高中物理竞赛模拟试题（三） 30页

高中物理竞赛模拟试题（三）1.试证明：物体的相对论能量E与相对论动量P的量值之间有如下关系：2.在用质子轰击固定锂靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。（2）如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量有多大？有关原子核的质量如下：，1.007825；，4.002603；，图51-217.015999.3.一个处于基态的氢原子与另一个静止的基态氢原子碰撞。问可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？如果速度较大而产生光反射，且在原速度方向和反方向可以观察到光。问这种光的频率与简正频率相差多少？氢原子的质量为1.67×10-27kg，电离能。第30页共30页\n4.如图11-136所示，光滑无底圆筒重W，内放两个重量均为G的光滑球，圆筒半径为R，球半径为r，且r时因为>，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为的临界折射，因此当时，所看到的壁厚不可能为零了，当时，应考虑的是图33-105中ABCD这样一种临界情况，其中AB光线的入射角为90°，BC光线的折射角为，此时应该有在直角三角形OBE中有因为图33-104和图33-105中的角是相同的，所以，即将代入，可得当时，可看到容器壁厚为零。上面的讨论，图33-104和图33-105中B点和C点的位置都是任意的。故所得条件对眼的12.（1）用折射率为的透明物质做成内半径、外半径分别为a、b的空ba图33-114心球，b远大于a第30页共30页\n，内表面涂上能完全吸光的物质。问当一束平行光射向此球时被吸收掉的光束横截面积为多大？（注意：被吸收掉的光束的横截面积，指的是原来光束的横截面积，不考虑透明物质的吸收和外表面的反射。）图33-114所示是经过球心的截面图。（2）如果外半径b趋于a时，第（1）问中的答案还能成立？为什么？分析：（1）如图33-115所示，不被球吸收的极限光线是与球相切的光线AB，因此被吸收掉的光束横截面积应该是以R图33-115为半径的一个圆盘，面积为。利用折射定律和相关几何关系式不难求出R而得解。（2）在b趋于的过程中，当b减小到一定程度时，入射到b球面上的所有光线折射后可能都会与球面相交，此时如果b再度减小，则依据第（1）问计算出的结果就不能成立。解：（1）如图33-115所示，CO为穿过球心的光线，与CO相距为R的光线在b球面折射后折射光线AB恰好与球相切，则有由折射定律所以图33-116又因为，所以即被吸收掉的光束横截面积为。（2）在b趋于达到一定程度时，从第（1）问的结果可知，当b减小到第30页共30页\n时，，即入射到此空心球上的全部光线都将被吸收掉，此时极限光线的入射角，而R=b，如图33-116所示。如果b再减小，则入射到此空心球上的全部光线仍将被吸收掉，此时极限入射光线（即入射角）的折射图33-117线并不与内球表面相切，所以被吸收光束截面积为的结论不再成立。被吸收光束截面积此时为，参见图33-117所示。讨论：（1）本题第（1）问可以改为求经过空心球折射后的光束在球右边形成的出射光束的截面积大小是多少的问题。从左边平行入射到空心球的光束只有AE区域间的光线经外球面折射后能够从右半球折射出来，如图33-115所示。与球相切的光线AB光b球于D，过E点的光线入射角为，因折射率为，所以该折射光线的折射角为，即折射光线刚好交于b球于F点。设，D到直线OF的距离为，且，而出射光束截面积。由几何关系易知，即，所以可求出。图33-118（2）如果把问题改为空心球的内表面没有涂上吸光物质，而要求进入球内空心部分的光束在球壳外的截面积大小是多少。因为距中心光线CO越远的光线，在两球面上的入射角越大，因此抓住经外球面折射后的光线在内球面上的入射角刚好等于光从介质进入空气的临界角这条特殊光线来考虑，如图33-118所示。设角为光由介质射入空气的临界角，在ΔABO中，有第30页共30页\n，又由，由图可知。利用以上几个关系式可得，故所求射入球内空心部分的光束在球外的截面积点评：从本例的解答中可看出，正确分析和作出边界光线是解决问题的关键。边界光线是随着具体问题的不同而改变的，要注意针对具体问题灵活把握。13.真空中有一个半径为R的均匀透明球，今有两束相距为2d(d≤R)对称地（即两光束与球的一条直径平行并且分别与其等距离）射到球上，试就球的折射率n的取值范围进行讨论（1）n取何值时两束光一定在球内相交？（2）n取何值时两束光一定在球外相交？图33-123（3）如果n、d、R均已给定，如何判断此时两束光的交点是在球内还是在球外。分析：设当球的折射率为n0时，两束光刚好交于球面上，如图33-123所示。令光线射入球中时的入射角为i，折射角为r，则由图中的几何关系有又由折射定律有由上两式解得又由图中的几何关系可以得到第30页共30页\n由上式可见，对于某一个确定的比值，为使两光线刚好交于球面，球的折射率有一个确定的值n0与之对应。这样，我们可以假想，若球的实际折射率n不等于n0时，则两光线进入球内时的情况与前面图示的情况有所不同，即两光线不是交于球面上。当时，两光线将比图示情况偏折得更厉害（图中角r将更小），两光线的交点必在球内；当时，两光线将比图示情况偏折得少一些（图中的角r将大一些），两光线的交点必在球外。若以作为一个变量来讨论上述问题，由于，故由此确定的n0的范围是。解：（1）当时，对于任何来说，都有，即不管球的半径和两光线间的距离如何，两光线都必定在球内相交。（2）当时，对于任何来说，都有，即不管球的半径和两光线间的距离如何，两光线都必定在球外相交。第30页共30页\n（3）对于任意给定的n、R和d，则只需比较n与n0的大小即可确定两光线的交点是在球内还是在球外：当时，两光线的交点在球内；当时，两光线的交点在球面上；当时，两光线的交点在球外；14．一点电荷+q和半径为a的接地导体的球心相距为h，求空间的电势分布。图41-85（a）分析：此处是电荷与导体上的感应电荷共同作用的情况，此处导体是一导体球，而非平板。我们自然地猜想，球上的感应电荷可否用像电荷等效替代？若可以，该电荷应在何处？解：在导体球面上，电力线与球面正交，从电力线会聚的趋势（如图41-85（a））来看，感应电荷与-电荷相当。据对称性，应在z轴上，设其距球心。如图41-85（b）。点电荷+q与像电荷在P点的电势为由球面上U=0，即r=a处。U=0，有 上式含有参量与，因而问题化成能否找到两个参量和第30页共30页\n，使上式对于任意的都能满足。两边平方 要使此式对任意都成立，必须  得出和 图41-85（b） 其中第一组解像电荷在球内，其对球外空间作用与感应电荷相同。第二组解像电荷就在q处，其对球内空间作用与感应电荷相同（第二组解并非其他书上所说的毫无意义，这一结果有很好的应用。虽然它看起来显而易见）。球外空间电势为球内空间电势为零。讨论：若导体球绝缘，并且原来不带电，则当导体球放在点电荷q的电场中时，球将感应等量的正负电荷，球外空间的电场由点电荷q第30页共30页\n及球面上的感应正负电荷共同产生。这时感应电荷的贡献，除了负电荷根据上面的讨论可由球内Z轴上的象代替外，还应有一个感应正电荷的像，为了保持球面等势，这个像的位置位于球心。那么对于球面上任意一点 而，所以从上式可以看出球面的电势相当于单独的一个点电荷q在球心的电势。实际上，由于球表面带电总量为零，这一点是显而易见的。如果q移到无限远，即，同时增大q，使在球心处的电场保持有限。这时，像电荷的无限趋近球心，但保持有限，因而像电荷和在球心形成一个电偶极子，其偶极矩为。无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场可看作是均匀的。因此一个绝缘的金属球在匀强电场中受到感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一个处在球心，电偶极矩为的偶极子。第30页共30页\n 15．电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面的半径为R，CD为通过半球顶点C与球心O的轴线，如图41-91。P、Q为CD轴线上在O点两侧，离O点距离相等的两点，已知P点的电势为Up，试求Q点的电势UQ。分析：本题关键是将其转化为空间对称情形，而后用电势叠加原理求解。解：设想一匀匀带电、带电量也是q的右半球，与题中所给的左半球组成一个完整的均匀带电球面，由对称性可知，右半球在P点的电势等于左半球在Q点的电势，即 (1) 所以(2) 而正是两个半球同时存在时P点的电势。因为均匀带电球壳内部各处电势都相等，其值等于，k为静电力恒量，所以得(3) 由(2)、(3)两式得 第30页共30页