初中数学几何与面积法综合应用(含答案)竞赛题精选 26页

面积法1、常见规则图形的面积公式;2、等积定理；3、面积比定理。1、如图1,凸四边形4BCD的四边AB、BC、CD、DA的长分别是3、4、12、13,Z4BC=90。,则四边形ABCD的面积为.BC图12、如图2,已知ZBC中，D、E、F、G均为3C边上的点，且BD=CG,DE=GF==BD,2EF=3DE,若S仙厂1，则图中所有三角形的面积之和为.图2\n3、如图3,图34、如图4,面积的值是.已知边长为。的正方形ABCD,E为4D的中点,P为CE的中点,那么ABPD的B图4GC\n5、如图5,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于。点，如果九眈=5,S^c"°，那么Sg肚=•图56.（第5届“希望杯”邀请赛题）在AABC的三边AB.BC、CA±,分别取4"BE、CF,使4”,BE冷BC,CF*,则遊尸的面积是WC的面积的（）4^'8C>816\n7、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6,在宜角扇形ABC内，分别以AB和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成Si，S2,S3,S4四部分，则S?和S4的大小关系是（）\nA、S2YS4B、S2=S4C.S2AS4D、无法确定图68、在矩形A3CD中，AB=2f3C=1,则矩形的内接三角形的而积总比数的（）小或相等。421A、—B、1C、—D、-788\n点E、F分别在BC、CD9、（第11届“希望杯”邀请赛）在正方形ABCD中，AB=y[3上，且ZBAE=30°,ZDAF=\5°f则AAEF的而积为.图1110、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）己知AABC三条高的比是3:4:5,且三条边的长均为整数，则ZBC的一•条边长可能是（）A、10B、12C、14D、16\n11、（笫14届“希望杯“邀请赛）如图7,将\ABC的三边A3,BC,CA分别延长至夕，C',\n且使BB'=AB,CC'=2BC,AAf=3AC,若=1,那么九叱是（）A、15B、16C、17D、18图712、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）如图8,AABC中,BC:AC=3:5,四边形BDEC和4CFG分均为正方形，已知AABC与正方形BDEC的而积比是3:5,那么ACEF与整个图形的而积比等于.\nA图8D\nC卷13、（第6届“希望杯“邀请赛题）如图9,AABC的面积为1867H2,点D、E、F分别位于AB.BC.CA上，且AD=4cm,DB=5cm,如果MBE的面积和四边形DBEF的面积相等，则\ABE的面积是（）A、8<7沪3、9cm2C>10cm212cm2图9\n14、（第7届“希望杯“邀请赛题）如图10,直角ZAOB内冇一点P，OP=a,APOA=30°,过点P作一直线MN与04、。〃分别交于M、N,使AMON的血积最小。(1)此吋线段MN的位置是()\nA、MN丄OPB、0M=ONC.OM=20ND、PM=PN(1)此时\MON的面积是.(2)若ZAOB为一锐角，P是锐角内一定点(如图11),过点P的总线与04、03交于M、N,使M0N的而积最小。应怎样画出MN的位置，并证明你的结论。面积法1、常见规则图形的面积公式；2、等积定理；3、面积比定理。A卷1、如图1,凸四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的长分别是3、4、12、13,ZABC=90°,\n则四边形ABCD的面积为.答案：36考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。分析：连接AC,在Rt\ABC中，已知A3、BC根据勾股定理町以求得AC=5,在AACD中，AC2+CD2=AD\根据勾股定理的逆定理确&MCD为直角三角形，四边形ABCQ的面积为MCD和Rt\ABC面积Z和。图1解答：连接AC,在Rt\ABC中，AB=3,BC=4，贝I」AC=yjAB2+BC2=5XVAC2+CD2=AD2/.AACD为直角三角形&MBC的面积为丄x3x4=6,Rt/SACD的面积为丄x5x12=3022・•・四边形ABCD的而积为\ACD和Rt\ABC而积之和，S=30+6=36故答案为36.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题屮判定AACD为直角三角形是解题的关键。2、如图2,己知ZBC小，D、E、F、G均为BC边上的点，且BD=CG,DE=GF=丄BD,2EF=3DE,若S,wc=l，则图中所有三角形的面积Z和为.答案：7考点：三角形面积与底的止比关系。化为计算BC上所有线段长度Z和的问题。解答：因为所有线段长Z和是BC的n倍图2分析：如图所示的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所有三角形面积之和的问题转・••图中所有三角形面积之和就是Smbc的«倍设DE=GF=1,贝lj3D=CG=2,EF=3,BC=9・・.图中共有1+2+3+4+5=15个三角形则它们在线段BC上的底边之和为：[BC+（BD+DC）+（BE+EC）+（BF+FC）+（BG+GC）]+[DG+（DE+EG）+（DF+FG）+EF]\n=9x5+5x3+3=63\n由此町知BC上所有线段Z和63是BC=9的7倍・・・图中所冇三角形面积Z和等于九眈的7倍.已知S.wc=1，故图中所有三角形的面积之和为7.故答案为：72图3点评：此题主耍考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是图中所有三角形都具有相等的高，通过转化的思想，找出解决问题的捷径。答案：-/«8解答：不妨设口4BCD为长方形，如图，则有AD=BC=m,AB=CD=\・・S=S四边形abcd_SZDE__^ADCF=加_才_=4、如图4,已知边长为&的正方形ABCD,E为4D的中点,P为CE的中点,那么ABPD的面积的值是.答案:-a28考点：正方形的性质；三角形的而积；勾股定理。分析:观察图形町以发现S创）=S^CD-Sa-S旳，所以耍求\BPD的面积分別计算S、bpd、即可。解答：过P作PF丄CD,PG丄BC,贝QPF〃AD,PF=CG,PG=CF观察图形可以发现S创严S宓D=pcs押4SCPC=r2图4S、BPD考查了三角形而积的计算，木点评：本题考査了正方形各边长相等、各内角为直角的性质,题中正确计算九PD、S血D、S5、S^cp是解题的关键。\n5.如图5,四边形ABCD的对角线AC和3D相交于0点，如果九加=5,S^BC=6,S宓=10,那么SSOBC答案：4考点：三角形的面积。分析：先设出一个三角形的而积：AAOB的而积是》=x,再用代数式农示出图中其它三角形的面积，利用中间桥磊得出方程，进-步求出结果。解答：设AA03的面积是5,=x，则AADO的面积是52=5-x,ABOC的面积是》=6-x,\DOC的面积是》=10-（6-x）=4+x图5J\ABO的边OA上和\BOC的边上的高相等.••丑=型，同理？1=91s3OC弭0C•S]_$2••zz$3$4即亠=匕，解得：x=26-x4+xSaobc=6-2=4点评：解此题的关键是灵活运用三角形的面积公式，等高时面积比等于边Z比，从而转化成解方程，求出未知数的值。6、（第5届“希望杯”邀请赛题）在A4BC的三边4B、BC、CA±,分别取AD、BE、CF,使AD=-ABtBE=-BC.CF==AC,则ADEF的面积是\ABC的面积的（）4441357A、丄B、-C.-D.—48816答案：A考点：三角形的面积。分析：连接AE.根据三角形的面积公式求得ABDE和AABE的面积比，和的面积比，进而求得ABDE和AABC的面积比，同理求得AECF、\ADF和AABC的面积比，最后求解。解答：如图，连接AEECBE气BC•3I•*S血de=才SWE9SmbE=才SmbC\nMBC同理可得:s.CEF=-sMBC,所以S、DEF点评：此题考杏了根据三角形的面积公式求三角形的曲积比的方法。7、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6,在直角扇形ABC内，分别以和AC为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D,整个图形被分成Si，S2,S3,S4四部分，则S?和5*4的人小关系是（）A、S2YS4B、S2=S4C.S2AS4D、无法确定答案：B考点：扇形血积的计算。分析：设AB=AC=2a,由S?=S扇形心-S半嘶-S半酗c+S2=S,根据扇形和圆的面积公式分别计算出它们的面积就可得到S?和»的大小关系。解答：设AB=AC=2a,根据题意得：^2=S扇形act?_S半風ab_S半冏|ac+S490?L（2a）：_2xlx；rx6<2+360244故选B.点评：本题考查了扇形的面积公式：S=曲，其中77为扇形的圆心角的度数，R为圆的半360径），或S=丄灰，纟为扇形的弧长，R为半径。28、在矩形ABCD中，AB=2fBC=1,则矩形的内接三角形的而积总比数（）小或相等。421A、—B、1C、—D、-788解答：需分类讨食如图，显然皑（甲）及图（乙）屮径按三角爭面积龙1，如图（丙）.（丁）.\nE面积显然小于b综乙甲丙丁戊\n9、（第11届“希望杯”邀请赛）在正方形ABCD屮，AB=*，点£、F分别在BC、CD匕且ZBAE=30°,ZDAF=15°,则AAEF的面积为.答案：3-V3考点：正方形的性质；金等三角形的判定与性质；旋转的性质。分析将MDF绕人点顺时针方向旋转90。到MBG的位宜，得到\ABG,得MEFm\AEG,耍求AAEF的面积求AAEG即可，且为底边上的高，EG为底边。解答：将AADF绕A点顺时针方向旋转90。到AABG的位置AG=AFfZGAB=ZFAD=\5°fZG>4F=15°+30°=45°,ZEAF=90°-(30°+15°)=45°・・・ZGAE=ZFAE又AE・•・\AEF=MEG・•・EF=EG,ZAEF=ZAEG=60°在RfAABE屮,AB=W,ZBAE=30°・•・Z.AEB=60°,BE=ABtan30°=1在R达EFC屮,ZFEC=180°-(60°4-60°)=60°,EC=BC-BE=羽,EF=2(^3-1)・•・EG=2茁—1),=丄EGAB=3-^32•c—c••°、\EF~」MEG点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边各内角均和等的性质，解本题的关键是巧妙地构建AA3G,并且求证\AEFAAEG•10、（2（X）5年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知AABC三条高的比是3:4:5,且三条\n4、10B、12C、14D、16答案：B考点：约数与倍数；三角形的面积。专题：推理填空题。分析：根据题意，设三边为X,y,乙运用三角形面积公式得到^Xa}=jya2=^Za3f据给岀的已知条件得出三边之比，既而得岀答案。解答：解：设三边为X,Y,Z三条对应的高为⑷，血，如可得：1V1“1r-Xa^-Ya^-Za.已知at:a2:a3=3:4:5可得X:/:Z=20:15:12因为三边均为整数又4个答案分别是10,12,14,16所以答案应该是12故选B.点评：此题考查了学生对公倍数和三角形面积的理解和掌握。关键是运用三角形面积公式得到丄=丄％2=丄％3，据给出的已知条件得出三边Z比。22-211、（第14届“希望杯“邀请赛）如图7,将AABC的三边AB,BC,CA分别延长至夕,C,/V,fl.使BB'=AB,CC'=2BC,AAf=3AC,若=1,那么是（）A、153、16C、VID、18答案：D考点：三角形的而积。专题：计算题。\nAAf=3AC.若SMBC=1,求得S'同图7分析：连接CB，,利用BB'=AB,CC'=2BC,理可求得S^cc，和S鞭如，然后即可得出答案。解答：连接CB'・・・AB=BB,••SMFC'=SUBC=1又CC'=2BC\n=2S'BBC=3同理可得=6/•Skbc=3+8+6+1=18・•・故选D・点评：此题主要考查学生对三介形面积的理解和学握，解答此题的关键是连接CB',求得S诙c•12、（2005年笫16届“希望杯”初二年级竞赛题）如图8,从BC中，BC:AC=3:5,四边形BDEC和ACFG分均为正方形，已知AABC与正方形BDEC的而积比是3:5,那么ACEF与整个图形的而积比等于.答案：—224考点：相似三角形的判定M性质。计算题。分析：根据三角形面积计算公式即可求得AABC和'CEF的面积相等，设BC=3,贝U即可计算4CEF的面积和整个图形的面积，即可求得ACEF与整个图形的面积比，即可解题。ZBCA+ZECF=180°图8解答：・・・S心肚=*BC•ACsinZBCA,SACEF=*ECFsinZECF,・•・\ABC和\CEF的而积相等设BC=3则正方形BDEC的面积为9,四边形BDEC的面积为25377AABC的面积为9x-=—55故整个图形的面积比为25+9+2X—=—55\CEF整个图形的面积比二27224点评：木题考查了三角形面积的计算，锐角和其补角的正弦值相等的性质，止方形面积的计算，木题中求ACEF和整个图形的面积是解题的关键。C卷13、（第6届“希望杯“邀请赛题）如图9,AABC的面积为1&加，点°、E、F分别位于AB、BC、CA上，且AD=4cm,DB=5cm,如果MBE的面积和四边形DBEF的面积相等，则的而积是（）A、Scm2B>乂加七、10c屛£）、12cm2\n答案：C考点：三角形的面积。专题：转化思想。分析：木题由题意可知AABE的面积和四边形DBEF的面积相等，可通过连接DE,QC的方法，证明出DE//AC,进而求出ABDC的而积，然后即可求岀答案。解答：连接DE,DC・Smg=S四边形dbef•C=C图9••°MOE~2'FDE・・•两个三角形有公共底£>£,且面积相等・・・高相等・•・DEIIAC从而可得：s&WE=S^CDES•Q-Q•*JZBE~°'BDC又AD=4cm,DB=5cm•52••SZDC~§Swc=10c〃2即S»BE=10曲点评：木题考杳三和形血积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积Z间的关系。14、（第7届“希望杯“邀请赛题）如图10,直角ZAOB内冇一点P,OP=a,APOA=30°,过点P作一直线MN与04、OB分别交于M、N,使AMON的面积最小。B\n（1）此时线段MN的位置是（）A、MN丄0PB、0M=0NC、0M=20ND、PM=PN\n（2）此吋AA/ON的面积是.（3）若ZAOB为一锐角，P是锐角内一定点（如图11）,过点P的直线与04、0B交于M、N,使2W0N的面积最小。应怎样画出MN的位置，并证明你的结论。理由同第（3）小题。解：（1）如图（甲），当PM=PN时，\M0N的面积最小,（2）由（1）町知，当PM=PN时,'M0N的而积最小•・•'M0N是直角三角形A乙/.OP=-MN2・•・MN=2a又JZPOM=30°・•・ZPMO=30°NO=a,MO="a•-S酬on=*NOMO=£q2(3)作法1,如图(乙)①过P点PC//OA交OB于C；②在OB上截取CN=OC；③连结WP并延长交OA于M.则MN即为所求线段，此时•:PCIIOM、OC=CN/.PM=PN•I\MON的而积最小证明：若经过点F另有一条直线EF交Q4、OB于E、F,MN作NGIIOA交EF于G,町证明NPEM兰APGN••S冲em=S“pngYS空阡••S&wo/v=Spq边形apw+S曲YSpq边）^0EPN+S酬沖=若EF过点G'交04、0B于&、F'\n（如图丙），则作MG'/ZOB交EF于G',同理可证AMONYS、oeF・・・AMON是符合要求的面积最小的三角形。