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  • 2021-05-13 发布

高考数学二轮精品复习资料专题05平面向量教师版

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‎2012届高考数学二轮复习资料 专题五 平面向量(教师版)‎ ‎【考纲解读】‎ ‎1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.‎ ‎2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ ‎3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.‎ ‎【考点预测】‎ 高考对平面向量的考点分为以下两类:‎ ‎(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算,高考中或直接考查或用以解决有关长度,垂直,夹角,判断多边形的形状等,此类题一般以选择题形式出现,难度不大.‎ ‎(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透,使数学问题的情境新颖别致,自然流畅,此类题一般以解答题形式出现,综合性较强.‎ ‎【要点梳理】‎ ‎1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,加法的运算律;‎ ‎2.实数与向量的乘积及是一个向量,熟练其含义;‎ ‎3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示;‎ ‎4.两个向量夹角的范围是:;‎ ‎5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律,向量的模,两个向量垂直的充要条件.‎ ‎【考点在线】‎ 考点一  向量概念及运算 例1.(2011年高考山东卷理科12)设,,,是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 (λ∈R),(μ∈R),且,则称,调和分割, ,已知点C(c,o),D(d,O) (c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( )‎ ‎(A)C可能是线段AB的中点 ‎ ‎(B)D可能是线段AB的中点 ‎(C)C,D可能同时在线段AB上 ‎ ‎(D) C,D不可能同时在线段AB的延长线上 ‎【答案】D 考点二  平面向量的数量积 例2.(2011年高考海南卷文科13)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意知,即,所以,因为与不共线,所以,即k=1.‎ ‎【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积.‎ ‎【备考提示】:熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.‎ 练习2:(2011年高考安徽卷文科14)已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且,,则a与b的夹角为.‎ ‎【答案】 ‎【解析】,则,即,,所以,所以.‎ 考点三  向量与三角函数等知识的综合 例3.(2009年高考江苏卷第15题)‎ 设向量 ‎(1)若与垂直,求的值;‎ ‎(2)求的最大值;‎ ‎(3)若,求证:∥.‎ ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力.‎ ‎【备考提示】:熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.‎ 练习3:(2009年高考广东卷A文科第16题)‎ 已知向量与互相垂直,其中 ‎(1)求和的值(2)若,,求的值 ‎【解析】(1),,即 又∵, ∴,即,∴ 又 , ‎(2)∵ ,,即 又, ∴ ‎【易错专区】‎ ‎1.(2011年高考全国卷文科3)设向量满足||=||=1, ,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎【答案】B ‎【解析】 故选B ‎2.(2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )‎ ‎(A)-12 (B)-6 (C)6 (D)12‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,得2a-b =(5,2-k),a·(2a-b)=2×5+2-k=0,所以k=12.‎ ‎3. (2011年高考四川卷文科7)如图,正六边形ABCDEF中,=( )‎ ‎(A)0 (B) (C) (D) ‎【答案】D ‎【解析】.‎ ‎4.( 2010年高考全国Ⅰ卷文科11)已知圆的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎【答案】D ‎【解析】如图所示:设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=,PO=,,‎ ===,令,则,即,由是实数,所以 ,,解得或.故.此时.‎ ‎5.(2010年高考全国卷Ⅱ文科10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若= a , = b , = 1 ,= 2, 则=( )‎ ‎(A)a +b (B)a +b (C)a +b (D)a +b ‎【答案】B ‎【解析】∵ CD为角平分线,∴,∵,∴,∴ ‎6.(2010年高考四川卷文科6)设点是线段的中点,点在直线外,,,则( )‎ ‎(A)8 (B)4 (C)2 (D)1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由=16,得|BC|=4‎ ‎,=4‎ 而,故2.‎ ‎7.(2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量,的夹角为,若向量,,则=___.‎ ‎【答案】-6‎ ‎【解析】要求*,只需将题目已知条件带入,得:*=(-2)*(3+4)=,其中=1,==1*1*=,,带入,原式=3*1—2*—8*1=—6.‎ ‎8.(2011年高考福建卷文科13)若向量a=(1,1),b(-1,2),则a·b等于_____________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为向量a=(1,1),b(-1,2),所以a·b等于1.‎ ‎9.(2011年高考湖南卷文科13)设向量满足且的方向相反,则的坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题,所以 ‎10.(2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足,且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为,则α和β的夹角θ取值范围是.‎ ‎【答案】 0,解得.‎ ‎【高考冲策演练】‎ 一、选择题:‎ ‎1.(2010年高考山东卷文科12)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的,,令,下面说法错误的是( )‎ ‎(A)若a与b共线,则 ‎(B) ‎(C)对任意的,有 ‎(D) ‎【答案】B ‎【解析】若与共线,则有,故A正确;因为,而 ,所以有,故选项B错误,故选B。‎ ‎2.(2010年高考天津卷文科9)如图,在ΔABC中,,,,则=( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎【答案】D ‎【解析】= =,故选D。‎ ‎3.(2010年高考福建卷文科8)若向量,则“”是“”的 ‎ ‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由得,所以;反之,由可得。‎ ‎4.(2010年高考福建卷文科11)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )‎ ‎ A.2 B.3 C.6 D.8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,F(-1,0),设点P,则有,解得,‎ 因为,,所以 ‎==,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最大值,选C。‎ ‎5.(2010年高考北京卷理科6)a、b为非零向量。“”是“函数为一次函数”的( )‎ ‎(A)充分而不必要条件(B)必要不充分条件 ‎(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若,则有不一定是一次函数(当时不是一次函数);反之,成立,故选B。‎ ‎6.(2010年高考安徽卷文科3)设向量,,则下列结论中正确的是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)与垂直 ‎【答案】D ‎【解析】,,所以与垂直.‎ ‎7.(2010年高考辽宁卷文科8)平面上三点不共线,设,则的面积等于( )‎ ‎(A) (B) ‎(C) (D) ‎【答案】C ‎【解析】 ‎8.(2010年高考宁夏卷文科2)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎【答案】C ‎ 解析:由已知得,所以 .‎ ‎9.(2010年高考广东卷文科5)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件 (8-‎ ‎【解析】,所以=6.‎ ‎11.(2010年高考湖北卷文科8)已知和点M满足.若存在实使得成立,则=( )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】B ‎【解析】由知,点M为的重心,设点D为底边BC的中点,则 =,所以有,故=3,选B。‎ ‎12.(2010年高考湖南卷文科6)若非零向量a,b满足|,则a与b的夹角为( )‎ A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500‎ ‎【答案】C 二、填空题:‎ ‎13.(2010年高考江西卷文科13)已知向量,满足,与的夹角为60°,则在上的投影是.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 ‎14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量则的值是 。‎ ‎【答案】 ‎16.(2010年高考陕西卷理科11)已知向量,若∥,则.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】∵,∴由∥得.‎ 三.解答题:‎ ‎17.(2010年高考江苏卷试题15)‎ 在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).‎ (1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;‎ (2) 设实数t满足()·=0,求t的值。‎ ‎【解析】(1)(方法一)由题设知,则 所以故所求的两条对角线的长分别为、.‎ ‎(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:‎ E为B、C的中点,E(0,1)‎ 又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)‎ 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;‎ ‎(2)由题设知:=(-2,-1),。‎ 由()·=0,得:,‎ 从而所以。‎ 或者:, ‎18.(2010年高考福建卷文科18)设平顶向量= ( m , 1), = ( 2 , n ),其中 m, n {1,2,3,4}.‎ ‎ (I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果;‎ ‎ (II)记“使得(-)成立的( m,n )”为事件A,求事件A发生的概率。‎ ‎19.(2009年高考湖北卷理科第17题)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)‎ 已知向量 ‎(Ⅰ)求向量的长度的最大值;‎ ‎(Ⅱ)设,且,求的值。‎ ‎【解析】(1)解法1:则 ,即 解法2:若,则,又由,得 ,,即 ,平方后化简得 解得或,经检验,即为所求 ‎20. (山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷理科)‎ 如图,平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2,P为该平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为Q,且 ‎(1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点P的轨迹C的方程;‎ ‎(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线于点N,已知为定值.‎ ‎【解析】(1)方法一:如图,以线段的中点为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系.则,.…………2分 ‎ 设动点的坐标为,则动点的坐标为 ,, ……………3分 由·,得. ………5分 方法二:由. ………2分 所以,动点的轨迹是抛物线,以线段的中点 为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系,可得轨迹的方程为:‎ . ……………………………………………………………………5分 ‎(2)方法一:如图,设直线的方程为,,……6分 则. ………………………………………………………………………………7分 联立方程组 消去得,‎ ,, …………………………………………………8分 故…………………………………………………………………………9分 由,得,‎ ,,………………………………………………………10分 整理得,, ·. …………………12分 方法二:由已知,,得. …………………………7分 于是, , ①………………………………………………8分 ‎ 如图,过、两点分别作准线的垂线,垂足分别为、,‎ 则有== , ②………………………………………………10分 由①、②得. …………………………………………………………………12分