"6代+厅2(3/+1)(疋+3)2n——3伙2+衣)+10・・・3伙2+丄)+10=82-S8、3一2-S2（当k=±1时取等号）（12分）又当k不存在或k=0时S=23综上可得訂SW2,Smin=-3212.解:(l)Um2a=2饭晋=2(农_1)l—tanp1-(V2-1)2又丁。为锐角（14分）・・・2a=^71sin(26r+—)=1fM=X2+X/•(rn>0\n11+d]1勺色（1+色）Jan1+an__11+ananan+\111111+anaxa2a211H1a3anQ〃+l丄亠2」a\an+\Q"+l•a233如=（才）2+二＞1，又・・5»2勺屮〉勺a〃+]26Z3>1,・'•1<2<2r・*.1<1<2an+l1+ql+a2l+a〃\n13（本小题满分14分）解：（1）•・•a“+]=2an+1,••・陽+|+1=2（%+1）2分故数列也”+1｝是首项为2,公比为2的等比数列。3分/.込+1=2",an=2"-14分(2)・・・泸"4俵-屮“…4“戶=(色+10，二4®也十…也-“)=2呱5分2(肉+b2+…+仇)_2〃=nbn①2(勺+筠+…+仇+b卄1)-2(n+1)=(n+1)&n+1②②一①得2仇+i-2=仇+1)仇+i-nbn,即nbn-2=(n-l)bn+｛③8分・•・(兀+1)仇+|—2=肪卄2④④一③得2nb沖=nbn+叽,即2仇和=bn+bn_x9分所以数列｛仇｝是等差数列(3)J__]]_11^~2M+1-l<2M+1-2_2^□分11+—+…+a3an+l则S<—+-(—+—+•••+—)=—+-(S一一—)勺2a2a3ana22an+[13分s<2_丄/一丄<2a23an+[314分1分2分14.（本小题满分16分g(x)---X3+—X2+CX,g'(x)=-x2+x+c•・•gO）在（一1,1）上为单调递增函数，・・・g'o）no在（一1,1）上恒成立\n・•・_兀2+x+c>Offi(―1,1)上IB成立3分c>24分⑴/3=—“〔一右厂+卄*.(2)设g'(x)=/(X)，则》当巧彩时心(刃］_T(吉)=『+*・充分件，•••4:.x€［oa］时./a)o+丄wi.・•・/(.r)CHxe(O.lJ).必契性：•・•［0,12时•而；€(0・】］・(k41^0.u{/(］)W0・Q1/(-1X0Igl(2)二次函数/(.门的图彖幵L」向F・对祢紬方程为*•*&»寺・・•・£"0・1上［-1・叮.fJ>0.I,f—I0的汕根a・』住［一】•】］内-"i〉Wo・/(-Xo•••ihwinwiwi的允耍条件是一
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