高中物理竞赛模拟试题（二） 31页

高中物理竞赛模拟试题（二）1.设法使边长为L的正方形环图52-2在任何情况下均以匀速度v沿着它的AB边方向运动，在其运动的空间区域内有一匀强电场，场强E垂直于环的运动速度。运动期间，环始终在同一平面上，电场E相对于环平面的倾角为θ。设环上串有大量小球，这些小球象珠子串在项链上那样被串在环上。小球的大小可忽略，各球都带有电量q。今在相对于环不动的参照系中设法让这些小球均以匀速u沿环边运动，各边上相邻两球的间距均为a，且L远大于a（参见图52-2），环是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的电荷线密度，正好把全部小球的电荷完全抵消掉。考虑相对论效应，在一个从其上看环的运动速度为v的惯性参照系上计算以下各量：1、环路各边上相邻两个小球之间的距离aAB,aBC,aCD和aDA；2、环路各边净电量（各边上线电荷与小球电荷之和）QAB,QBC,QCD和QDA；3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量M；4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能W。所有解答均需用题中给定的量来描述。第31页共31页\nd水平线图11-1892.如图11-189所示，一块均匀的细长木板以倾角θ静止地放在两根水平的固定平行细木棒A和B之间。若两棒相距为d，两棒和木板间的摩擦因数均为μ，试求木板重心G与木棒A之间的距离。3.A、B两点相距s，将s平分为n等份。今让一物体（可视为质点）从A点由静止开始向B做加速运动，但每过一个等分点，加速度都增加a/n。试求该物体到达B点的速度。4.一个质点从静止开始，先以加速度a1作匀加速运动，后以大小为a2的加速度作匀减速直线运动，直至静止，质点运动的总时间为t，则运动的总位移是多少？5．如图24-29所示，截面均匀，下端A封闭的细长试管AB第31页共31页\n竖直放置，管下端A内封有长为L0的空气，管中间是长为4L0的水银柱，管上端B有长为L0大气 水银柱 空气 图24-29 的空气。管中间有长为L=4L0的水银柱管上端B有长为L0的空气。开始时，管上端B与大气连通，大气压强为p0=2ρgL，其中ρ为水银密度。（1）如果先将B端封闭，再将试管缓慢转过180°，试问管中A端空气柱长度LA与B端空气柱长度LB各为多少？（2）如果B端始终与大气连通，不封闭，先将试管缓慢倒转180°，再缓慢回转180°复原。试问最后管中A端空气柱长度与B端空气柱长度各为多少L0？设倒转过程均在大气环境下进行，温度不变。1m图24-3370cm6．某水银气压计的玻璃管顶端高出水银槽液面1m。如图24-33所示，因上部混入少量空气，使其读数不准。当气温为27ºC，标准气压计读数仍为76cmHg时，该气压计读数为70cmHg。（1）在相同气温下，若用该气压计测量气压，测得读数为68cmHg，则实际气压应为多少厘米汞柱？（2）若在气温为-3ºC时，用该气压计测得气压读数仍为70cmHg，则实际气压应为多少厘米汞柱？第31页共31页\n7．如图24-61所示，有一个直立的气缸，气缸底到气缸口的距离为L0cm，用一厚度和质量均可忽略不计的刚性活塞A，把一定质量的空气封在气缸内，活塞与气缸间的摩擦可忽略。平衡时活塞上表面与气缸口的距离很小（计算时可忽略不计），周围大气的压强为H0cmHg。现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上（瓶子的质量可忽略），平衡时活塞到气缸底的距离为Lcm。若不是把这瓶水银放在活塞上，而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方，这时活塞向下移，压缩气体，直到活塞不再下移，求此时活塞在气缸内可能的位置以及与之相对应的条件（即题中给出量之间应满足的关系），设气体的温度不变。8.有一根玻璃管，它的内、外半径分别为r和R，充满发光液，在射线的影响下，发光液会发出绿光。对于绿光，玻璃和液体的折射率分别为n1和n2。如果有人从外表面观察，玻璃管的厚度似乎为零，请问比值必须满足何条件？9.薄壁透明圆柱形玻璃容器浮于水面，容器的内底面与容器外水面的高度差为h，容器的内直径为D。在容器底正中放有一个小物体A（图33-109）。实验证明，在水面上方容器外侧存在一个看不见A的“盲区”。已知水的折射率为n=4/3，sin48°36ˊ=0.75第31页共31页\n，假定水面与玻璃表面垂直，试确定此盲区的范围。10.如图33-119所示，一个附着有小珠的屏，当入射光聚焦在小珠的后表面时会把入射光反射回光源。对在水中(n=4/3)穿紧身衣潜水者来说，理想情况下小珠要用折射率多大的材料？11.一条窄的激光束在折射率为n1的媒质中传播，射向半径为R的透明球。球心到光束的距离为L，光束宽度比球的半径小得多，球是由折射率为n2的光疏媒质制作的。试求光束与原方向的偏角。12．两个相距很远的铜球，已知其半径和电势分别是：r1=6cm，U1=300V；r2=4cm，U2=150V。将这两个铜球用细铜丝连接达到静电平衡后，问此时电能损耗了多少？第31页共31页\n13．真空中，有五个电量均为q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此内切于P点。球心分别为O1、O2、O3、O4、O5。求O5与O1间的电势差。14．有一带正电的孤立导体A。另外，从无穷远处将不带电的导体B移至A的附近，试证明：（1）σA≥0（2）UA›UB›0其中为导体A的电荷面密度，UA和UB为导体A和B的电势。第31页共31页\n高中物理竞赛模拟试题（二）参考答案1.设法使边长为L的正方形环图52-2在任何情况下均以匀速度v沿着它的AB边方向运动，在其运动的空间区域内有一匀强电场，场强E垂直于环的运动速度。运动期间，环始终在同一平面上，电场E相对于环平面的倾角为θ。设环上串有大量小球，这些小球象珠子串在项链上那样被串在环上。小球的大小可忽略，各球都带有电量q。今在相对于环不动的参照系中设法让这些小球均以匀速u沿环边运动，各边上相邻两球的间距均为a，且L远大于a（参见图52-2），环是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的电荷线密度，正好把全部小球的电荷完全抵消掉。考虑相对论效应，在一个从其上看环的运动速度为v的惯性参照系上计算以下各量：1、环路各边上相邻两个小球之间的距离aAB,aBC,aCD和aDA；2、环路各边净电量（各边上线电荷与小球电荷之和）QAB,QBC,QCD和QDA；3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量M；4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能W。所有解答均需用题中给定的量来描述。注意：物体的电荷量与测量参照系的选择无关。图52-2只画出了各矢量之间的相对方向。略去电磁辐射。第31页共31页\n有关的相对论公式如下：（1）设惯性参照系以匀速度v相对另一参照系S运动。两参照系对应的坐标轴彼此平行，t=0时坐标原点重合，速度v沿x轴正方向。若在系测得一个质点以速度沿轴运动，那么在S系测得该质点的速度应为其方向沿x轴正方向（相对论速度求和公式）。（2）如果一个物体的静止长度为，当它以速度v沿其长度方向相对某观察者运动时，那么该观察者测得此物体长度L为解：1、令S为观察到环路以速度v运动的实验室参照系，为环路参照系（系的x轴与v同向，沿着DA边的方向，轴则垂直于环路所在平面）。S系各轴平行于系各对应轴，S与系的坐标原点在t=0时重合。（1）AB边建立与AB边上的小球一起运动的参照系，它的各坐标轴与S，系的坐标轴平行。相对具有速度u。据洛仑兹收缩，测得的AB边上相邻两个小球之间的距离为，（1）第31页共31页\n（只要是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立。）据相对论速度求和公式，S系中的观察者认为AB边上诸球具有的速度为（2）再据洛仑兹收缩，此观察者将测得AB边上相邻两球的间距为，（3）将（1），（2）式代入到（3）式，可得：。（4）（2）CD边对S系中的观察者而言，CD边上小球的速度为，（5）再据洛仑兹收缩有，（6）将（1），（5）式代入到（6）式，便得（7）第31页共31页\n（3）DA边在系中，令DA边上的某一小球在时刻位于处。在同一时刻邻近的一个小球应位于，，处。各球相对于S系的空—时坐标可由洛仑兹变换式给出，，，（8）。据此，第一个小球在S系中有，，，（9）。第二个小球则为，，，（10）第31页共31页\n。由于，S系中这两个小球之间的距离便为，（11）即得。（12）（4）BC边重复上述相似的讨论，可得（13）（其实，由于DA，BC边与v垂直，无洛仑兹收缩，故。）2、在环路参照系中，每一条边线上的电荷量为（14）在此已考虑到L/a为各边上的小球数。由于电荷是运动不变量，在实验室参照系S中测得的各边线电荷量也为此值。（1）AB边在实验室参照系中，AB边上各球电荷量之和为（15）此式系由AB边上小球数乘以每一小球电荷量（运动不变量）来获得。（15）式右边第一项中的分子为S第31页共31页\n系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距。将（4）式代入到（15）式中，可得：（16）将（14）式和（16）式相加，便得AB边上总电荷量。（17）（2）CD边用相同的方法可得（18）将（14）和（18）式相加，可得（19）（3）BC边和DA边S系中观察者测得这两条边的边长均为L，相邻两球的间距也均为a，因此，（20）将（14）和（20）式相加，可得，（21.1）图52-3图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图。（21.2）3、作用在AB边上的电场力为第31页共31页\n，（22）作用在CD边上的电场力为，（23）与形成一力偶。据力偶的力矩表达式，可得（参见图52-3）（24）最后可表达成（25）4、令和分别为AB边上各点和CD边上各点的静电势（指场强为E的外电场的电势——注），那么有，（26）图52-4将电势零位（U=0）选在与E垂直的一个平面上，此平面与AB边的间距为某一任意量R（见图52-4），于是（27）但，故，（28）将（17）式代入到（28）式，便得第31页共31页\n（29）d水平线图11-1892.如图11-189所示，一块均匀的细长木板以倾角θ静止地放在两根水平的固定平行细木棒A和B之间。若两棒相距为d，两棒和木板间的摩擦因数均为μ，试求木板重心G与木棒A之间的距离。解：注意解答的完整性3.A、B两点相距s，将s平分为n等份。今让一物体（可视为质点）从A点由静止开始向B做加速运动，但每过一个等分点，加速度都增加a/n。试求该物体到达B点的速度。解：设质点从静止出发，经过距离后的速度为V1、V2、V3、…Vn，则有(1)(2)(3)(n)第31页共31页\n将以上几个式相加可得4.一个质点从静止开始，先以加速度a1作匀加速运动，后以大小为a2的加速度作匀减速直线运动，直至静止，质点运动的总时间为t，则运动的总位图12-32移是多少？分析：本题要扣住了质点分段运动中的转折点时的速度为解题的切入点。加速过程中的末速度就是减速过程中的初速度，也是全程中的最大速度，而且全程中的平均速度为最大速度的一半。本题有两种解法：一种是公式法，一种是图像法。在图12-32中质点的速度-时间图像中质点运动过程的速度情况是十分直观的。在图像法中，图像的斜率就是物体的加速度，图像所围的面积就是质点的位移，再根据它们之间关系就可以达到求解的目的。解法一：质点作匀加速直线运动的末速度为，由题意可知（1）（2）由（1）、（2）两式解得第31页共31页\n质点的总位移为解法二：作出质点运动过程中的速度-时间图像如图12-32所示，由图像的物理意义可知，图像所围的面积就是质点的位移5．如图24-29所示，截面均匀，下端A封闭的细长试管AB竖直放置，管下端A内封有长为L0的空气，管中间是长为4L0的水银柱，管上端B有长为L0的空气。管中间有长为L=4L0的水银柱管上端B有长为L0的空气。开始时，管上端B与大气连通，大气压强为p0=2ρgL，其中ρ为水银密度。大气 水银柱 空气 图24-29 （1）如果先将B端封闭，再将试管缓慢转过180°，试问管中A端空气柱长度LA与B端空气柱长度LB各为多少？（2）如果B端始终与大气连通，不封闭，先将试管缓慢倒转180°，再缓慢回转180°复原。试问最后管中A端空气柱长度与B端空气柱长度各为多少L0？设倒转过程均在大气环境下进行，温度不变。解：（1）倒转前后，对于A、B气体有第31页共31页\n 而， 所以求得（2）设倒转后水银不外泄，对于A端空气柱有， 求得，说明水银外泄一部分。设倒转后，剩下水银柱长度为，A端长度为LA，则有 ， 解得。回转过程中，有， 求得。1m图24-3370cm6．某水银气压计的玻璃管顶端高出水银槽液面1m。如图24-33第31页共31页\n所示，因上部混入少量空气，使其读数不准。当气温为27ºC，标准气压计读数仍为76cmHg时，该气压计读数为70cmHg。（1）在相同气温下，若用该气压计测量气压，测得读数为68cmHg，则实际气压应为多少厘米汞柱？（2）若在气温为-3ºC时，用该气压计测得气压读数仍为70cmHg，则实际气压应为多少厘米汞柱？解：（1）以混入气压计内气体为研究对象，因温度不变，有， ， 则 实际气压（2）因体积不变，有， ， 则 第31页共31页\n实际气压7．如图24-61所示，有一个直立的气缸，气缸底到气缸口的距离为L0cm，用一厚度和质量均可忽略不计的刚性活塞A，把一定质量的空气封在气缸内，活塞与气缸间的摩擦可忽略。平衡时活塞上表面与气缸口的距离很小（计算时可忽略不计），周围大气的压强为H0cmHg。现把盛有水银的一个瓶子放在活塞上（瓶子的质量可忽略），平衡时活塞到气缸底的距离为Lcm。若不是把这瓶水银放在活塞上，而是把瓶内水银缓缓不断地倒在活塞上方，这时活塞向下移，压缩气体，直到活塞不再下移，求此时活塞在气缸内可能的位置以及与之相对应的条件（即题中给出量之间应满足的关系），设气体的温度不变。图24-61分析：设整瓶水银放在活塞上后，使气缸内气体增加的压强为hcmHg；由玻意耳定律，得，这也是全部水银倒在活塞上而无溢柱的高度。当将水银缓缓倒向活塞直到活塞不再下移时，对应着两种可能情况：（1）水银能全部倒在活塞上而无溢出；（2）只有部分水银倒在了活塞上水银就开始溢出。然后分别对这两种进行讨论，找出活塞可能的位置和对应的条件。解一：设整瓶水银放在活塞上后，使气缸内气体增加的压强为hcmHg；由玻意耳定律 得（1）式中L为此时活塞所在位置与缸底距离，h的大小反映了水银质量的大小。第31页共31页\n当水银注入后，活塞不再下移时，设活塞上水银的深度为，活塞下移的距离为，则由玻意耳定律 解得（2）可能发生两种情况：（1）水银比较少，瓶内水银全部注入后，尚未灌满或刚好灌满活塞上方的气缸，这时有（3） 而且有由（1）（2）（3）式得活塞到气缸底的距离  所以 若，则有第31页共31页\n（2）瓶内水银比较多，当活塞上方的气缸灌满水银时，瓶内还剩有一定量的水银，这时（4） （5）由（2）（4）式得则活塞到气缸底的距离 由（1）（4）（5）式得 可见，若，则解二：设整瓶水银放在活塞上后，使气缸内气体增加的压强为hcmHg，由玻意耳定律得 这也是全部水银倒在活塞上而无溢出时水银柱的高度。当将水银缓缓倒向活塞直到活塞不再下移时，对应着水银能全部倒在活塞上而无溢出和只有部分水银倒在了活塞上水银就开始溢出两种可能情况。下面对这两种情况分别讨论：第31页共31页\n （1）当，即时，得，瓶中水银可全部倒入而无溢出。此种情况与将整瓶水银放在活塞上等效，故活塞到缸底的距离=L。 （2）当，即，得，瓶中水银只有部分倒在活塞上就开始溢出。设此时活塞到缸底的距离为，由玻意耳定律有即此时水银高度只有，此时压强为求得由此可以得出：当时，；当时，点评：本题是1996年全国高考试题，其命题具有新意。当年高考时本题得分率最低，只有0.05。其原因是大多数学生没有考虑具有两种可能性，特别是第（2）种情况讨论更少。解法二创设新情景，把h包含的物理意义点出来，使隐含条件明显地暴露出来，这样做可使原问题的难点得到化解，使问题的解答以一种清新简明的面貌展现出来。 8.有一根玻璃管，它的内、外半径分别为r和R，充满发光液，在射线的影响下，发光液会发出绿光。对于绿光，玻璃和液体的折射率分别为n1和n2。如果有人从外表面观察，玻璃管的厚度似乎为零，请问比值第31页共31页\n必须满足何条件？分析：引起玻璃管壁厚度为零的感觉，是因为有部分来自液体的光线射出管外时，沿着玻璃管外表面的切线方向到达眼睛。图33-97由于系统呈圆柱体对称，故只需考虑一条沿着管壁切线方向射出并与管轴垂直的光线就可以了（如图33-97）。图中，若光线由液体中射入玻璃中的折射角取值越大，则由玻璃射向空气的入射角取值越大。而越大，则越容易出现光线沿管壁切线方向射出的情况。可见，只需对和取值最大时能使光线沿管壁切线方向射出的情况进行讨论就可以了。解：如图，设O为圆心，某一条光线自管内壁之A点射向外壁之B点，则中，由正弦定理有即（※）（1）若，则的最大值可取，此时由（※）式则有此时若要有光线能沿管壁切线方向射出，则应不小于临界角C，即应有 综合以上两式知此时的条件为第31页共31页\n（2）若，则由折射定律知的最大值应满足以此代入（※）式知此时的角将满足同上道理，还应不小于临界角C，即综合以上两式知此时的条件为9.薄壁透明圆柱形玻璃容器浮于水面，容器的内底面与容器外水面的高度差图33-109为h，容器的内直径为D。在容器底正中放有一个小物体A（图33-109）。实验证明，在水面上方容器外侧存在一个看不见A的“盲区”。已知水的折射率为n=4/3，sin48°36ˊ=0.75，假定水面与玻璃表面垂直，试确定此盲区的范围。分析：从A点发出的一细束光AB，如图33-110所示。B点在容器壁与水面的交界处。光束Ⅰ是直接从空气中射出的光，光束Ⅱ是经过水的折射后的折射光。这两条光的中间区域看不到从物体A上发出的光，因此是看不见A的“盲区”。解：根据光的折射公式第31页共31页\n图33-110而所以当时，，所以当时，与容器壁的夹角为到的区域为盲区。当时，当容器壁的夹角大于的区域为盲区。10.如图33-119所示，一个附着有小珠的屏，当入射光聚焦在小珠的后表面时会把入射光反射回光源。对在水中(n=4/3)穿紧身衣潜水者来说，理想情况下小珠要用折射率多大的材料？解：如图33-120所示，选择平行于OP轴的近轴光线，会聚于P处则图33-120又∵且∴综合解得11.一条窄的激光束在折射率为n1的媒质中传播，射向半径为R第31页共31页\n的透明球。球心到光束的距离图33-121为L，光束宽度比球的半径小得多，球是由折射率为n2的光疏媒质制作的（图33-121）。试求光束与原方向的偏角。分析：由原题图有，对于发生反射的临界值I有。由此可得，如果，发生全反射所求的偏角为。图33-122当时，光路图如图33-122所示，有。因为，。所以当时，所求的偏角为。解：如果，偏角为。如果，偏角为。12．两个相距很远的铜球，已知其半径和电势分别是：r1=6cm，U1=300V；r2=4cm，U2=150V第31页共31页\n。将这两个铜球用细铜丝连接达到静电平衡后，问此时电能损耗了多少？解：因为，所以球形导体电容。两球以导线相连后电势相等，可认为两电容并联，电荷总量守恒，即。得铜球连接有后总能量连接后总能量电流通过导线，发热损耗及由电磁波辐射损耗的能量13．真空中，有五个电量均为q的均匀带电薄球壳，它们的半径分别为、R/2、R/4、R/8、R/16，彼此内切于P点。球心分别为O1、O2、O3、O4、O5。求O5与O1间的电势差。分析：均匀带电球壳在球内外的电势是大家熟知的。利用电势叠加原理可先分别求出球心与的电势，再算与的电势差。解：的电势为第31页共31页\n（1）的电势为（2）与的电势差14．有一带正电的孤立导体A。另外，从无穷远处将不带电的导体B移至A的附近，试证明：（1）σA≥0（2）UA›UB›0其中为导体A的电荷面密度，UA和UB为导体A和B的电势。解：（1）用反证法，设导体A表面某处，则有电场线终止于该处。因此，该电场线只能来自无穷远处或导体B。若来自无穷远处，则处的电场线只能终止于B的负电荷处。由于B第31页共31页\n的总带电量为零。故在B表面某处必有6B>0，其发出的电力线只能伸向无穷远。根据电场线性质，有此式矛盾。若来自B，同理可推得也产生矛盾，因此原假设不成立，只能是。（2）由于静电感应，总带电量为零的导体B上，有正有负，根据上面的讨论，正电荷发出的电场线只能伸向无穷远，因而负电荷吸收的电场线只能来自导体A。考虑到电势沿电场线方向降低，所以有14．在半径为R的导体球外，有一半径为r的细圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为a(a>R)，且与环面垂直，如图41-90所示。已知环上均匀带电，总电量为q，问：⑴当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？⑵当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？⑶当导体球的电势为U0时，球上的总电荷是多少？⑷情况（3）与情况（1）相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？⑸情况（2）与情况（1）相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？解：（1）导体球是一个等势体，导体球接地时有第31页共31页\n导体球的电势等于环上电荷q和导体球表面上感应电荷产生电势的代数和。  ⑵由于导体球不带电，故导体球的电势 ⑶导体球的电势为时  ⑷比较和，导体球上多了的电荷。由于（1）中和q使导体球的电势为零，所以电荷只有均匀分布在球面上，才能使导体球等势。电荷与圆环的作用力就是圆环受力的改变量。均匀分布于球面上的电荷对环的作用力与球心处等量点电荷对环的作用力相等，力的改变量为当时，力的方向沿球心与环心的连线向右。第31页共31页\n⑸与情况（4）相比，情况（2）的相当于情况（4）的，所以将（2）中的代替（4）中的就求得圆环受力的改变量，其值为第31页共31页