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  • 2022-07-22 发布

高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题课件

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高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题\n考点自测课时训练题型分类 深度剖析内容索引\n考点自测\n1.(2015·课标全国Ⅱ)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为答案解析\n则|AB|=2a,由双曲线的对称性,可设点M(x1,y1)在第一象限内,过M作MN⊥x轴于点N(x1,0),∵△ABM为等腰三角形,且∠ABM=120°,∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,x1=|OB|+|BN|=a+2acos60°=2a.\n2.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为答案解析\n\n\n3.(2016·山西质量监测)已知A,B分别为椭圆=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,直线y=kx(k>0)与椭圆交于C,D两点,若四边形ACBD的面积的最大值为2c2,则椭圆的离心率为答案解析\n设C(x1,y1)(x1>0),D(x2,y2),\n\n即2c4=a2b2=a2(a2-c2)=a4-a2c2,2c4+a2c2-a4=0,2e4+e2-1=0,\n4.(2016·北京)双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=____.2设B为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,又a2+b2=c2=8,∴a=2.答案解析\n题型分类 深度剖析\n题型一 求圆锥曲线的标准方程答案解析\n求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,主要利用圆锥曲线的定义、几何性质,解得标准方程中的参数,从而求得方程.思维升华\n跟踪训练1(2015·天津)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为答案解析\n则a2+b2=4,①\n题型二 圆锥曲线的几何性质例2(1)(2015·湖南)若双曲线=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为答案解析即3b=4a,∴9b2=16a2,∴9c2-9a2=16a2,\n答案解析\n\n圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、双曲线渐近线,是常考题型,解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义,及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧,有助于提高运算能力.思维升华\n跟踪训练2已知椭圆=1(a>b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点F,P,Q是椭圆与抛物线的交点,若PQ经过焦点F,则椭圆=1(a>b>0)的离心率为_______.答案解析\n题型三 最值、范围问题解答(1)求双曲线的方程;\n(2)若过点B(0,b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M,N,MN的垂直平分线为m,求直线m在y轴上的截距的取值范围.解答\n由(1)知B(0,1),依题意可设过点B的直线方程为y=kx+1(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).\n得1-3k2∈(-1,0)∪(0,1),故直线m在y轴上的截距的取值范围为(-∞,-4)∪(4,+∞).\n圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种:一是代数法,从代数的角度考虑,通过建立函数、不等式等模型,利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值;二是几何法,从圆锥曲线的几何性质的角度考虑,根据圆锥曲线几何意义求最值与范围.思维升华\n跟踪训练3直线l:x-y=0与椭圆+y2=1相交于A,B两点,点C是椭圆上的动点,则△ABC面积的最大值为_____.答案解析\n设与l平行的直线l′:y=x+m与椭圆相切于P点.则△ABP面积最大.∴Δ=(4m)2-4×3×(2m2-2)=0,\n\n题型四 定值、定点问题例4(2016·全国乙卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.解答\n(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解答\n当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).\n\n求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.思维升华\n跟踪训练4(2016·北京)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;解答\n(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:|AN|·|BM|为定值.证明\n由(1)知,A(2,0),B(0,1).\n当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,∴|AN|·|BM|=4.故|AN|·|BM|为定值.\n题型五 探索性问题圆C1:x2+y2-6x+5=0化为(x-3)2+y2=4,∴圆C1的圆心坐标为(3,0).例5(2015·广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;解答\n(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;解答\n设M(x,y),∵A,B为过原点的直线l与圆C1的交点,且M为AB的中点,∴由圆的性质知MC1⊥MO,∴由向量的数量积公式得x2-3x+y2=0.易知直线l的斜率存在,∴设直线l的方程为y=mx,把相切时直线l的方程代入圆C1的方程,\n当直线l经过圆C1的圆心时,M的坐标为(3,0).又∵直线l与圆C1交于A,B两点,M为AB的中点,\n(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解答\n由题意知直线L表示过定点(4,0),斜率为k的直线,把直线L的方程代入轨迹C的方程x2-3x+y2=0,若直线L与曲线C只有一个交点,令f(x)=0.此时方程可化为25x2-120x+144=0,即(5x-12)2=0,\n\n\n(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.思维升华\n解答\n(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且A,B两点的“椭点”分别为P,Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点,试判断△AOB的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由.解答\n∵以PQ为直径的圆经过坐标原点,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,得3+4k2-m2>0.\n\n\n课时训练\n12345(1)求椭圆E的方程;解答\n(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.证明12345\n得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,12345\n(1)求椭圆C的方程;解答12345\n12345\n(2)设不经过顶点A,B的直线l与椭圆交于两个不同的点M(x1,y1),N(x2,y2),且=2,求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围.解答12345\n(ⅰ)当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,此时d=1.(ⅱ)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m(m≠±1),联立椭圆方程得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由Δ>0⇒4k2-m2+1>0,①12345\n椭圆右顶点D(2,0)到直线l的距离综上可知d∈[0,2).12345\n3.(2017·浙江新高考预测)已知曲线C的方程是mx2+ny2=1(m>0,n>0),且曲线C过A(),B()两点,O为坐标原点.(1)求曲线C的方程;解答所以曲线C的方程为y2+4x2=1.12345\n(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线C上两点,且OM⊥ON,求证:直线MN恒与一个定圆相切.证明12345\n原点O到直线MN的距离12345\n12345\n4.已知椭圆=1的左顶点为A,右焦点为F,过点F的直线交椭圆于B,C两点.(1)求该椭圆的离心率;解答12345\n(2)设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M,N,问:x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.解答12345\n依题意,直线BC的斜率不为0,设其方程为x=ty+1.设B(x1,y1),C(x2,y2),假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP,12345\n将x1=ty1+1,x2=ty2+1代入上式,整理得即(p-4)2-9=0,解得p=1或p=7.所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0),使得MP⊥NP.12345\n解答12345\n因为A,B分别是直线l:y=ex+a与x轴,y轴的交点,12345\n12345\n解答(2)若△PF1F2为等腰三角形,求λ的值.12345\n因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,12345

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