1996年全国高中数学联合竞赛试题及解答 5页

中学数学湖北鬓年全国高中数学联合竞赛试题及解答第一试·一一一、,合一一选择题本题满分分每题分·‘一,、本题共有个小题每小题给出了口告、、,·四个结论其中只有一个是正。一一一,一。确,普寻的请把正确结论的代表字母填入题后的、。圆括弧内每小题选对得分不选选错或选一二厂尹夕,出的字母超过一个无论是否写在括弧内。·口,··,一山山凡一律得零分,,·,汀汀及,把圆扩十一一与椭团扩厅”故选,用线段连接起来所得十一的公共点,,。,·事实上时簇汀,,百到的图形为是凡中的最大值线段不等边三角形存在整数二,使丫不一干二了百是整等边三角形四边形圆尹一,一与椭数的质数解圆护的,的坐标满足方不存在只有一个交点,程,、左之二多于一个但为有限个井一、一’’’、一一一口有无穷多个,,解得一或粤于是相应地求得解设为任意奇质数,且二自于是,、、、,,从,卜尸便有丫万‘,汤,一工生刃千,门于手丫户了百一了护了万取一上一下多首厂已囚刁们明乙一,,丫工、,,回的三个交点所以每个奇质数都有题设的性质故选、。,曰了万二一下万一,气万少决卜乍于,二。,,入八一勿设一,以下三个数乙‘告。浅人了万汀,。,,因此所得到的图形为正三角形故选气一”的大小关系是“口口,等比数列。的首项公比。,。。。“,,,,设,于是,。。并且用抵表示它的前项之积则凡解一万一合,。夕厅,,〔少订最夕汀大的是犷,打,『,犷一兀口一解等比数列的通项公式为由于厂兀一,,,二十,丫万粤,一冬前项的积寸于乙‘·‘‘,一又一犷立亏卫二,,二,二,所以冬易见为正晋一晋乙夕打少厅数,二,。,二,为负数故二,,二,,二,于是只需比较、,、。。故选。。,因义‘’、一一,,曰一,“‘““音一如果在区间〕上函数一、二。与十在同一点取相同““、少’乡一一万一万一\n中学数学湖北,么区间上的最大值是的团彼此至多有一的最小值那在该个公共点由图寻万澎万一‘怪州卜二丁怪勺一、口一丁、一,乙‘任别万粼丁,二丁所以最多还可放入—乙。,‘,、,、尸一二,【若矛一人一二一个’点’满了足上述要求·刁万澎万‘。‘“门下小—气丁一一爪一义乙即圆台内最多还可以放入半径为的球以上答案都不对,〕,个故选解在〔上、,一十二坟空魔本题满分分每小题分音音人‘,,一一乡‘一一步乍护又乏尧二告从二丁,呆一一一七乙、一,“羚普子的真子集的个数是一丫与在同一点上取相等的解集合,,一一,一最小值飞一芝尧杏‘从一下子,七班乙一气丁·当︸吏生扩别万了二一乙一一一一‘几、二丁,乙一一《—匕少工‘,,,一即了了〕时‘〔丈成,任一二小,二户习乙镇任乙,二,所以其真子集的个数为解得一一别万二了乙州卜粼万。。乙孟⋯器一二二,一一非于是一乙寸二不澎万粼万复平面上乙,,由于别一一,零复数在以为万粼万,圆心为半径的圆一一,,·上的实部为—,二李万寻万零,二的辐角主值为乙,,故选,。丫万,。二尸只组一下二一一月一下丁高为的图台内有一个半径为的球一乙乙,,,,与回台上底,球心在圆台的轴上球解一与,轴的夹角为、晋面侧面都相切圆台内可再放入一个半径为、,,,的球,。、圃台的下底面及了万使得球与球二丁,乃【衍人,二尸一月一下二艺,乙乙侧面都只有一个公共点除球圃台内最多,·,又二⋯的实部为零还能放入半径为的球的个数是二二二齿立因二在圆一一’上,二应舍去,一普即勺一百毛燕长,丫万在通过补与圆心的直径上艺气丁,‘‘气万厅月一号图丫万一。一下州卜又乙‘解作过的国台的曲线的极坐标方程是已轴截,,面如图再作过点的极坐标是,,曲线在它所在的平与,圆台的轴垂直的截面过面内绕旋转一周,则它扫过的,图形的面积截面与圆台的轴交于圆,易求得是由图〔灭〕一了这个问题等价于在以尸,是,解设曲线上的任意一点为,,,圆心为半径的团上除外最多还可则一夕在△尸中由余放,以这些点及为圆心,为半径几个点使弦定理得\n中学数学湖北尸如果我,们对两个相同的正方体染色后可以“·,、、尸一尸通过适当的翻转使得两个正方体的上下一、、、后六个对应面的染色都相同,夕夕左右前那一夕一夕么,我们就说这两个正方体的染色方案相“夕’同管一言管用种颜色的涂法有当,解。一一时上式取等号所以合一义种尸的最大值是易知点,在曲线湾用种颇色的涂法有,,上当“从。增大到一时尸由··义含急种。·增大到用种颇色的涂法有湾火,一种曲线扫过的图形是以为圃心、,二。‘,,八二二。用种颇色的涂法有急一种山一,·不刀干记曰因刀「围郁久广匕网圆钱足气丁冗,,所以总的涂色方案有种已知将给定的两个在直角坐标平面上,以,为全等的正三棱锥的底面粘团,,在一起恰得到一个所有心以为半径的回,,、二面角都相等的六面体周上整点即横纵并且该六面体的最短棱的坐标皆为整数的点,则最远的两顶点长为间的个数为的距离是,为解设圆上的一整点如图,,,,,解如作土连接易证图团的方程为犷一一,则匕为,土刀面和面所显然刁一口成,同理,,二面角的平面角设为的中点一一一为方程的。,士时与艺为面和面所成二面角的平组解但当护互素因面角由,,,夕,已知艺艺设底面为素数此时一是一组。,侧棱长为在,,△的边长为勾股数故可表成二个正整数的平方和,··,△中一即因又可设,··召一。,月,则在△,易求得中,。,,,、二、,,,了失丈一乙了一又下万习夕一乙了口一不这与为型素数矛盾因而图上只有个整点,,,,,,。,由△△得,一兰。一,,乙口—下犷右,一了第二试,,·一。。、丫一本题满分分设数列的前,项和,一,,⋯,数列满而求得一,一。,,,⋯从一足求数列因此,从的前项和而最远’,一,的两顶点间距离是解一从给定的六种一一,不同颜色中选用若干种颇色,,每将一个正方体的六个面染色面恰染,‘‘,一种颇色每两个具有公共棱的面染成不同又一卜的颇色则不同的染色方案共有种注一一卜一\n中学数学湖北,,口一。一在条件下由于,一。一。。。。卜乙口口二丁因此,是,—乙首项为公比为的等比数夕夕列,。,,,,,十夕旦对于瓦取一⋯一十夕得。,、一、、“仔寸,,,且当夕时等号成立从一,。。。门将上列等式两端相加得乙口口下万”一—乙一丫,二一一而万十一下一一一一二丁一州卜夕夕一。成十乙戒号—‘一由此得。、,所以数列,的前项和毛、二一’综上所述可知寸即十⋯十一笋万双省哭一,一为所求、二、本题满分分三本题满分分,如,圆和求实数的取值范围使得对任意实数图和任意夕任〔,恒有圆与△的‘‘’’粤‘一一一女一三边所在的三条直’“灸夕夕,、、、、·线都相切音为切,点,并且只生解易知原不等式、的延长线灸夕一仅夕一夕业人⋯上交于尸点求证直、。一二八、二‘弓花,门七万巴匕,普习线尸与垂直任,、。。证明延长交于连接一十乙口十下、、、、,乙则由可得妻夕夕一一,兀丁厂也厂少之二对任意夕任〔。习△尸￡‘要’乙,,乙塑丈〕户一一一粤一一一乙,或者镇对任意尸互艺夕夕尸匕。〔,,,。吞△尸中由正弦定理山里互乙,由于在条件下夕任〔,份尸一艺尸,,簇口夕镇订,是圆的切线艺尸一之一一艺,十。冬尸一,乙艺艺夕夕同理艺尸一艺一一夕夕艺’艺夕万下,,匕艺又,当簇簇心时,显然艺艺’、,、,一,一艺艺一’,又夕士兀丁一刀才叭田头义从四,,乙〔在△尸及△尸中由正弦定理。。乙州卜艺卜下干艺里二’艺些旦‘‘匕尸一艺一。夕口‘二夕〔〔〕十迈尸普·万了一万了了户五一万了了一一一二不由此可得多〔,乙易知△的△\n中学数学湖北一一甲人中每人与或相识,则与上述讨论类似,一’可推出矛盾,八易知尸是直角梯形由不然,存在,他,皆不相识,于是,同易知刀,。个人中除之外的中必有一半与一鲁个’人、’‘闷‘切一”曰一,即“土尸土,相识另一半与相识所有与相识的人互、四本题满分分不相识,所有与相识的人也互不相识,已知有个人聚会,个人,皆相识,,假设有同个人同‘,每人至少同其中〔皿个人互相认识‘皆相识,不难,,号由题设推出一并对于其中任意〔鲁个人,或者其中有且这个人构成与相识的人全部因、““、’‘‘’’一一、‘司、一,曰尸、而,不妨设,,由可,’‘‘‘要一’一‘’”人相识或者余下的人中有人相识一‘司八一”一一证明这个人中必有三人两两相识知。、、,个设同证明假设这人中无人彼此相识比厄,粉,皆相识,,与设是这个人中相识的人由反证,假设,无人与,同“皆相可推出余下的一个人中”皆相识·因此,至少有〔普皿个不同的人,其识如图由于二,个人中同中每个人或同相识或同相识,,相识的人至少当,由上述讨论可为偶数时知这个,‘“,人中恰有,而另一半人则与为〔〕个他们中除外同都相识故佑必一半人与相识号,与,之,不妨设与相识,则二,,相识于是由题设可推出在某一半人中必含一相识,个相识的人,这与反证假设矛盾与是彼此相识的人此与反证假设相矛,当。为奇数时,一若这个盾因此命题为真‘『‘’’’一、“一‘鲁一尸一,汉城国际数学竞赛试题解答与评注武汉市江岸区教委朱华伟首届国际数学竞赛于年月,日至日开了全队的赛前动员会要求选手树立为国争光的思,、,“”,在韩国首都汉城举行参加此项赛事的有来自中国想既要有天降大任于斯人的责任心和使命感又、、、,、日本韩国新加坡香港等国家和地区的名选要防止过分焦虑和患得患失做到沉着冷静从容自,,、手按竞赛规则每个国家和地区派名选手参赛如正常发挥、,“名初中生名小学生中国队名选手是由全国华这次竞赛我国队员经过奋力拼搏基本上发挥了罗庚金杯”少年数学邀请赛组委会和主试委员会根自,,己的水平取得了可喜的成绩名队员全部获奖“”,他们是、据以往华杯赛决赛成绩确定的昊昊江其中吴昊分刘梦龙分分别夺得初中组金、张磊武汉二中初、,、苏金坛华罗庚中学初二一刘梦牌和小学组金牌张磊分林载辉分分别夺、得初中组银牌和小学组铜牌我国代表队所取得的成龙武汉市育才二小六年级林载辉广东省潮州市新桥路小学六年级绩,受到各参赛国领队和教练的高度赞扬香港英正、竞赛试题由来自俄罗斯日本和韩国的数学家组集团董事长于少光女士还专程从香港赶到北京为成,竞赛分为小学组和初中组的出题委员会负责编拟名选手和教练颁发了奖金和奖品进行,,,限小时完,,每组分第一试和第二试每试题这一成绩的取得不仅为我国争得了荣誉增长成,每题分,满分分了参加国际比赛的经验、锻炼了队伍而且展示了我为准备参赛,“华杯赛”组委会曾国少年的聪明才智和在国际比赛中的实力同时也向对参赛选手在武,世界证实了“”少年数学邀请赛达到了国汉市育才二小进行为期天的集中培训集训工华罗庚金杯“”作自始至终得到华杯赛组委会领导和主试委员会际水平,“”组委会在北京“”专家的亲切指导出国前华杯赛召我能被华杯赛组委会任命为执教首届国际数