2018年高考数学全国卷复习策略《剖析高考真题，把握高考考向》 10页

剖析高考真题把握高考考向高考中解三角形的方法与思想探究【考纲分析】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。【考点分析】^年份解三角形备注考点理数分值文数分值20111651552012171017102013全国I卷1712105全国II卷1712452014全国I卷165165全国II卷4517122015全国I卷1651712全国II卷171217122016全国I卷171245全国II卷135155上表是近六年新课标全国卷数学高考解三角形考点分布，由此表可以看出，对本考点的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何休的空间角以及解析几何中的有关角等问题。在题量上，近六年--般是一道大题或一道小题（填空题或选择题）的格局，一般出现在解答题第一题或者填空题最后一题，与三角函数的性质或恒等变换相比，学生普遍感觉难度更人。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为依托，结合实际问题考察，题型一般为选择题、填空题,也可能是中等难度的解答题。鉴于此，故本文就高考常见的解三角形题型及其解法作一些浅析。【核心要点】1.直角三角形屮各元素间的关系：（1）三边之间的关系：r/2+^2=c2o（勾股定理）（2）锐角之间的关系：4+3=90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）abasinA=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=—。ccb2.斜三角形中各元素间的关系：（1）三角形内角和：a+b+c=〃。\n（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。\n亠丄=丄=」一=2/?(7?为外接圆半径)sinAsinBsinC(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余茫的积的厚倍。a1=b1+c1—IbccosA；b1=c1+a1—2cdcosB；(f=a2+b2—2a/?cosC。3.三角形的面积公式：S=—aha='bhb='chc(九、加、九分别表示°、b、c上的高);222GII15、=—absinC=—bcsinA=—dcsinB；△222_a2sinBsinC_b2sinCsinA_c2sinAsinB△_2sin(B+C)2sin(C+A)_2sin(A+B)；=2/?2sinAsinBsinCo(R为外接圆半径)ccibcSa=——；△4R(1)(2)(3)(4)(5)(6)S、=』s(s一q)G-b)($-c):S、=r・s。4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形c解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、Co(1)(2)(3)(7)角与角关系:边与边关系:边与角关系:A+B+C=兀；a+b>Cjb+c>chc+a>b,a—bb；==(/?为外接圆半径)；sirAsirBsiiC余眩定理c2=«2+Z?2—2Z?ccosC,b1=a1+c1—2accosBfer=Z?2+c2—2/?ccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA,竺彳=纟，cosA=bosinBh2bc正弦定理5.三角形屮的三角变换三角形屮的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。(1)角的变换因为在△ABC中，A+B+C=兀,所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=—tanC□.A+BCA+BsinCA+B.C=cos—,cos=sin—；2222(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式：S=*ah\=£absinC=r•P=・b)(p・其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半。\n(3)在AABC屮，熟记并会证明：ZA,ZB,ZC成等差数列的充分必要条件是ZB=60°；AABC是正三角形的充分必耍条件是：ZA,ZB,ZC成等差数列且a,b,c成等比数列。6.重要思想：转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程、不等式思想、分类讨论思想以及割补法思想等。【题型分析】(一)只涉及一个三角形的解三角形问题题型一：灵活运用正余弦定理进行边角互化，判断三角形形状、求三角形中的边角以及周长面积等1、(2011-全国文，15,本小题满分5分)在AABC屮，B=12G,AC=7tAB=5,则AABC的面积为。。2、(2012-全国理，17,本小题满分10分)AABC的内角A、B、C的对边分别为°、b、c,若cos(/A—C)+cosB=1,a=2c,求c.3、(2012-全国文，17,本小题满分10分)MBC中，内角A、B、C成等差数列，其对边a、b、c满足2b2=3ac,求A。4、(2013-全国I文，10,本小题满分5分)已知锐角MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则6=()(A)10(B)9(C)8(D)55、(2013-全国II文，4,本小题满分5分)TT7TAABC的内角A,B,C的对边分别为,已知b=2,B=_,C=-,64则\ABC的面积为()(A)2^3+2(B)>/3+1(C)2>/3-2(D)a/3-16、(2014-全国II理，4,本小题满分5分)钝角三角形ABC的面积是*,AB二1,BC=>/2，则AC=()A.5B.厉C.2D.17、(2015-全国I文，17,本小题满分12分)\n已知分别是AABC内角A,B.C的対边，sin2B=2sinAsinC.\n（I）若a=求cosB;（II）若B=90,且a=迈,求\ABC的面积.8、（2016-全国I理，17,本小题满分12分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为d,b,c,己知2cosC（6/cosB+bcosA）=c.（1）求C；⑵若c=护,'ABC的面积为攀，求ZVIBC的周长.9、（2016-全国I文，4,本小题满分5分）2△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=£,c=2,cosA=亍，贝"=（）A.^2B.筋C.2D.310、（2016-全国II理，14,2016-全国II文，15,本小题满分5分）45△ABC的内角A、B、C的对边分别为b、c,若cosA=§,cosC=yy,a=\,则b=.此类题为解三角形的典型题型，也是历届高考考查的重点和热点，因此在历届高考中出现的频率相对最高。解决此类题的关键是确定三角形中的已知和所求并在图形中标出来，然后确定转化的方向（边化角或角化边）；再根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边达到边角统一的目的（还耍注意三角化两角的问题）；最后根据题目需要求解。下面对（2016-全国I理，17和2012-全国理，17作重点分析一下：AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知2cosC（acos8+/?cosA）=c.(I)求C；（H）若的面积为攀求的周长.【解析】（I）由已知及正弦定理化简易得2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC即2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCeosC=sinC所以cosC=—故C=—o23(II)由已知,—abs\nC23^3~r由已知及余弦定理得,a，+Z?2-2ahcosC=l.故/+戻=13,从而（a+bf=25.所以AABC的周长为5+J7.【注意】三角形中的三角变换常用到诱导公式，sin（A+B）=sinC,cos（A+B）=-cosC,tan（A+3）=—tanC,就是常用的结论，另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角'‘或“角化边\n(2012-全国理，17,本小题满分10分)AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cos(A-C)+cosB=1,a=2cf求c.【分析】(1)边角互化.本试题主要考查了解三角形的运用，给出两个公式，一个是边的关系，一个角的关系，而求解的为角，因此要找到角的关系式为好.故自然可想到将沪2c利用正弦定理转化为角的关系：sinA=2sinC.(2)方程组思想.得到两角的二元一次方程组，自然很容易得到sinC的值.【易错点】①方法一中由sin2A=sin2B直接得到A=B,其实考生忽略了2A与2B互补的情况,由于计算问题出错而结论错误.方法二中由c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2)不少同学直接得到c2=a2+b2,其实是考生忽略了a2-b2二0的情况，由于化简不当致误.②结论表述不规范.正确结论是AABC为等腰三角形或直角三角形，而不少考生回答为：等腰直角三角形.题型二：灵活运用正余弦定理进行边角互化，解决与三角形相关的最值与范围问题。1、(2011-全国理，15,本小题满分5分)在AABC中，B=60,AC=>/3,则AB+2BC的最大值为_。2、(2013-全国II理，17,本小题满分12分)AABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知c^bcosC+csinB.(I)求B；(II)若b=2,求AABC面积的最大值。3、(2014-全国I理，16,本小题满分5分)己知a,b,c分别为\ABC的三个内角的对边，a=2,1L(2+Z?)(sinA-sinB)=(c-/?)sinC，贝！J\ABC面积的最大值为.此类题屈于三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题屮的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题。下面就2014•全国I理，16题作一下详细分析：(2014-全国I理，16,本小题满分5分)\n已知ci,b,c分别为\ABC的三个内角A,B,C的对边，u=2,且(2+b)(sinA—sinB)=(c-Z?)sinC,则\ABC面积的最大值为.由g=2且(2+Z?)(sinA-sinB)=(c-Z?)sinC,即|(a+b)(sin4—sinB)=(c-/?)sin由及正弦定理得：(G+b)(d-b)=(c-b)ci222\b1+C1—a2=bc,故cosA=—————=—,.IZA=60°,2hc2()h~+c~—4—he4—h~+c?—henbe,=—besinAS^/3,(二)利用正弦定理将边b,c转化为角B的函数求解。【注意】要注意正弦定理实施边角转化时式子结构的对等问题。（二）涉及多个三角形（与平面几何相结合）的解三角形问题1、3、4、（2013-全国I理，17,本小题满分12分）如图，在AABC中，ZABC=90°,AB甘，BC=1,P为AABC内一点，ZBPC=90°⑴若PB=|,求PA；（2）若ZAPB=150°,求tanZPBA（2014-全国文，16,本小题满分5分）M如图，为测量山高MN,选择4和另一座山的山顶C为测量观测庶.从A庶测得M庶的仰角AMAN=60°,C点的仰角ZCAB=45。以及ZMAC=15°；从C点测得ZMCA=60°.已知山高BC=\00m,则山高MN=m.（2014-全国II文，17,本小题满分12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1,BC=3,（I）求C和BD;（II）求四边形ABCD的面积。（2015-全国I理，16,本小题满分5分）在平面四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,则AB的取值范围是5、（2015-全国II理，17,本小题满分12分）△ABC中，D是BC±的点，AD平分ZBAC,AABD是4ADC面积的2倍。\n（I）求sm'B；（］［）若AD=［rDC二返求BD和AC的长.sinZC26、（2015-全国II文，17,本小题满分12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分ZBAC,BD=2DC.（I）求呦ZB.（H）若ZBAC二60。，求ZB.sinZC此类题一般题干简洁明了，图形简单，是近几年高考的热点。但学生普遍反映三角函数中最害怕的就是这类题。题中往往没有直接告诉你边角关系，而是给出几何图形，需要我们从自己去寻找“突破口”。即分析应该从哪些三角形入手去寻找边角关系，从而达到解决问题的目的。解题过程中常常要用到方程思想、数形结合思想和割补法思想等。下而对2015•全国I理，16和2014-全国文，16作重点分析:（2015-全国I理，16,本小题满分5分）在平面四边形ABCD中，ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,则A3的取值范围是.【分析】此题直接边角互化求解很困难，特殊化是解决填空题的一种合情推理的方法，合理运用可以大大简化解题过程，当然，这个过程中不能忘记重要的数学思想方法：数形结合.但多数考生未能想到这一解法，这表明考生的合情推理能力的训练仍要加强.【解析】如图所示，延长BA,CD交于E,平移AD,（1）当A,D,E重合时，AB最长，在ABCE中，ZB=ZC=75°,ZE=30°BC=2,由正弦定理可解得：BE=76+^2・（2）当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F,在ABCF中，同理由正弦定理得：BF二■迥,故AB的取值范围为（亦・"，V6+V2）.当然此题也可用函数知识求解。（2014-全国文，16,本小题满分5分）如图，为测量山高MN,选择4和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角ZMAN=60°,C点的仰角ZCAB=45°以及ZMAC=75°:从C点测得ZMCA=60°.已知山高BC=100/72,则山高=m.【分析】正余弦定理在解决实际问题中的应用学习的最终目的是为了应用于实际生活，遇到生活中的问题，我们可抽象出数学模型，然后应用定理去解决.应用数学知识解决问题的意识与能力是课程标准的明确要求，应用题是高考中的必考题型.三角函数是除概率之外出应用题的较好载体，在概率大题难以推陈出新时，三角函数就成为应用题的较好选择.三角函数应用题，一般是选择角为变量，通过建立三角函数作为目标函数来处理问题.三角函数应用题还可以与其他知识，如导数与不等式等结合，扩大考查的深度与广度，这一单元的复习，三角函数应用题应作为重点来对待.此题实际可以抽象为一个立体几何模型，分析题意发现已知角很多，但是边长只有BC的长，所以应该从BC所在的三角形入手，解出AC的长，从而在AACM中，可解出AM的长度从而在RtAAMN中解出MN的长度.\n【解析】在RtAABC中，BC二100,ZCAB=45°,所以AC二100,在Z\ACM中，ZMAC二75°ZMCA二60°,由正弦定理可得AM=1()(),在RtAAMN中,可解得MN=15().解三角形相关问题，主要是正眩定理和余弦定理的应用.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时只要知道其比值或者等量关系就可以通过约分达到解决问题的目；运用余眩定理吋，要注意整体思想的运用以及与基本不等式的综合应用；对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法，代数恒等变形方法等进行转化化简，从而得出结论•解决正弦定理和余眩定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想解决问题•在解决问题的时候，不要忘记数形结合、函数与方程的数学思想，在处理客观题训练时，可适当合情推理.