高中数学函数教案完整版 63页

第十一课时课题§3.6.1分期付款中的有关计算教学目标1．通过分期付款中的有关计算巩固等比数列的通项公式和前n项和公式的掌握；2．培养数学的应用意识.教学重点等差数列通项公式和前n项和公式的应用教学难点利用等比数列有关知识解决实际问题.教学方法启发诱导教学过程(I)复习回顾师：近几天来，我们又学习了有关等比数列的下列知识：生：通项公式：前n项和公式：(Ⅱ)讲授新课师：这节课我们共同来探究一下它在实际生活中的应用，如今，在社会主义市场经济的调节之下，促销方式越来越灵活，一些商店为了促进商品的销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上也很灵活，可以一次性付款，也可以分期付款首先我们来了解一下何为分期付款?也就是说，购买商品可以不一次性将款付清，而可以分期将款逐步还清，具体分期付款时，有如下规定：1．分期付款中规定每期所付款额相同。2．每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金．例如：若月利率为0.8%，款额a元，过1个月增值为a(1+0.8%)＝1.008a(元)，再过1个月则又要增值为1.008a(1+O.O08)＝1.0082a(元)3．各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和师：另外，多长时间将款付清，分几次还清，也很灵活，它有多种方案可供选择，下面我们以一种方案为例来了解一下这一种付款方式．例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，总共分六次，在一年内将款全部付清，第月应付款多少元?首先，我们来看一看，在商品购买后1年货款全部付清时，其商品售价增值到了多少．生：由于月利率为O.008，在购买商品后1个月时，该商品售价增值为：5000(1+O.008)＝5000x1.O08(元)，出于利息按复利计算，在商品购买后2个月，商品售价增值为：5000x1.O08x(1+0.008)＝5000x1.0082(元)，……在商品购买12个月(即货款全部付清时)，其售价增值为：\n5000x1.00811x(1+O.008)＝5000x1.00812(元)师：我们再来看一看，在货款全部付清时，各期所付款额的增值情况如何.假定每期付款x元.第1期付款(即购买商品后2个月)x元时，过10个月即到款全部付清之时，则付款连同利息之和为：1.00810(元)，第2期付款(即购买商品后4个月)x元后，过8个月即到款全部付清之时，所付款连同利息之和为：1.O088x(元)师：依此类推，可得第3，4，5，6，期所付的款额到货款全部付清时连同利息的和．生：可推得第3，4，5，6期所付的款额到货款全部付清时，连同利息的和依次为：1.O086(元)，1.0084(元)，1.0082x(元)，x(元)师：如何根据上述结果来求每期所付的款额呢?根据规定3，可得如下关系式：x+1.0082x+1.O084x+…1.O0810x＝5000×1.O0812即：x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810)＝5000×1.O0812生：观其特点，可发现上述等式是一个关于x的一次方程，且等号左边括弧是一个首项为1，公比为1.0082的等比数列的前6项的和．由此可得解之得x≈880.8(元)即每次所付款额为880.8元,因此6次所付款额共为880.8×6＝5285(元)，它比一次性付款多付285元．(Ⅲ)课堂练习生：选另一种方案作为练习，方案A：分12次付清，即购买后1个月第一次付款，再过1个月第2次付款…购买后12个月第12次付款．方案B：分3次付清，即购买后4个月第1次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付清款．（Ⅳ）课时小结师：首先，将实际问题转化为数学问题，即数学建模，然后根据所学有关数学知识将问题解决，这是解决实际问题的基本步骤．(V）课后作业一、熟练掌握解决分期付款问题的基本方法．二、1．预习内容：课本P135-P136。2．预习提纲：采取不同方案实现分期付款中的x的表达式是否有共同特点?可否概括出一个一般公式？板书设计课题分期付款规定：①②③例：①建模②解决问题总结\n教学后记第二教时教材：函数概念及复合函数目的：要求学生从映射的观点去理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。过程：一、复习：（提问）1．什么叫从集合到集合上的映射？2．传统（初中）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？二、函数概念：1．重复初中时讲的函数（传统）定义：“定义域”“函数值”“值域”的定义。2．从映射的观点定义函数（近代定义）：1°函数实际上就是集合A到集合B的一个映射f：AB这里A,B非空。2°A：定义域，原象的集合B：值域，象的集合（C）其中CÍBf：对应法则xÎAyÎB3°函数符号：y=f(x)——y是x的函数，简记f(x)3．举例消化、巩固函数概念：见课本P51—52一次函数，反比例函数，二次函数注意：1°务必注意语言规范2°二次函数的值域应分a>0,a<0讨论4．关于函数值f(a)例：f(x)=x2+3x+1则f(2)=22+3×2+1=11注意：1°在y=f(x)中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样。2°f(x)不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”。3°f(x)与f(a)是不同的，前者为函数，后者为函数值。\n三、函数的三要素：对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。例一：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？1．解：不是同一函数，定义域不同2。解：不是同一函数，定义域不同3。解：不是同一函数，值域不同4．解：是同一函数5．解：不是同一函数，定义域、值域都不同例二：P55例三（略）四、关于复合函数　　设f(x)=2x-3g(x)=x2+2则称f[g(x)]（或g[f(x)]）为复合函数。f[g(x)]=2(x2+2)-3=2x2+1g[f(x)]=(2x-3)2+2=4x2-12x+11例三：已知：f(x)=x2-x+3求：f()f(x+1)解：f()=()2-+3f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+3例四：课本P54例一五、小结：从映射观点出发的函数定义，符号f(x)　　　　　函数的三要素，复合函数六、作业：《课课练》P48-50课时2函数（一）除“定义域”等内容\n第三教时教材：定义域目的：要求学生掌握分式函数、根式函数定义域的求法，同时掌握表示法。过程：一、复习：1．函数的定义（近代定义）2．函数的三要素今天研究的课题是函数的定义域—自变量x取值的集合（或者说：原象的集合A）叫做函数y=f(x)的定义域。二、认定：给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。例一、（P54例二）求下列函数的定义域：1．2。解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须：3x+2≥0即x¹2即x≥∴函数的定义域是：∴函数的定义域是：3。解：要使函数有意义，必须：Þ∴函数的定义域是：例二、求下列函数的定义域：\n1．2．解：要使函数有意义，必须：解：要使函数有意义，必须：即：∴函数的定义域为：∴函数的定义域为：{x|}{x|}3．解：要使函数有意义，必须：Þ∴函数的定义域为：4．解：要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：5。\n解：要使函数有意义，必须：即x<或x>∴函数的定义域为：例三、若函数的定义域是一切实数，求实数a的取值范围。解：例四、若函数的定义域为[-1，1]，求函数的定义域。解：要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：例五、设的定义域是[-3，]，求函数的定义域。解：要使函数有意义，必须：得：∵≥0∴∴函数的定域义为：三、小结：求（整式、分式、根式）函数定义域的基本法则。四、P57习题2、21—3（其中1、3题为复习上节内容）《课课练》P49-50有关定义域内容《精编》P815P8215、16、17、18第四教时\n教材：函数的表示法，分段函数，区间。目的：要求学生明确函数的三种表示方法，继而要求学生掌握分段函数的概念和区间的概念。过程：一、复习：函数的概念提出课题：函数的表示法。常用的函数表示法有三种：解析法、列表法、图象法。二、解析法：定义：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式。它的优点是：关系清楚，容易求函数值、研究性质。例：加速度公式：（如）圆面积公式：圆柱表面积：二次函数（≥2）又例：我们可用“零点法”把绝对值符号打开，即：=这一种函数我们把它称为分段函数。三、列表法：定义：列出表格来表示两个变量的函数关系。它的优点是：不必通过计算就能知道函数对应值。例：初中接触过的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函数表，汽车、火车站的里程价目表等等。又如：1984-1994年国民生产总值表。P52四、图象法定义：用函数图象表示两个变量之间的关系。例：平时作的函数图象：二次函数、一次函数、反比例函数图象。\n又如：气象台温度的自动记录器，记录的温度随时间变化的曲线（略）人口出生率变化曲线（见P53）略它的优点是：直观形象地表示出函数变化情况。注意：函数的图象可以是直线（如：一次函数）、曲线（如：抛物线），也可以是折线及一些孤立的点集（或点）。例四、例五、例六见P55-56（略）（注意强调分段函数概念）五、区间见课本P53-54注意：1）这是（关于区间）的定义2）今后视题目的要求，可用不等式、区间、集合表示（答案）3）“闭”与“开”在数轴上的表示4）关于“+∞”“-∞”的概念六、小结：三种表示法及优点练习：P56练习七、作业：P57习题2、23，4，5，6　　　第五教时教材：函数的解析式；《教学与测试》第17、18课目的：要求学生学会利用换元法、定义法、待定系数法等方法求函数解析式。过程：一、复习：函数的三种常用表示方法。提问：1、已知则：2、已知f(x)=x2-1g(x)=求f[g(x)]解：f[g(x)]=（）2-1=x+2二、提出问题：已知复合函数如何求例一、（《教学与测试》P37例一）1．若,求f(x)。解法一（换元法）：令t=则x=t2-1,t≥1代入原式有\n∴（x≥1）解法二（定义法）：∴≥1∴f(x)=x2-1(x≥1)2．若求f(x)解：令则(t¹0)则∴f(x)=(x¹0且x¹1)例二、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8求f(x)解：（待定系数法）∵af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b∴解之或∴f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4例三、已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。解：（待定系数法）设f(x)=kx+b则k(kx+b)+b=4x-1则或∴或例四、(x¹0)求解一：令则∴∴\n解二：令则∴三、应用题：《教学与测试》思考题例五、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A。设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数。DPCPAPB解：如图当P在AB边上运动时,PA=x当P在BC边上运动时PA=当P在CD边上运动时PA=当P在DA边上运动时PA=4-x∴四、小结：几种常见方法五、作业：《教学与测试》P384、5、6、7、8《课课练》P493P508补充：1．设求f[g(x)]。解：∴∴∴2．已知(x>0)求f(x)3．已知求f(x)4．《精编》P316、7、8第六教时\n（若时间不够，可将部分内容延至第七教时）教材：函数图象；《教学与测试》第19课目的：要求学生根据函数解析式作出它们的图象，并且能根据图象分析函数的性质；同时了解图象的简单变换（平移变换和对称变换）。过程：一、复习：函数有哪三种表示方法？今天主要研究函数的图象。二、例一、画出下列函数的图象。（《教学与测试》P39）oxy123-111。2。解：解：oxy123-11注意：由于定义域从而导致函数图象只是若干个孤立点。-1-0.510.5yox3。注意：先写成分段函数再作图。解：定义域为且x¹强调：定义域十分重要。三、例二、根据所给定义域，画出函数的图象。-2-1O1234yx1234-2-1O1234yx1234-2-1O1234yx1234551。2。3。且xÎZ\n四、关于分段函数的图象-1-2py例三、已知画出它的图象，并求f(1),f(-2)。解：f(1)=3×12-2=1f(-2)=-1五、关于函数图象的变换1．平移变换研究函数y=f(x)与y=f(x+a)+b的图象之间的关系例四、函数-2和的图象分别是由函数的图象经过如何变化得到的。解：1）将的图象沿x轴向左平移1个单位再沿y轴向下平移2个单位得-2的图象；-22）将的图象沿x轴向右平移个单位再沿y轴向上平移1个单位得函数的图象。小结：1。将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0向左,k<0向右）得y=f(x+k)图象；2．将函数y=f(x)的图象向上（或向下）平移|k|个单位（k>0向上,k<0向下）得y=f(x)+k图象。2、对称变换函数y=f(x)与y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴、y轴、原点对称yxOyxOyxOy=-f(x)y=f(-x)y=-f(-x)例五、设(x>0)作出y=-f(x)、y=f(-x)及y=-f(-x)的图象。\n横坐标不变，纵坐标纵坐标不变，横坐标横坐标与纵坐标都取取相反数取相反数原来相反数图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称3、翻折变换由函数y=f(x)的图象作出y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象例六、作出函数y=|x2-2x-1|及y=|x|2-2|x|-1的图象。解：分析1：当x2-2x-1≥0时，y=x2-2x-1当x2-2x-1<0时，y=-(x2-2x-1)yx-1O12321-1-2步骤：1.作出函数y=x2-2x-1的图象2．将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|x2-2x-1|的图象。分析2：当x≥0时y=x2-2x-1当x<0时y=x2+2x-1即y=(-x)2-2(-x)-1yx-3-2-1O123321-1-2-3步骤：1）作出y=x2-2x-1的图象；2）y轴右方部分不变，再将右方部分以y轴为对称轴向左翻折，即得y=|x|2-2|x|-1的图象。小结：将y=f(x)的图象，x轴上方部分不变，下方部分以x轴为对称轴向上翻折即得y=|f(x)|的图象；将y=f(x)的图象，y轴右方部分不变，以y轴为对称轴将右方部分向左翻折即得y=f(|x|)的图象。六、作业：《教学与测试》P407、8《课课练》P533P549《精编》P8324、25、26（第26题应作启发：）\n第七教时教材：续函数图象目的：完成第六教时可能没有完成的教学任务，然后进行综合练习。过程：tdOtdOtdOtdO例一、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图四个图形中较符合该生走法的是哪一种。（《教学与测试》备用题1）(A)(B)(C)(D)解：A、C图中t=0时d=0即该生一出家门便进家门（与学校距离为0）应排除，B、D中因该生一开始就跑步与学校距离迅速减小。故应选D。yxy0xy0xy0x012211221122131221例二、设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系有几个？(A)(B)(C)(D)解：(A)中定义域为[0,1](C)中值域[0,3]¹N(D)中x的值(如x=1)有两个y值与之对应，不是函数∴只有(B)正确。例三、讨论函数的图象与的图象的关系。（《精编》P79）解：可由的图象向左平移两个单位得\n的图象，再向上平移三个单位得的图象。例一、如图为y=f(x)的图象，求作y=-f(x)，y=f(-x)，y=|f(x)|，y=f(|x|)的图象。yxOxOxOxO作业：作出下列函数的图象：1.2.3.4.第八教时教材：函数的值域目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。过程：一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。提出课题：函数的值域二、新授：1．直接法（观察法）：例一、求下列函数的值域：1°2°解：1°∵∴即函数的值域是{y|yÎR且y¹1}（此法亦称部分分式法）2°∵∴即函数y=的值域是{y|y≥5}\n2．二次函数法：例二、1°若为实数，求y=x2+2x+3的值域解：由题设x≥0y=x2+2x+3=(x+1)2+2当x=0时ymin=3函数无最大值∴函数y=x2+2x+3的值域是{y|y≥3}2°求函数的值域解：由4x-x2≥0得0≤x≤4在此区间内(4x-x2)max=4(4x-x2)min=0∴函数的值域是{y|0≤y≤2}3．判别式法（△法）例三、求函数的值域解一：去分母得(y-1)x2+(y+5)x-6y-6=0(*)当y¹1时∵xÎR∴△=(y+5)2+4(y-1)×6(y+1)≥0由此得(5y+1)2≥0检验时（代入(*)求根）∵2Ï定义域{x|x¹2且x¹3}∴再检验y=1代入(*)求得x=2∴y¹1综上所述，函数的值域为{y|y¹1且y¹}解二：把已知函数化为函数(x¹2)由此可得y¹1∵x=2时即∴函数的值域为{y|y¹1且y¹}4．换元法例四、求函数的值域解：设则t≥0x=1-t2代入得y=f(t)=2×(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4\n∵t≥0∴y≤4三、小结：1．直接法：应注意基本初等函数的值域2．二次函数法：应特别当心“定义域”3．△法：须检验4．换元法：注意“新元”的取值范围四、练习与作业：《课课练》P51—54中有关值域部分《教学与测试》P41—42中有关值域部分第九教时教材：函数的单调性目的：要求学生掌握函数单调性的定义，并掌握判断一些函数单调性的方法。能利用单调性进一步研究函数。xyO过程：xyOy=x2一、复习函数的图象作y=x2y=x3y=-x3y=x3y=-x3二、引导观察：从而得出函数单调性的直观概念。1、观察讲解时注意：1。“在区间上”2。“随着x的…”“相应的y值…”3。“我们说函数…在…上是增（减）函数”2、上升到理性，得出定义：（见P58）注意强调：1。属于定义域I内某个区间上2。任意两个自变量x1,x2且x10则->∴在[-1，0]上f(x)为增函数，在[0，1]上为减函数。二、小结：1.有关单调性的定义；2.关于单调区间的概念；3.判断函数单调性的常用方法：定义法图象观察—猜想—推理论证三、作业（练习）P60练习P64-65习题2.34、5、6练习中1口答其中1、2、3口答第十教时教材：函数的奇偶性目的：要求学生掌握函数奇偶性的定义，并掌握判断函数奇偶性的基本方法。\n过程：一、复习函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法。二、提出课题：函数的第二个性质――奇偶性1．依然观察y=x2与y=x3的图象――从对称的角度．观察结果：y=x2的图象关于轴对称y=x3的图象关于原点对称3．继而，更深入分析这两种对称的特点：①当自变量取一对相反数时，y取同一值．f(x)=y=x2f(-1)=f(1)=1即f(-x)=f(x)再抽象出来：如果点(x,y)在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x2的图象上．②当自变量取一对相反数时，y亦取相反数．f(x)=y=x3f(-1)=-f(1)=-1即f(-x)=f(x)再抽象出来：如果点(x,y)在函数y=x3的图象上，则该点关于原点的对称点(-x,-y)也在函数y=x3的图象上．4．得出奇（偶）函数的定义（见P61　略）注意强调：①定义本身蕴涵着：函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇（偶）函数的必要条件――前提②＂定义域内任一个＂：意味着不存在＂某个区间上的＂的奇（偶）函数――不研究③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义――f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))三、例题：例一、（见P61－62　例四）例二、（见P62　例五）此题系函数奇偶性与单调性综合例题，比例典型．\n小结：一般函数的奇偶性有四种：奇函数、偶函数、即奇且偶函数、非奇非偶函数　　例：　y=2x　（奇函数）　　　　　　　　　y=-3x2+1y=2x4+3x2（偶函数）　y=0（即奇且偶函数）y=2x+1　（非奇非偶函数）例三、判断下列函数的奇偶性：1．　　解：定义域：　关于原点非对称区间　　　∴此函数为非奇非偶函数2．　　解：定义域：　∴定义域为x=±1　　　且f(±1)=0∴此函数为即奇且偶函数3．　解：显然定义域关于原点对称　　当x>0时,-x<0f(-x)=x2-x=-(x-x2)　　当x<0时,-x>0f(-x)=-x-x2=-(x2+x)　即：∴此函数为奇函数四、奇函数Û图象关于原点对称　　偶函数Û图象关于轴对称　　例四、（见P63例六）　略\n五、小结：1．定义2．图象特征3．判定方法六、作业：P63练习P65习题2.37、8、9第十一教时教材：函数的单调性与奇偶性综合练习（《教学与测试》第21、22课）目的：通过对例题（习题）的判析，使学生对函数的单调性与奇偶性有更深刻的理解。过程：一、复习函数单调性与奇偶性的定义、图象的直观形态、单调区间、判定方法等概念。二、处理《教学与测试》第21、22课例题例一．（P43例一）注意突出定义域：x¹1然后分区间讨论例二．（P43例二）难点在于：判断x2+x1x2+x2>0应考虑用配方法而且：∵x1,x2中至少有一个不为0,∴……反之，倘若x1,x2全为0x2+x1x2+x2=0例三．（P43例三）难点在于：分a>0,a=0,a<0讨论应突出“二次函数”，再结合图象分析例四．（P45例一）1、2题已讲过；第3题是两个函数之乘积,尤其后者要利用幂指数概念例五．（P45例二）此题是常见形式：应注意其中的“转换”关系例六．（P45例三）此题是单调性与奇偶性综合题，注意思路分析。三、补充：例七、已知函数f(x),g(x)在R上是增函数，求证：f[g(x)]在R上也是增函数。\n证：任取x1,xÎR且x10时，f(x)=x2-2x,则x<0时，f(x)=-x2-2x。其中正确的序号是：①②④例十、判断的奇偶性。　解：∵∴函数的定义域为R且f(x)+f(-x)\n∴f(x)=-f(-x)∴f(x)为奇函数注：判断函数奇偶性的又一途径：f(x)+f(-x)=0为奇函数f(x)+f(-x)=2f(x)为偶函数四、作业：《教学与测试》第21、22课中“练习题”第十二教时教材：反函数（1）目的：要求学生掌握反函数的概念，会求一些简单函数的反函数。过程：一、复习：映射、一一映射及函数的近代定义。二、反函数的引入及其定义：1．映射的例子：①这个映射所决定的函数是：y=3x-1②这个映射是有方向的：f:：AB(f：xy=3x-1)③如果把方向“倒过来”呢？（写成）f-1：AB(f-1：y)④观察一下函数y=3x-1与函数的联系我们发现：它们之间自变量与函数对调了；定义域与值域也对调了，后者的解析是前者解析中解出来的（x）。2．得出结论：函数称作函数y=3x-1的反函数。定义：P66（略）注意：（再反复强调）：①用y表示x,x=j(y)②满足函数的（近代）定义③自变量与函数对调④定义域与值域对调⑤写法：x=f-1(y)\n考虑到“用y表示自变量x的函数”的习惯，将x=f-1(y)写成y=f-1(x)如上例f-1：3．几个必须清楚的问题：1°如果y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么y=f-1(x)的反函数是y=f(x)，它们互为反函数。2°并不是所有的函数都有反函数。如y=x2（可作映射说明）因此，只有决定函数的映射是一一映射，这个函数才有反函数。3°两个函数互为反函数，必须：原函数的定义域是它的反函数的值域原函数的值域是它的反函数的定义域如：不是函数y=2x(xÎZ)的反函数。4°指导阅读课本，包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。三、求反函数：1．例题：（见P66—67例一）注意：1°强调：求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射。2°求出反函数后习惯上必须将x、y对调，写成习惯形式。3°求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。2．小结：求函数反函数的步骤：1°判析2°反解3°互换4°写出定义域3．补充例题：1°求函数（-1≤x<0）的反函数。解：∵-1≤x<0∴00,则由n次根式定义,次方根，即：同样规定：2．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。3．整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂。四、例二（P72例二）略例三（P73例三）略例四（P73例四）略例五（P73例五）略五、小结六、作业：P74-75练习习题2、5《课课练》课时11第十六教时教材：指数（2）苏大《教学与测试》第25、26课目的：复习巩固根式与分数指数幂的概念，并能用以解决具体问题。\n过程：一、根式例一（苏大P51例一）写出使下列等式成立的x的取值范围：1°2°解：1°只须有意义，即¹3∴的取值范围是(-∞,3)∪(3,+∞)2°∵∴成立的充要条件是∴的取值范围是[-5,5]例二1°化简2°求证：解：1°原式==（注意复习，根式开平方）2°证：∵∴由平方根的定义得：例三画出函数的图象。\n解：∵∴一、分数指数幂例四（苏大书P53例一）计算下列各式：1°2°解：1°原式=2°原式=例五先化简，再用计算器求值（结果保留四位有效数字）1°2°解：1°原式=2°原式=例六已知其中a>0,将下列各式分别u用表示出来：1°2°解：1°\n2°三作业《教学与测试》余下部分第十七教时教材：指数函数（1）—指数函数的定义、图象目的：要求学生掌握指数函数的定义及图象特征。过程：一、导入新课P57例（细胞分裂）又例：某工厂从今年起每年计划增产8%，设原来的产量为1，x年后产量为y，则y与x的函数关系式为二、得出指数函数的定义：函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。注意：为什么要规定a>0且a¹1：∵a<0时ax不一定有意义a=0时，若x>0，ax=0；若x<0，则ax无意义a=1时，y=1x=1(常量)没有研究必要。为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a¹1。三、指数函数的图象1．2．列表（P76略）列表（P76略）2．观察，小结\naa>10注意讲与，与图象关系并推广4．若，求a的取值范围。解：或解：由∵∴为增函数∴例三求函数的单调区间，并证明之。解：设则∵∴当时，这时\n即∴，函数单调递增当时，这时即∴，函数单调递减∴函数y在上单调递增，在上单调递减。例四证明函数和的图象关于y轴对称。证：设P1(x1,y1)是函数的图象上任意一点则而P1(x1,y1)关于y轴的对称点Q是(-x1,y1)∴即Q在函数的图象上由于P1是任意取的所以上任一点关于y轴的对称点都在的图象上同理可证：图象上任意一点也一定在函数的图象上∴函数和的图象关于y轴对称。三、作业：《课课练》P75例1．2课时练习4．5．6．7．8补充：1．作下列函数图象：1°2°3°4°2．已知函数的图象过点(0,2)、(-2,11)，求f(x)．第十九教时教材：指数函数（3）目的：复习指数函数的定义和性质，并通过练习以期达到熟练技巧。\n过程：一、复习：定义：形如的函数称为指数函数。性质：定义域、值域、单调性、奇偶性（略）第二十教时教材：对数的基本概念目的：要求学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，并由此求一些特殊的对数式的值。进程：一、引入：从指数导入，见P80例题假设1995年我国的国民生产总值为a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍则有这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式中，已知a和N求b的问题。（这里）二、课题：对数定义：一般地，如果的b次幂等于N,就是，那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。1．在指数式中N>0（负数与零没有对数）2．对任意且,都有∴同样易知：3．如果把中的b写成,则有（对数恒等式）三、对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数。例如：例一、P81例一、例二例二、1．计算：，，，\n解：设则,∴设则,,∴令=,∴,∴令,∴,,∴2．求x的值：①②③④解：①②③但必须：∴舍去④,∴,3．求底数：,解：,∴,∴一、介绍两种特殊的对数：1．常用对数：以10作底写成2．自然对数：以e作底e为无理数，e=2.71828……写成\n五、小结：1°定义2°互换3°求值六、作业：（练习）P81练习P84习题2.71，2《课课练》P79课时练习6—10y1．．o1x一、例一、已知函数求定义域、值域，并作出其图象。解：定义域：xÎR值域：（其对称性与比较）例二、求下列函数的单调区间：1．2.解：1．∴增区间为减区间为2．∴增区间为减区间为例三、设函数f(x)是偶函数，如果函数在x>0时是增函数，则在x<0时，是增函数还是减函数？并证明之。解：是减函数。设则∵是偶函数,∴∴∵在x>0,时是增函数，且,∴\n即,又：,∴,∴x<0时，y是减函数。例四、已知函数求：1°函数的定义域、值域2°判断函数的奇偶性解：1°定义域为R由得∵xÎR,∴△≥0,即,∴,又∵，∴2°∵定义域为R（是关于原点的对称区间）又∵,∴是偶函数。例五、,求z的取值范围。解：由题设：,代入整理得：又∵,∴在时是增函数∴三、《教学与测试》第27课P55—56略四、作业：《教学与测试》P56练习题第二十一教时教材：积、商、幂、方根的对数目的：要求学生掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程，从而能较熟练地运用这些法则解决问题。过程：一、复习：1°对数的定义其中a与N的取值范围。2°指数式与对数式的互化，及几个重要公式。3°指数运算法则（积、商、幂、方根）二、积、商、幂、方根的对数\n如果a>0,a¹1,M>0,N>0有：证明：1、3（略）见P82证明：2设logaM=p,logan=q,则(∴ap=M,aq=N)∴即：1°语言表达：“积的对数=对数的和”……（简易表达——记忆用）2°注意有时必须逆向运算：如3°注意定义域：是不成立的是不成立的4°当心记忆错误：一、例题：P82—83例三、例四（略）补充例题：1．计算：解：原式2．1°已知3a=2用a表示log34-log36解：∵3a=2∴a=log32∴log34-log36=2°已知log32=a,3b=5用a,b表示解：∵3b=5∴b=log35又∵log32=a∴=3．计算：log155log1545+(log153)2解一：原式=log155(log153+1)+(log153)2=log155+log153(log155+log153)=log155+log153×log1515=log155+log153=log1515解二：原式=\n=(1-log153)(1+log153)+(log153)2=1-(log153)2+(log153)2=14．作为机动（有时间可处理）：《课课练》P.81例三中2,3,4,7一、小结：运算法则，注意正反两方面用二、作业：P.83练习P.84/3,4,5,6及《课课练》P.81—P.82第二十二教时教材：换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？二、换底公式：(a>0,a¹1)证：设logaN=x,则ax=N两边取以m为底的对数：从而得：∴两个较为常用的推论：1°2°（a,b>0且均不为1）证：1°2°三、例一、计算：1°2°解：1°原式=2°原式=例二、已知log189=a,18b=5,求log3645（用a,b\n表示）解：∵log189=a∴∴log182=1-a∵18b=5∴log185=b∴例三、设求证：证：∵∴∴例四、若log83=p,log35=q,求lg5解：∵log83=p∴又∵∴∴∴以下例题备用：例五、计算：解：原式例六、若求m解：由题意：∴∴\n一、小结：换底公式及其推论二、作业：1．求下列各式的值：1°2°(10)3°4°2．已知求的值。3．已知lg5=m,lg3=n用m,n表示log3084．已知求log123(a)5．设a,b,c为不等于1的正数，若且求证：abc=16．求值：7．求值：(-189)第二十三教时教材：对数（习题课）目的：复习对数的概念，运算法则及换底公式处理；《教学与测试》第29、30课，使学生对这部分知识达到较熟练的程度。过程：三、复习：1．对数的概念。（与指数的互化）2．对数的运算法则3．对数的换底公式，及其推论。二、处理《教学与测试》第29、30课P59-62注意：第30课例一1及例二\n已于第二十二教时用过（可视情况处理）三、补充例题：1．（29课备用题）证明：证明：设，，则：∴从而∵∴即：（获证）2．（30课备用题1）已知求证：证明：由换底公式由等比定理得：∴∴3．设且1°求证2°比较的大小。1°证明：设∵∴取对数得：∴\n2°∴又：∴∴四、作业：第29、30课余下的练习题《教学与测试》第二十四教时教材：对数函数的定义、图象、性质目的：要求学生了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系，会求对数函数的定义域。过程：一、复习：指数函数的定义、图象、性质三、从实例导入：回忆学习指数函数时用的实例。细胞分裂问题：细胞的个数是分裂次数的指数函数反之，细胞分裂的次数是细胞个数的函数o11yx-1由对数定义：即：次数y是个数x的函数定义：函数\n叫做对数函数；它是指数函数的反函数。对数函数的定义域为，值域为。例一、（P87例一）略例二、求函数和函数的反函数。解：1°∴2°∴三、对数函数的图象由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。同样：也分与两种情况归纳o11yxy=xy=y=xo11yxy=log2x以与为例例三、作出下列对数函数的图象：o11yx1．2．\n三、对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质。见P87表（从略）定义域：值域：R过点(1,0)即当时当时单调递增当时单调递减由图：时时时时时时例四、例五（见P88例二、例三）四、小结：对数函数定义、图象、性质五、作业：P89练习2、3习题2．81、2、3第二十五教时教材：对数函数性质的应用目的：加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。过程：一、复习：对数函数的定义、图象、性质二、例一求下列反函数的定义域、值域：1．解：要使函数有意义，必须：即：值域：∵∴从而∴∴∴2．解：∵对一切实数都恒有∴函数定义域为R从而即函数值域为\n3．解：函数有意义，必须：由∴在此区间内∴从而即：值域为4．解：要使函数有意义，必须：①②由①：由②：当时必须当时必须综合①②得当时∴∴例二比较下列各数大小：1．解：∵∴2．解：∵∴\n3．解：∵∴例三已知，试比较的大小。解：1°当或时2°当时3°当或时综上所述：时；时例四求函数的单调区间，并用单调定义给予证明。解：定义域单调区间是设则=∵∴∴又底数∴\n∴在上是减函数。三、作业：《课课练》P869P87“例题推荐”123P88“课时练习”89第二十六教时教材：对数函数（习题课）《教学与测试》P63第31课目的：通过习题复习、巩固对数函数的图像、性质，逐步达到熟练技巧。过程：一、复习：对数函数的图象、性质题目：比较下列两个对数的大小1．2．()()二、处理《教学与测试》第31课例一、例二三、补充例题：1．若，求的关系。解：原式可以化为当且时，即∵底数∴当且时，即∵底数∴当且时，综上所述的关系为或或Ologn3logm3Ologm3Ologm3logn3logn3实际上三种情况可用图形表示：\n1．设，函数的最大值是1，最小值是，求的值。解：由题设，∵这时又∵∴∵是关于的二次函数，∴函数最大值或最小值必在时取得若则∵取得最小值时这时舍去若则此时取得最小值时符合题意∴一、处理《教学与测试》第31课例三（P63）略作业：《教学与测试》第31课练习题第二十七教时教材：函数的应用举例一\n目的：让学生熟悉借助“几何图形”和“计算利润”两种常见类型的应用问题。过程：一、应用问题的解答绝大部分是通过建立模型（常常是函数模型）并借助图象和性质来进行研究的，研究结果再应用于实践。1．数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解。2．其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础。B3．最后，当然需要有较强的运算能力。二、例一（课本P90）有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上。写出这个梯形周长y与腰长x间的函数式，并写出它的定义域。A2RBDCExx分析：关键是用半径R与腰长x表示上底由对称性：CD=AB-2AE因此只要求AE解：设腰长AD=BC=x作DE^AB垂足为E连结BD则ÐADB=90°由此：Rt△ADE∽Rt△ABD∴∴∴周长∵ABCD是圆内接梯形∴《课课练》P983—此题作为作业例二如图，已知⊙O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任一点P引该切线的垂线，垂足为M，连AP设AP=x1．写出AP+2PM关于x的函数关系式2．求此函数的最值解：1．过P作PD^AB于D，连PB设AD=a则PMADOB∴\n2．DE当时当时例三《教学与测试》34课例一（P69）距离船只A的正北方向100海里处有一船只B，以每小时20海里的速度，沿C北偏西60°角的方向行驶，A船只以每小时15海里的速度A向正北方向行驶，两船同时出发，问几小时后两船相距最近？解：设t小时后A行驶到点C，B行驶到点D，则BD=20BC=100-15t过D作DE^BC于EDE=BDsin60°=10tBE=BDcos60°=10t∴EC=BC+BE=100-5tCD==∴t=时CD最小，最小值为200，即两船行驶小时相距最近。例四．《课课练》P.98例二某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润。解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y=(x-8)[60-(x-10)10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(x>10)当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元。三．作业：《课课练》P.97-98“例题推荐”1，3P.99/5,6,7,8《教学与测试》P.70思考题第二十八教时教材：函数的应用举例二目的：要求学生熟悉属于“增长率”、“利息”一类应用问题，并能掌握其解法。过程：一、新授：例一、（《教学与测试》P69第34课）\n某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用二次函数或(a,b,c为常数)，已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问：用以上那个函数作模拟函数较好？说明理由。解：设二次函数为：由已知得：∴当x=4时，又对于函数由已知得：∴当x=4时，由四月份的实际产量为1.37万件,∴选用函数作模拟函数较好。例二、（《教学与测试》P69第34课）已知某商品的价格每上涨x%，销售的数量就减少mx%，其中m为正常数。1．当时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？2．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m的取值范围。解：1．设商品现在定价a元，卖出的数量为b个。由题设：当价格上涨x%时，销售总额为即取得：当x=50时，即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大。\n2．∵二次函数在上递增，在上递减∴适当地涨价，即x>0,即就是01时，由题设：f(2)=4,即4+4a+1=4,（不合）注：若是已知最小值，此种分类同样适用，也可分-a在三个区间。但本题亦可将1°、2°和3°、4°分别合并成两个区间讨论。例二、已知函数f(x),当x,yÎR时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),1°求证：f(x)是奇函数。2°若f(-3)=a，试用a表示f(24)3°如果x>0时，f(x)>0且f(1)<0，试求f(x)在区间[-2，6]上的最大值与最小值。解：1°令x=y=0得f(0)=0，再令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),∴f(x)=f(-x)∴f(x)为奇函数2°由f(-3)=a得f(3)=-f(-3)=-a，8个3f(24)=f(3+3+……+3)=8f(3)=-f(3)3°设x10,f(x2-x1)<0)∴f(x)在区间[-2，6]上是减函数。∴f(x)max=f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1f(x)min=f(6)=6f(1)=-3例三、（《教学与测试》第28课例一）\n求函数的值域和单调区间。解：∴函数的值域为∵设,它在上单调递减，而二次函数在时是减函数，在时是增函数令，则x≥1令，则x≤1∴函数在上是增函数，在上是减函数。例四、（《教学与测试》第28课例二）1．已知是奇函数，求常数m的值。2．画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程无解？有一解？有两解？解：1．定义域：x¹0若f(x)为奇函数，则y1ox∴3．图象如图所示：当k<0时，直线y=k与函数图象无交点∴方程无解。\n当k=0或k≥1时，直线y=k与函数图象有一个交点∴方程有一解。当00，a¹1，问：x为何值时有1°y1=y22°y1x2-3，解得-11，由y13三、作业：P503—7《教学与测试》P586、7第三十一教时教材：单元复习之二——续单元复习之一目的：通处理一些未了的例题（《教学与测试》备用题），加深学生对概念的理解过程：1．某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是xÎ(0,240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为多少？解：即：∴x≥150(x≤-120舍去)即：最低产量为150台2．已知函数1°当xÎ(-2，6)时，其值为正；xÎ时，其值为负，求a,b的值及f(x)的表达式2°设，k为何值时，函数F(x)的值恒为\n负值解：1°由已知解得：（a<0）∴a=-4从而b=-8∴2°欲则得k<-21．已知a>0，且，求ax的值。解：设则∴∵∴t=4即∴∴2．已知a>0，a¹1，,求的值。解：3．已知nÎN*，比较f(n)与f(n+1)大小，并求f(n)的最大值。解：∵∴综上：f(0)f(11)>f(12)>……∴当n=9或n=10时，f(n)最大，最大值为f(9)=9×0.99\n1．已知，求的最大值。解：∵∴当即x=-1时，有最大值2．画出函数的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程无解？有一解？有两解？解：当k<0或k>时，无解。当时，方程有唯一解(x=0)。当k=0时，方程有两解(x=±1)。当时，方程有四个不同解。作业：《课课练》P76—77“例题推荐”1、2练习：4、5、6、7、8第三十二教时教材：单元复习之三——对数函数（《教学与测试》第32、33课）目的：重点复习对数及对数函数的有关内容，通过复习期望学生对知识有更深的理解过程：一、复习：对数概念，对数运算，换底公式，对数函数的概念、图象、性质二、例一、已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点，过A作x轴的垂线，垂足为E，过点B作y轴的垂线，交EA于C，若C恰好在函数的图象上，试求A、B、C三点的坐标。CBAEF解：设A(x1,),B(x2,),则C(x1,)∵C在函数的图象上∴即：∴x2=x13又：即：∴\n∴由x1>1,∴log8x1¹1从而有：3x1=x13∴∴A、B、C三点的坐标分别为：例二、求函数(a>0,a¹1)的定义域、值域、单调区间。解：1．定义域：得：2．∵∴当01时,函数的值域为3．∵在区间内在上递增，在上递减。当01时,函数在上是增函数,在是减函数。例三、已知（1≤x≤4），求函数的最大值和最小值。解：∵f(x)的定义域为[1,4]∴g(x)的定义域为[1,2]∵∵1≤x≤2∴∴当x=1时,g(x)max=2；当x=2时,g(x)min=7例四、对于任意的实数x，规定y取4-x，x+1，三个值的最小值。1．求y与x的函数关系，并画出函数的图象。\n1．x为何值时，y最大？最大值是多少？解：1．易得A(1,2)B(3,1)∴y与x的函数关系是：AB2．由图：x=1时,ymax=2例五、设函数的定义域为A，函数的定义域为B，若AÍB，求实数k的取值范围。解一：由(2+x)(3-x)≥0得：-2≤x≤3∴A={x|-2≤x≤3}而B={x|k-2x-x2>0}令由AÍB得：解二：∵A={x|-2≤x≤3}B={x|k-2x-x2>0}={x|}由AÍB知：得：k>15例六、已知函数1°求f(x)的定义域、值域。2°判断并证明其单调性。解：1°∵a>1,由得：x<1∴f(x)的定义域为由知f(x)的值域为2°当时,由a>1知∴即∴f(x)为减函数。三、作业：《教学与测试》P66、P68第32、33课中的练习题（挑选部分）