复数知识点与历年高考经典题型 6页

数系的扩充与复数的引入知识点（一）‎ ‎1．复数的概念：‎ ‎（1）虚数单位i；‎ ‎（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；‎ ‎（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。‎ ‎2．复数集 ‎3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。‎ 应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。‎ ‎4．复数的四则运算 ‎ 若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，‎ ‎（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；‎ ‎（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；‎ ‎（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；‎ ‎（4）除法：；‎ ‎（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。‎ ‎（6）特殊复数的运算：‎ ‎① (n为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i；‎ ‎③ 若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.‎ ‎5．共轭复数与复数的模 ‎（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0).‎ ‎（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.‎ ‎6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.‎ 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。‎ ‎7．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。‎ ‎8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。‎ 如(a+bi)(a－bi)= a2+b2‎ ‎9．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。‎ 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.‎ ‎10．复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。‎ ‎（二）典型例题 例1．使不等式m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m＝ .‎ 例2．证明：＝1．‎ ‎ ‎ 数系的扩充与复数的引入(历年高考经典题型)（二）‎ 一、选择题 ‎1.设复数z满足(1-i)z=2 i,则z=　(　　)‎ A.-1+i　　　B.-1-i　　　C.1+i　　　D.1-i ‎2. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=　(　　)‎ A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i ‎5. （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎6. （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知i是虚数单位,则(2+i)(3+i)= (　　)‎ A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i ‎8.复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( )‎ A.2+i B.2-i C. 5+i D.5-i ‎9.若复数满足，则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.复数，则（ ）‎ A.25 B. C.5 D.‎ ‎11. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )‎ ‎ A. 若, 则 B. 若, 则 ‎ C. 若 则 D. 若 则 ‎ ‎12.设z是复数, 则下列命题中的假命题是 ( )‎ ‎ A. 若, 则z是实数 B. 若, 则z是虚数 ‎ C. 若z是虚数, 则 D. 若z是纯虚数, 则 ‎ ‎13.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎14.已知集合M={1，2，zi},i为虚数单位，N=｛3，4｝，M∩N=｛4｝，则复数z= ( )‎ A. -2i B. 2i C. -4i D.4i ‎15.复数z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎16.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若 ，则= （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎17.设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为 （ ）‎ A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ ‎18.在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于　(　　)‎ A.第一象限　　　　　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎19.在复平面内，复数i（2-i）对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎20.已知复数z的共轭复数 (i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于　(　　)‎ A.第一象限　　　　　　B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎21.复数的在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎22.若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是（ ）‎ A. （2,4） B.（2,-4） C. (4,-2) D(4,2)‎ ‎23.若，，则复数的模是（ ）‎ ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎24.复数的模为（ ）‎ ‎25.在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题 ‎26.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=　　　　　　　.‎ ‎27.已知复数（是虚数单位），则 ‎ ‎28.设m∈R,m2+m-2+( m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .‎ ‎29. 为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则 .‎ ‎30.设（为虚数单位），则复数的模为 ‎