2020年湖南省张家界市中考数学试卷(含解析） 20页

‎2020年湖南省张家界市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2020•张家界）‎1‎‎2020‎的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2020‎ B．‎1‎‎2020‎ C．2020 D．﹣2020‎ ‎2．（3分）（2020•张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）（2020•张家界）下列计算正确的是（　　）‎ A．2a+3a＝5a2 B．（a2）3＝a5 ‎ C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4‎ ‎4．（3分）（2020•张家界）下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）‎ A．了解澧水河的水质，采用抽样调查 ‎ B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查 ‎ C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查 ‎ D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查 ‎5．（3分）（2020•张家界）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）‎ 第20页（共20页）‎ A．100° B．110° C．120° D．130°‎ ‎6．（3分）（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（　　）‎ A．x+2‎‎3‎‎=x‎2‎-‎9 B．x‎3‎‎+‎2‎=‎x-9‎‎2‎ C．x‎3‎‎-‎2‎=‎x+9‎‎2‎ D．x-2‎‎3‎‎=x‎2‎+‎9‎ ‎7．（3分）（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．2或4‎ ‎8．（3分）（2020•张家界）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y‎=-‎‎6‎x和y‎=‎‎8‎x的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．14‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．（3分）（2020•张家界）因式分解：x2﹣9＝　 　．‎ ‎10．（3分）（2020•张家界）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国 第20页（共20页）‎ 家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为　 　元．‎ ‎11．（3分）（2020•张家界）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是　 　度．‎ ‎12．（3分）（2020•张家界）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是　 　．‎ ‎13．（3分）（2020•张家界）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是　 　．‎ ‎14．（3分）（2020•张家界）观察下面的变化规律：‎ ‎2‎‎1×3‎‎=‎‎1‎-‎‎1‎‎3‎，‎2‎‎3×5‎‎=‎1‎‎3‎-‎‎1‎‎5‎，‎2‎‎5×7‎‎=‎1‎‎5‎-‎‎1‎‎7‎，‎2‎‎7×9‎‎=‎1‎‎7‎-‎‎1‎‎9‎，…‎ 根据上面的规律计算：‎2‎‎1×3‎‎+‎2‎‎3×5‎+‎2‎‎5×7‎+⋯+‎2‎‎2019×2021‎=‎　 　．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）‎ ‎15．（2020•张家界）计算：|1‎-‎‎2‎|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（‎1‎‎2‎）﹣2．‎ ‎16．（2020•张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．‎ 第20页（共20页）‎ ‎（1）求证：△DOE≌△BOF；‎ ‎（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．‎ ‎17．（2020•张家界）先化简，再求值：（‎4‎x-1‎‎-‎‎2x-2‎x‎2‎‎-2x+1‎）‎÷‎x‎2‎‎-1‎x-1‎，其中x‎=‎‎3‎．‎ ‎18．（2020•张家界）为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：‎ D组成绩的具体情况是：‎ 分数（分）‎ ‎93‎ ‎95‎ ‎97‎ ‎98‎ ‎99‎ 人数（人）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 根据以上图表提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）请补全条形统计图；‎ ‎（2）D组成绩的中位数是　 　分；‎ ‎（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？‎ ‎19．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600‎ 第20页（共20页）‎ 元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．‎ ‎20．（2020•张家界）阅读下面的材料：‎ 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．‎ 根据上面的材料回答下列问题：‎ ‎（1）min{﹣1，3}＝　 　；‎ ‎（2）当min‎{‎2x-3‎‎2‎，x+2‎‎3‎}=‎x+2‎‎3‎时，求x的取值范围．‎ ‎21．（2020•张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎22．（2020•张家界）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．‎ ‎23．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ 第20页（共20页）‎ ‎（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第20页（共20页）‎ ‎2020年湖南省张家界市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2020•张家界）‎1‎‎2020‎的倒数是（　　）‎ A．‎-‎‎1‎‎2020‎ B．‎1‎‎2020‎ C．2020 D．﹣2020‎ ‎【解答】解：‎1‎‎2020‎的倒数是2020，‎ 故选：C．‎ ‎2．（3分）（2020•张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，则它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下：‎ 故选：A．‎ ‎3．（3分）（2020•张家界）下列计算正确的是（　　）‎ A．2a+3a＝5a2 B．（a2）3＝a5 ‎ C．（a+1）2＝a2+1 D．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4‎ ‎【解答】解：A、2a+3a＝5a，故原式错误；‎ B、（a2）3＝a6，故原式错误；‎ 第20页（共20页）‎ C、（a+1）2＝a2+2a+1，故原式错误；‎ D、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故原式正确，‎ 故选：D．‎ ‎4．（3分）（2020•张家界）下列采用的调查方式中，不合适的是（　　）‎ A．了解澧水河的水质，采用抽样调查 ‎ B．了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查 ‎ C．了解张家界市中学生睡眠时间，采用抽样调查 ‎ D．了解某班同学的数学成绩，采用全面调查 ‎【解答】解：了解澧水河的水质，采用普查不太可能做到，所以采用抽样调查，故A合适，‎ 了解一批灯泡的使用寿命，不宜采用全面调查，因为调查带有破坏性，故B不合适，‎ 了解张家界市中学生睡眠时间，工作量大，宜采用抽样调查，故C合适，‎ 了解某班同学的数学成绩，采用全面调查．合适，故D合适，‎ 故选：B．‎ ‎5．（3分）（2020•张家界）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）‎ A．100° B．110° C．120° D．130°‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，‎ 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）（2020•张家界）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（　　）‎ 第20页（共20页）‎ A．x+2‎‎3‎‎=x‎2‎-‎9 B．x‎3‎‎+‎2‎=‎x-9‎‎2‎ C．x‎3‎‎-‎2‎=‎x+9‎‎2‎ D．x-2‎‎3‎‎=x‎2‎+‎9‎ ‎【解答】解：依题意，得：x‎3‎‎+‎2‎=‎x-9‎‎2‎．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•张家界）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．2或4‎ ‎【解答】解：x2﹣6x+8＝0‎ ‎（x﹣4）（x﹣2）＝0‎ 解得：x＝4或x＝2，‎ 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；‎ 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）（2020•张家界）如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y‎=-‎‎6‎x和y‎=‎‎8‎x的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．14‎ ‎【解答】解：∵AB∥x轴，且△ABC与△ABO共底边AB，‎ ‎∴△ABC的面积等于△ABO的面积，‎ 连接OA、OB，如下图所示：‎ 第20页（共20页）‎ 则S‎△ABO‎=S‎△PBO+S‎△PAO=‎1‎‎2‎PO⋅PB+‎1‎‎2‎PO⋅PA=‎1‎‎2‎×|8|+‎1‎‎2‎×|-6|=4+3=7‎．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．（3分）（2020•张家界）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．‎ ‎【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），‎ 故答案为：（x+3）（x﹣3）．‎ ‎10．（3分）（2020•张家界）今年夏季我国南方多地连降暴雨，引发了严重的洪涝灾害，给国家和人民的财产造成了严重的损失，为支持地方各级政府组织群众进行抗灾自救，国家发展改革委员会下达了211000000元救灾应急资金支持暴雨洪涝灾区用于抗洪救灾，则211000000元用科学记数法表示为　2.11×108　元．‎ ‎【解答】解：211000000的小数点向左移动8位得到2.11，‎ 所以211000000用科学记数法表示为2.11×108，‎ 故答案为：2.11×108．‎ ‎11．（3分）（2020•张家界）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线（与水平线OB平行）从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，则∠DEB的度数是　76　度．‎ ‎【解答】解：∵DC∥OB，‎ ‎∴∠ADC＝∠AOB＝38°，‎ 由光线的反射定理易得，∠ODE＝∠ADC＝38°，‎ ‎∠DEB＝∠ODE+∠AOB＝38°+38°＝76°，‎ 故答案为：76°．‎ 第20页（共20页）‎ ‎12．（3分）（2020•张家界）新学期开学，刚刚组建的七年级（1）班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是　‎5‎‎9‎　．‎ ‎【解答】解：全班共有学生30+24＝54（人），‎ 其中男生30人，‎ 则这班选中一名男生当值日班长的概率是‎30‎‎54‎‎=‎‎5‎‎9‎．‎ 故答案为：‎5‎‎9‎．‎ ‎13．（3分）（2020•张家界）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是　‎2‎‎-1‎　．‎ ‎【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，‎ ‎∵B在对角线CF上，‎ ‎∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，‎ ‎∴△ENC为等腰直角三角形，‎ ‎∴MB＝CN‎=‎‎2‎‎2‎EC‎=‎‎2‎‎2‎，‎ 又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，‎ ‎∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴PB＝PE，‎ 又∠PFB＝45°，‎ ‎∴∠FPB＝45°＝∠MPE，‎ ‎∴△MPE为等腰直角三角形，‎ 设MP＝x，则EP＝BP‎=‎2‎x，‎ ‎∵MP+BP＝MB，‎ ‎∴x+‎2‎x=‎‎2‎‎2‎，解得x=‎‎2-‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∴BP‎=‎2‎x=‎2‎-1‎，‎ ‎∴阴影部分的面积‎=2S‎△PBC=2×‎1‎‎2‎×BC×BP=1×(‎2‎-1)=‎2‎-1‎．‎ 故答案为：‎2‎‎-1‎．‎ ‎14．（3分）（2020•张家界）观察下面的变化规律：‎ ‎2‎‎1×3‎‎=‎‎1‎-‎‎1‎‎3‎，‎2‎‎3×5‎‎=‎1‎‎3‎-‎‎1‎‎5‎，‎2‎‎5×7‎‎=‎1‎‎5‎-‎‎1‎‎7‎，‎2‎‎7×9‎‎=‎1‎‎7‎-‎‎1‎‎9‎，…‎ 根据上面的规律计算：‎2‎‎1×3‎‎+‎2‎‎3×5‎+‎2‎‎5×7‎+⋯+‎2‎‎2019×2021‎=‎　‎2020‎‎2021‎　．‎ ‎【解答】解：由题干信息可抽象出一般规律：‎2‎a⋅b‎=‎1‎a-‎‎1‎b（a，b均为奇数，且b＝a+2）．‎ 故‎2‎‎1×3‎‎+‎2‎‎3×5‎+‎2‎‎5×7‎+⋯+‎‎2‎‎2019×2021‎ ‎＝1‎‎-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎+‎1‎‎5‎-‎1‎‎7‎+⋯+‎1‎‎2019‎-‎‎1‎‎2021‎ ‎＝1‎‎-‎‎1‎‎2021‎ ‎=‎‎2020‎‎2021‎‎．‎ 故答案：‎2020‎‎2021‎．‎ 三、解答题（本大题共9个小题，满分0分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效）‎ ‎15．（2020•张家界）计算：|1‎-‎‎2‎|﹣2sin45°+（3.14﹣π）0﹣（‎1‎‎2‎）﹣2．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎2‎-‎1﹣2‎×‎2‎‎2‎+‎1﹣4‎ ‎=‎2‎-‎‎1‎-‎2‎+‎1﹣4‎ ‎＝﹣4．‎ 第20页（共20页）‎ ‎16．（2020•张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．‎ ‎（1）求证：△DOE≌△BOF；‎ ‎（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，DO＝BO，‎ ‎∴∠EDO＝∠FBO，‎ 又∵EF⊥BD，‎ ‎∴∠EOD＝∠FOB＝90°，‎ 在△DOE和△BOF中，‎ ‎∠EDO=∠FBODO=BO‎∠EOD=∠FOB=90°‎‎，‎ ‎∴△DOE≌△BOF（ASA）；‎ ‎（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形，‎ ‎∵BO＝DO，EF⊥BD，‎ ‎∴ED＝EB，‎ ‎∴四边形BFDE是菱形，‎ 根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，‎ 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，‎ 即（8﹣x）2＝x2+62，‎ 解得：x=‎‎7‎‎4‎，‎ ‎∴BE=8-‎7‎‎4‎=‎‎25‎‎4‎，‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴四边形BFDE的周长‎=‎25‎‎4‎×4=25‎．‎ ‎17．（2020•张家界）先化简，再求值：（‎4‎x-1‎‎-‎‎2x-2‎x‎2‎‎-2x+1‎）‎÷‎x‎2‎‎-1‎x-1‎，其中x‎=‎‎3‎．‎ ‎【解答】解：（‎4‎x-1‎‎-‎‎2x-2‎x‎2‎‎-2x+1‎）‎‎÷‎x‎2‎‎-1‎x-1‎ ‎=[‎4‎x-1‎-‎2(x-1)‎‎(x-1)‎‎2‎]÷‎‎(x+1)(x-1)‎x-1‎‎ ‎ ‎=(‎4‎x-1‎-‎2‎x-1‎)⋅‎x-1‎‎(x+1)(x-1)‎‎ ‎ ‎=‎2‎x-1‎⋅‎‎1‎x+1‎‎ ‎ ‎=‎‎2‎x‎2‎‎-1‎‎，‎ 当x=‎‎3‎时，原式‎=‎2‎‎(‎3‎)‎‎2‎‎-1‎=‎1．‎ ‎18．（2020•张家界）为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70～79分，C：80～89分，D：90～100分”四个等级进行统计，得到如图未画完整的统计图：‎ D组成绩的具体情况是：‎ 分数（分）‎ ‎93‎ ‎95‎ ‎97‎ ‎98‎ ‎99‎ 人数（人）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎1‎ 根据以上图表提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）请补全条形统计图；‎ ‎（2）D组成绩的中位数是　97　分；‎ ‎（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？‎ 第20页（共20页）‎ ‎【解答】解：（1）C的人数为：40﹣（5+12+13）＝40﹣30＝10，‎ 补全条形统计图如右图所示：‎ ‎（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列是：93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99，‎ 第七个数据为中位数，是97，‎ 故答案为：97；‎ ‎（3）1200‎×‎10+13‎‎40‎=‎690（人），‎ 即该校成绩优秀的学生人数约有690人，‎ 故答案为：690人．‎ ‎19．（2020•张家界）今年疫情防控期间，某学校花2000元购买了一批消毒液以满足全体师生的需要．随着疫情的缓解以及各种抗疫物资供应更充足，消毒液每瓶下降了2元，学校又购买了一批消毒液，花1600元购买到的数量与第一次购买到的数量相等，求第一批购进的消毒液的单价．‎ ‎【解答】解：设第一批购进的消毒液的单价为x元，则第二批购进的消毒液的单价为（x﹣2）元，‎ 依题意，得：‎2000‎x‎=‎‎1600‎x-2‎，‎ 解得：x＝10，‎ 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．‎ 答：第一批购进的消毒液的单价为10元．‎ ‎20．（2020•张家界）阅读下面的材料：‎ 对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．‎ 第20页（共20页）‎ 根据上面的材料回答下列问题：‎ ‎（1）min{﹣1，3}＝　﹣1　；‎ ‎（2）当min‎{‎2x-3‎‎2‎，x+2‎‎3‎}=‎x+2‎‎3‎时，求x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；‎ 故答案为：﹣1；‎ ‎（2）由题意得：‎‎2x-3‎‎2‎‎≥‎x+2‎‎3‎ ‎3（2x﹣3）≥2（x+2）‎ ‎6x﹣9≥2x+4‎ ‎4x≥13‎ x‎≥‎‎13‎‎4‎，‎ ‎∴x的取值范围为x‎≥‎‎13‎‎4‎．‎ ‎21．（2020•张家界）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎【解答】解：设无人机距地面xm，直线AB与南天一柱相交于点D，由题意得∠CAD＝37°，∠CBD＝45°．‎ 在Rt△ACD中，‎ ‎∵tan∠CAD‎=CDAD=xAD=0.75‎，‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴AD‎=‎4‎‎3‎x．‎ 在Rt△BCD中，‎ ‎∵tan∠CBD‎=CDBD=xBD=1‎，‎ ‎∴BD＝x．‎ ‎∵AD﹣BD＝AB，‎ ‎∴‎4‎‎3‎x-‎x＝9×6，‎ ‎∴x＝162，‎ ‎∵162＞150，‎ ‎∴这架航拍无人机继续向正东飞行安全．‎ ‎22．（2020•张家界）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点C作直线CD交AB的延长线于点D，使∠BCD＝∠A．‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE平分∠ADC，且分别交AC，BC于点E，F，当CE＝2时，求EF的长．‎ ‎【解答】（1）证明：如图，连接OC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°，‎ 又∵OC＝OB，‎ ‎∴∠ABC＝∠OCB，‎ ‎∵∠BCD＝∠A，‎ ‎∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，‎ ‎∵OC是圆O的半径，‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵DE平分∠ADC，‎ ‎∴∠CDE＝∠ADE，‎ 又∵∠BCD＝∠A，‎ ‎∴∠A+∠ADE＝∠BCD+∠CDF，即∠CEF＝∠CFE，‎ ‎∵∠ACB＝90°，CE＝2，‎ ‎∴CE＝CF＝2，‎ ‎∴EF‎=CE‎2‎+CF‎2‎=2‎‎2‎．‎ ‎23．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，‎ ‎∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．‎ 当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．‎ ‎∴‎5=a⋅‎0‎‎2‎-6×0+c‎0=‎5‎‎2‎a-6×5+c．‎ 第20页（共20页）‎ 解得a=1‎c=5‎．‎ ‎∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；‎ ‎（2）△APC的为直角三角形，理由如下：‎ ‎∵解方程x2﹣6x+5＝0，则x1＝1，x2＝5．‎ ‎∴A（1，0），B（5，0）．‎ ‎∵抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴l为x＝3，‎ ‎∴△APB为等腰三角形．‎ ‎∵C的坐标为（5，0），B的坐标为（5，0），‎ ‎∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．‎ ‎∴∠ABP＝45°．‎ ‎∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．‎ ‎∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．‎ ‎∴△APC的为直角三角形；‎ ‎（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，‎ ‎∵M1A＝M1C，‎ ‎∴∠ACM1＝∠CAM1．‎ ‎∴∠AM1B＝2∠ACB．‎ ‎∵△ANB为等腰直角三角形．‎ 第20页（共20页）‎ ‎∴AH＝BH＝NH＝2．‎ ‎∴N（3，2）．‎ 设AC的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．‎ ‎∵C（0，5），A（1，0），‎ ‎∴‎5=k⋅0+b‎0=k+b．‎ 解得b＝5，k＝﹣5．‎ ‎∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，‎ 设EM1的函数解析式为y‎=‎‎1‎‎5‎x+n，‎ ‎∵点E的坐标为（‎1‎‎2‎‎，‎‎5‎‎2‎）．‎ ‎∴‎5‎‎2‎‎=‎1‎‎5‎×‎1‎‎2‎+‎n，‎ 解得：n‎=‎‎12‎‎5‎．‎ ‎∴EM1的函数解析式为y‎=‎‎1‎‎5‎x‎+‎‎12‎‎5‎．‎ ‎∵y=-x+5‎y=‎1‎‎5‎x+‎‎12‎‎5‎．‎ 解得x=‎‎13‎‎6‎y=‎‎17‎‎6‎．‎ ‎∴M1的坐标为（‎13‎‎6‎‎，‎‎17‎‎6‎）；‎ 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，‎ 设M2（a，﹣a+5），‎ 则有：3‎=‎‎13‎‎6‎‎+a‎2‎，解得a‎=‎‎23‎‎6‎．‎ ‎∴﹣a+5‎=‎‎7‎‎6‎．‎ ‎∴M2的坐标为（‎23‎‎6‎，‎7‎‎6‎）．‎ 综上，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（‎13‎‎6‎‎，‎‎17‎‎6‎），M2（‎23‎‎6‎，‎7‎‎6‎）．‎ 第20页（共20页）‎