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2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（新课标版）适用地区：河南、河北、黑龙江、吉林、宁夏、山西、内蒙古、新疆、云南注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【解析】因为，，所以，故选择B。【点评】本题主要考察一元二次不等式的解法，两个集合间的关系，属简单题。2．复数的共轭复数是（）A．B．C．D．【解析】因为，所以，故选择D。【点评】本题主要考察复数的运算及共轭复数的概念。3．在一组样本数据（，），（，），…，（，）（，，，…，不全相等）的散点图中，若所有样本点（，）（=1，2，…，）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A．－1B．0C．D．1\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功【解析】因为中，，所以样本相关系数，又所有样本点（，）（=1，2，…，）都在直线上，所以样本相关系数，故选择D。【点评】本题主要考察回归直线，相关系数的知识。4．设、是椭圆E：（）的左、右焦点，P为直线上一点，是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【解析】如图所示，是等腰三角形，，，否是是结束输出A，B开始输入，，，…，，，否是否，，，又，所以，解得，因此，故选择C。【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质，离心率。5．已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（，）在△ABC内部，则的取值范围是（）A．（，2）B．（0，2）C．（，2）D．（0，）【解析】正△ABC内部如图所示，A（1，1），B（1，3），C（，2）。将目标函数化为，\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功显然在B（1，3）处，；在C（，2）处，。因为区域不包括端点，所以，故选择A。【点评】本题主要考察线性规划的知识。6．若执行右边和程序框图，输入正整数（）和实数，，…，，输出A，B，则（）A．为，，…，的和B．为，，…，的算术平均数C．和分别是，，…，中最大的数和最小的数D．和分别是，，…，中最小的数和最大的数【解析】由程序框图可知，A表示，，…，中最大的数，B表示，，…，中最小的数，故选择C。【点评】本题主要考察程序框图的应用。7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．15【解析】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD，底面△BCD为底边为6，高为3的等腰三角形，侧面ABD⊥底面BCD，AO⊥底面BCD，因此此几何体的体积为，故选择B。【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。8．平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为（）A．B．C．D．【解析】如图所示，由已知，，在中，球的半径，所以此球的体积，故选择B。【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算。9．已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（）A．B．C．D．\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功【解析】由直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，得的最小正周期，从而。由此，由已知处取得最值，所以，结合选项，知，故选择A。【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。10．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【解析】设等轴双曲线C的方程为，即（），抛物线的准线方程为，联立方程，解得，因为，所以，从而，所以，，，因此C的实轴长为，故选择C。【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。11．当时，，则的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）【解析】显然要使不等式成立，必有。在同一坐标系中画出与的图象。若时，，\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功当且仅当，，即。解得，故选择B。【点评】本题主要考察锥体和球的性质。12．数列{}满足，则{}的前60项和为（）A．3690B．3660C．1845D．1830【解析】因为，所以，，，，，，……，，，。由，可得；由，可得；……由，可得；从而。又，，，…，，，所以。从而。因此。故选择D。【点评】本小题主要考察递推数列的知识。第Ⅱ卷（共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点（1，1）处的切线方程为_________。【答案】。【解析】由已知，根据导数的几何意义知切线斜率，因此切线方程为，即。【点评】本小题主要考察导数的几何意义，曲线上一点处的切线方程的求法。\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功14．等比数列的前项和为，若，则公比___________。【答案】。【解析】由已知得，，因为，所以而，所以，解得。【点评】本小题主要等比数列通项公式、求和公式的应用。15．已知向量，夹角为45°，且，，则_________。【答案】。【解析】由已知。因为，所以，即，解得。【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。16．设函数的最大值为，最小值为，则____________。【答案】2。【解析】。令，则。因为为奇函数，所以。所以。【点评】本小题主要考察数列的知识。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。。17．（本小题满分12分）已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，。（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，。【解析】（1）根据正弦定理，得，，因为，所以，化简得，因为，所以，即，\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功而，，从而，解得。（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，。【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。18．（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。【解析】（1）当日需求量时，利润；当日需求量时，利润。所以当天的利润关于当天需求量的函数解析式为（）。（2）①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，则这100天的日利润（单位：元）的平均数为（元）。②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝。故当天的利润不少于75元的概率为。【点评】本小题主要考察统计初步、随机事件概率的求法。19．（本小题满分12分）\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点。（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。【解析】（1）在中，，得：，同理：，得：。由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，，所以平面。又平面，所以而，所以平面。又平面，故平面BDC1⊥平面BDC。（2）由已知AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，设，，则。由（1），平面，所以为四棱锥的高，所以。因此平面BDC1分此棱柱为两部分体积的比为。【点评】本小题主要考察空间面面垂直，及多面体体积的计算。20．（本小题满分12分）设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点。（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值。【解析】（1）若∠BFD=90°，则△BFD为等腰直角三角形，且|BD|=，圆F的半径，又根据抛物线的定义可得点A到准线的距离。因为△ABD的面积为，所以，即，\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功所以，由，解得。从而抛物线C的方程为，圆F的圆心F（0，1），半径，因此圆F的方程为。（2）若A，B，F三点在同一直线上，则AB为圆F的直径，∠ADB=90°，根据抛物线的定义，得，所以，从而直线的斜率为或。当直线的斜率为时，直线的方程为，原点O到直线的距离。依题意设直线的方程为，联立，得，因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。所以直线的方程为，原点O到直线的距离。因此坐标原点到，距离的比值为。当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。【点评】本小题主要考察解析几何知识。\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功21．（本小题满分12分）设函数。（1）求的单调区间；（2）若，为整数，且当时，，求的最大值。【解析】（1）函数的定义域为（－∞，+∞），且。当时，，在（－∞，+∞）上是增函数；当时，令，得。令，得，所以在上是增函数，令，得，所以在上是减函数，（2）若，则，。所以，故当时，等价于，即当时，（）。①令，则。由（1）知，函数在单调递增，而，，所以在存在唯一的零点。故在存在唯一的零点。设此零点为，则。当时，；当时，。所以在的最小值为。又由，可得，所以，由于①式等价于，故整数的最大值为2。【点评】本小题主要考察利用导数求单调区间，导数的综合应用。\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，，分别为边，的中点，直线交的外接圆于，两点。若∥，证明：（1)；（2）∽。【解析】（1）因为，分别为边，的中点，所以∥。又已知∥，所以四边形BCFD是平行四边形，所以CF=BD=AD。而∥，连结AF，所以ADCF是平行四边形，故CD=AF。因为∥，所以BC=AF，故CD=BC。（2）因为∥，故GB=CF。由（1）可知BD=CF，所以GB=BD。所以。因为∥，所以，从而，①由（1），所以，从而，②由①，②得∽。23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是。正方形ABCD的顶点都在上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）。（1)求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设为上任意一点，求的取值范围。【解析】（1）曲线的参数方程化为直角坐标方程为，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功因为点A的极坐标为（2，），所以点B的极坐标为（2，），点C的极坐标为（2，），点D的极坐标为（2，），因此点A的直角坐标为（1，），点B的直角坐标为（，1），点C的直角坐标为（－1，－），点D的直角坐标为（，－1）。（2）设P（，），则。因为，因此的取值范围为[32，52]。【点评】本小题主要考察参数方程、极坐标的相关知识。24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数。（1)当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含[1，2]，求的取值范围。【解析】（1）当时，。所以不等式可化为，或，或。解得，或。因此不等式的解集为或。（2）由已知即为，也即。\n2012年高考数学试题解析之全国新课标版（文科）石嘴山市光明中学潘学功若的解集包含[1，2]，则，，也就是，，所以，，从而，解得。因此的取值范围为。【点评】本小题主要考察含两个绝对值的不等式的解法，函数恒成立问题。