高考第二轮复习数学学案专题四 数列 等差数列等比数列 5页

第1讲　等差数列、等比数列 ‎1．（2011陕西高考，文10）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（　　）．‎ A．①和 B．⑨和⑩ C．⑨和 D．⑩和 ‎2．（2011广东高考，文11）已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝__________．‎ ‎3．（2010重庆高考，文2）在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为（　　）．‎ A．5 B．6‎ C．8 D．10‎ 对等差、等比数列的概念与性质及其运用的考查，多以选择、填空题的形式出现，突出“小巧、灵活、善变”的特点，在高考题中，数列常常与函数、不等式、三角、解析几何、概率、充要条件相结合，在知识交汇处命题．以考查等差中项、等比中项、单调性等性质为主．‎ 热点一　等差、等比数列的判定与证明 判断一个数列是否为等差（等比）数列或证明一个数列是等差（等比）数列，最基本的方法是根据等差（等比）数列的定义，另外，还可使用中项公式，通项公式，或者前n项和公式等；若已知数列的递推关系求通项时，常对递推关系变形，构造一个新的等差（等比）数列，从而进一步求原数列的通项公式，进而判断或证明．‎ ‎【例1】 数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n．求证：数列{an－1}是等比数列．‎ 思路点拨：利用定义证为常数．‎ 判定或证明数列{an}为等差数列或等比数列的四种基本方法：‎ ‎（1）定义法：an＋1－an＝d（d为常数）‎ ‎⇔{an}为等差数列；‎ ＝q（q为非零常数）⇔{an}为等比数列．‎ ‎（2）中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}为等差数列；‎ a＝an·an＋2（an≠0，n∈N*）⇔{an}为等比数列．‎ ‎（3）通项公式法：an＝pn＋q（p，q为常数）⇔{an}为等差数列；‎ an＝cqn（c，q为非零常数，n∈N*）⇔{an}为等比数列．‎ ‎（4）前n项和公式法：Sn＝an2＋bn＋c（a，b，c都是常数），c＝0⇔{an}为等差数列；‎ Sn＝k（qn－1），k为常数，且q≠0，1⇔{an}为等比数列．‎ 提醒：①前两种方法是证明等差（等比）数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；‎ ‎②若要判定一个数列不是等差（等比）数列，则只需判定存在连续三项不成等差（等比）即可．‎ 拓展延伸在数列{an}中，an＋1＋an＝2n－44（n∈N*），a1＝－23．是否存在常数λ使数列{an－n＋λ}为等比数列，若存在，求出λ的值及数列的通项公式；若不存在，请说明理由．‎ 热点二　由递推公式到通项公式 ‎（1）通过递推关系求得数列类型（等差或等比），进而求得通项公式；‎ ‎（2）观察递推关系的特点，选择适当方法求得．一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法”等．‎ ‎【例2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋．求数列{an}的通项公式．‎ 思路点拨：由题意an＋1－an＝＝－，故可用累加法求an．‎ ‎1．已知Sn，求an可用分段函数an＝‎ 求解．‎ ‎2．累加法：数列递推关系形如an＋1＝an＋f（n），其中{f（n）}要可求和．这种类型的数列求通项公式时，常用累加法（叠加法）．‎ ‎3．累乘法：数列递推关系形如an＋1＝g（n）an，其中{g（n）}要可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法（叠乘法）．‎ ‎4．构造法：递推关系形如：‎ ‎（1）an＋1＝pan＋q（p，q为常数），可化为an＋1＋＝p（p≠1）的形式，利用是以p为公比的等比数列求解；‎ ‎（2）递推关系形如an＋1＝pan＋qpn＋1（p，q为常数）可化为－＝q（p≠1）的形式．‎ ‎5．数列递推关系形如an＋1＝pa（p，r为常数，且p>0，an>0），求通项公式时一般采用递推关系式两边取对数的方法．‎ ‎6．若an＝an＋T，则{an}为周期数列，周期为T（T∈N*），求an时可转化为求a1，a2，…，aT来处理．‎ 拓展延伸 数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，Sn＝5an＋1．求数列{an}的通项公式．‎ 热点三　等差、等比数列的基本运算 ‎（1）在等差（或等比）数列中，已知a1，n，d（或q），an，Sn五个量中任意三个，通过解方程（组）可求另外两个；‎ ‎（2）利用等差（或等比）数列的性质解题．‎ ‎【例3】 在公差为d（d≠0）的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，a2＝b1＝3，a5＝b2，a14＝b3，‎ ‎（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令cn＝ban，求数列的前n项和Tn．‎ 思路点拨：（1）由等差、等比数列通项公式列方程组求an，bn；（2）构造新数列，利用等比数列求和公式求Tn．‎ 有关等差、等比数列的计算问题常用到以下的基本性质：‎ ‎（1）等差数列的性质 ‎①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；‎ ‎②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列；‎ ‎③am－an＝（m－n）d⇔d＝（m，n∈N*）；‎ ‎④＝（A2n－1，B2n－1分别为{an}，{bn}的前2n－1项和）．‎ ‎（2）等比数列的性质 ‎①若m，n，p，k∈N*，且m＋n＝p＋k，则am·an＝ap·ak；‎ ‎②等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列；‎ ‎③在等比数列{an}中，公比为q（q≠－1），Sn是其前n项和，则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，且公比为qn．‎ 拓展延伸令例3（2）中的cn＝abn（其他条件不变），求其前n项和Qn．‎ ‎1．不注意“数列”是“特殊的函数”致误 数列是特殊的函数，可以用动态的函数的观点研究数列，但必须时刻注意其“特殊”性，即定义域为n∈N*．如数列{an}，其通项an＝n2－3n＋2＝2－的最小值为0（n＝1或n＝2），而不是－．‎ ‎2．等比数列前n项和公式中一定要考虑公式适用条件q＝1或q≠1，否则导致失误，若q＝1，则Sn＝na1；若q≠1，则Sn＝．‎ ‎3．对数列的递推关系转化不当致误 解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化，掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率．①递推关系形如an＋1＝qan＋p，可用待定系数法：an＋1＋λ＝q（an＋λ）；‎ ‎②递推关系形如an＋1＝，可用取倒数法；‎ ‎③观察法，如an＋1＝22an⇒＝2·．‎ 参考答案 考场传真 ‎1．D　解析：设小树放在第i个坑旁边，所走路程之和为f（i）．由于每两坑之间相距10米，且每个学生所走路程为往返，所以，当i分别等于1,20,9,10,11时的路程之和分别为：‎ f（1）＝2[0＋10＋20＋…＋190]‎ ‎＝2×＝3 800（米），‎ f（20）＝2[190＋180＋…＋20＋10＋0]‎ ‎＝2×＝3 800（米），‎ f（9）＝2[80＋70＋60＋…＋10＋0＋10＋20＋…＋110]‎ ‎＝2＝2 040（米），‎ f（10）＝2[90＋80＋70＋…＋10＋0＋10＋20＋…＋100]‎ ‎＝2＝2 000（米），‎ f（11）＝2[100＋90＋…＋10＋0＋10＋20＋…＋90]‎ ‎＝2＝2 000（米）．‎ 比较可得，最小的是f（10），f（11）．‎ ‎2．2　设{an}的公比为q，则a4＝a2q2，a3＝a2q.‎ a4－a3＝a2q2－a2q＝4，又a2＝2，‎ 得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.‎ 又{an}为递增数列，则q＝2.‎ ‎3．A　解析：因为a1＋a9＝2a5，所以a5＝5.‎ 核心攻略 ‎【例1】 　证明：∵a1＝S1，an＋Sn＝n，①‎ ‎∴a1＋S1＝1，得a1＝.‎ 又an＋1＋Sn＋1＝n＋1，②‎ ‎①②两式相减，得2（an＋1－1）＝an－1，即＝，故数列{an－1}是以－为首项，为公比的等比数列．‎ 拓展延伸　解：假设an＋1－（n＋1）＋λ＝－（an－n＋λ）成立，整理得an＋1＋an＝2n＋1－2λ，与an＋1＋an＝2n－44比较得λ＝.‎ ‎∴数列{an－n＋}是以－为首项，－1为公比的等比数列．‎ 故an－n＋＝－（－1）n－1，‎ 即an＝n－－（－1）n－1.‎ ‎【例2】 　解：由an＋1－an＝＝－，得n≥2时，an－an－1＝－，‎ an－1－an－2＝－，…，a3－a2＝－，a2－a1＝1－，a1＝1.累加得an＝－＋ ‎－＋…＋－＋1－＋1＝2－＝（n≥2），当n＝1时，a1也适合上式，∴an＝.‎ 拓展延伸　解：∵Sn＝5an＋1，∴an＋1＝Sn.∴an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an（n≥2）．∴an＋1＝an（n≥2）．‎ 又∵a1＝1，∴S1＝1.‎ ‎∴a2＝S1＝×1＝.‎ ‎∴数列的通项公式为an＝ ‎【例3】 　解：（1）由条件得∴∴an＝2n－1，bn＝3n.‎ ‎（2）由（1）得cn＝ban＝b2n－1＝32n－1.‎ ‎∵＝＝9，c1＝3，‎ ‎∴{cn}是首项为3，公比为9的等比数列．‎ ‎∴Tn＝＝（9n－1）．‎ 拓展延伸　解：由（1）得cn＝abn＝a3n＝2·3n－1.‎ ‎∴Qn＝c1＋c2＋…＋cn＝2（3＋32＋…＋3n）－n ‎＝2×－n＝3n＋1－n－3.‎