高考数学四川专用理一轮复习配套讲义第6篇基本不等式 20页

第 4 讲 基本不等式 [最新考纲] 1．了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知 识 梳 理 1．基本不等式： ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． (3)其中a＋b 2 称为正数 a，b 的算术平均数， ab称为正数 a，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤ a＋b 2 2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (3)a2＋b2 2 ≥ a＋b 2 2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (4)b a ＋a b ≥2(a，b 同号)，当且仅当 a＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知 x＞0，y＞0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最小值是 2 p(简记：积定和最小)． (2)如果和 x＋y 是定值 s，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最大值是s2 4(简记：和定积最大)． 辨 析 感 悟 1．对基本不等式的认识 (1)当 a≥0，b≥0 时，a＋b 2 ≥ ab.(√) (2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与a＋b 2 ≥ ab成立的条件是相同的．(×) 2．对几个重要不等式的认识 (3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(√) (4) 2ab a＋b ＝ 2 1 a ＋1 b ≤ ab≤a＋b 2 ≤ a2＋b2 2 .(×) (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．(√) 3．利用基本不等式确定最值 (6)函数 y＝sin x＋ 4 sin x ，x∈ 0，π 2 的最小值为 4.(×) (7)(2014·福州模拟改编)若 x＞－3，则 x＋ 4 x＋3 的最小值为 1.(√) (8)(2013·四川卷改编)已知函数 f(x)＝4x＋a x(x＞0，a＞0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝ 36.(√) [感悟·提升] 两个防范 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一 正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某 个条件，就会出现错误．对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤ a＋b 2 2，要弄清它们的作用、使 用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化关系．如(2)、(4)、(6)． 二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用， 则一定要保证它们等号成立的条件一致. 学生用书 第 103 页 考点一 利用基本不等式证明简单不等式 【例 1】 已知 x＞0，y＞0，z＞0. 求证： y x ＋z x x y ＋z y x z ＋y z ≥8. 证明 ∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴y x ＋z x ≥2 yz x ＞0，x y ＋z y ≥2 xz y ＞0， x z ＋y z ≥2 xy z ＞0， ∴ y x ＋z x x y ＋z y x z ＋y z ≥ 8 yz· xz· xy xyz ＝8. 当且仅当 x＝y＝z 时等号成立． 规律方法 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从 已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推 理最后转化为需证问题． 【训练 1】 已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1. 求证：1 a ＋1 b ＋1 c ≥9. 证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1， ∴1 a ＋1 b ＋1 c ＝a＋b＋c a ＋a＋b＋c b ＋a＋b＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋ b a ＋a b ＋ c a ＋a c ＋ c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当 a＝b＝c＝1 3 时，取等号． 考点二 利用基本不等式求最值 【例 2】 (1)(2013·山东卷)设正实数 x，y，z 满足 x2－3xy＋4y2－z＝0，则当xy z 取得最大 值时，2 x ＋1 y －2 z 的最大值为 ( )． A．0 B．1 C.9 4 D．3 (2)(2014·广州一模)已知2 x ＋2 y ＝1，(x＞0，y＞0)，则 x＋y 的最小值为 ( )． A．1 B．2 C．4 D．8 审题路线 (1)x2－3xy＋4y2－z＝0⇒变形得 z＝x2－3xy＋4y2⇒代入 z xy ⇒变形后利用基本 不等式⇒取等号的条件把2 x ＋1 y －2 z 转化关于1 y 的一元二次函数⇒利用配方法求最大值． 解析 (1)由 x2－3xy＋4y2－z＝0，得 z＝x2－3xy＋4y2， ∴xy z ＝ xy x2－3xy＋4y2 ＝ 1 x y ＋4y x －3 . 又 x，y，z 为正实数，∴x y ＋4y x ≥4， 当且仅当 x＝2y 时取等号，此时 z＝2y2. ∴2 x ＋1 y －2 z ＝ 2 2y ＋1 y － 2 2y2 ＝－ 1 y 2＋2 y ＝－ 1 y －1 2＋1，当1 y ＝1，即 y＝1 时，上式有最大值 1. (2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)· 2 x ＋2 y ＝ 4＋2 x y ＋y x ≥4＋4 x y·y x ＝8. 当且仅当x y ＝y x ，即 x＝y＝4 时取等号． 答案 (1)B (2)D 规律方法 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间 的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数 代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值． 【训练 2】 (1)若正数 x，y 满足 x＋3y＝5xy，则 3x＋4y 的最小值是 ( )． A.24 5 B.28 5 C．5 D．6 (2)(2014·浙江十校联考)若正数 x，y 满足 4x2＋9y2＋3xy＝30，则 xy 的最大值是 ( )． A.4 3 B.5 3 C．2 D.5 4 解析 (1)由 x＋3y＝5xy 可得 1 5y ＋ 3 5x ＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) 1 5y ＋ 3 5x ＝9 5 ＋4 5 ＋3x 5y ＋12y 5x ≥13 5 ＋12 5 ＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即 x＝1， y＝1 2 时，等号成立)， ∴3x＋4y 的最小值是 5. (2)由 x＞0，y＞0，得 4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当 2x＝3y 时等号成立)， ∴12xy＋3xy≤30，即 xy≤2，∴xy 的最大值为 2. 答案 (1)C (2)C 考点三 基本不等式的实际应用 【例 3】 (2014·济宁期末)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场 调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动 成本为 W(x)万元，在年产量不足 8 万件时，W(x)＝1 3x2＋x(万元)．在年产量不小于 8 万 件时，W(x)＝6x＋100 x －38(万元)．每件产品售价为 5 元．通过市场分析，小王生产的商 品能当年全部售完． (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入 －固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 0 ＜x＜8 时， L(x)＝5x－ 1 3x2＋x －3＝－1 3x2＋4x－3； 当 x≥8 时 ， L(x) ＝ 5x － 6x＋100 x －38 － 3 ＝ 35 － x＋100 x . 所 以 L(x) ＝ －1 3x2＋4x－3，0＜x＜8， 35－ x＋100 x ，x≥8. (2)当 0＜x＜8 时，L(x)＝－1 3(x－6)2＋9. 此时，当 x＝6 时，L(x)取得最大值 L(6)＝9 万元， 当 x≥8 时，L(x)＝35－ x＋100 x ≤35－2 x·100 x ＝35－20＝15， 此时，当且仅当 x＝100 x 时，即 x＝10 时，L(x)取得最大值 15 万元． ∵9＜15，所以当年产量为 10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．最大利 润为 15 万元． 规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明 确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求 解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解． 【训练 3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 2013 年举行促销活动，经调查测 算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 t(t≥0)万元满足 x＝4－ k 2t＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是 1 万件．已知 2013 年生产该产 品的固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的 销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)． (1)将该厂家 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数； (2)该厂家 2013 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解 (1)由题意有 1＝4－k 1 ，得 k＝3，故 x＝4－ 3 2t＋1. ∴y＝1.5×6＋12x x ×x－(6＋12x)－t ＝3＋6x－t＝3＋6 4－ 3 2t＋1 －t＝27－ 18 2t＋1 －t(t≥0)． (2)由(1)知：y＝27－ 18 2t＋1 －t＝27.5－ 9 t＋1 2 ＋ t＋1 2 . 由基本不等式 9 t＋1 2 ＋ t＋1 2 ≥2 9 t＋1 2 · t＋1 2 ＝6， 当且仅当 9 t＋1 2 ＝t＋1 2 ， 即 t＝2.5 时等号成立， 故 y＝27－ 18 2t＋1 －t＝27.5－ 9 t＋1 2 ＋ t＋1 2 ≤27.5－6＝21.5. 当且仅当 9 t＋1 2 ＝t＋1 2 时，等号成立，即 t＝2.5 时，y 有最大值 21.5.所以 2013 年的年促销 费用投入 2.5 万元时，该厂家利润最大，最大利润为 21.5 万元． 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功 能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结 构特点，选择好利用基本不等式的切入点． 2．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一 致． 教你审题 7——如何挖掘基本不等式中的“相等” 【典例】 (2013·天津卷)设 a＋b＝2，b>0，则 1 2|a| ＋|a| b 取得最小值为________． [审题] 一审条件：a＋b＝2，b＞0，转化为条件求最值问题； 二审问题： 1 2|a| ＋|a| b 转化为“1”的代换； 三审过程：利用基本不等式时取等号的条件． 解析 因为 a＋b＝2，所以 1 2|a| ＋|a| b ＝a＋b 4|a| ＋|a| b ＝ a 4|a| ＋ b 4|a| ＋|a| b ≥ a 4|a| ＋2 b 4|a|·|a| b ＝ a 4|a| ＋ 1≥－1 4 ＋1＝3 4 ，当且仅当 b 4|a| ＝|a| b ，a<0，即 a＝－2，b＝4 时取等号，故 1 2|a| ＋|a| b 的最小 值为3 4. 答案 3 4 [反思感悟] 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或 常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘 上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值． 【自主体验】 (2013·台州一模)设 x，y 均为正实数，且 3 2＋x ＋ 3 2＋y ＝1，则 xy 的最小值为 ( )． A．4 B．4 3 C．9 D．16 解析 由 3 2＋x ＋ 3 2＋y ＝1 可化为 xy＝8＋x＋y，∵x，y 均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8 ＋2 xy(当且仅当 x＝y 时等号成立)，即 xy－2 xy－8≥0，解得 xy≥4，即 xy≥16，故 xy 的最小值为 16. 答案 D 对 应 学生用书 P303 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟) 一、选择题 1．(2014·泰安一模)若 a，b∈R，且 ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A．a＋b≥2 ab B.1 a ＋1 b ＞ 2 ab C.b a ＋a b ≥2 D．a2＋b2＞2ab 解析 因为 ab＞0，即b a ＞0，a b ＞0，所以b a ＋a b ≥2 b a ×a b ＝2. 答案 C 2．(2014·杭州一模)设 a＞0，b＞0.若 a＋b＝1，则1 a ＋1 b 的最小值是( )． A．2 B.1 4 C．4 D．8 解析 由题意1 a ＋1 b ＝a＋b a ＋a＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ×a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即 a＝b ＝1 2 时，取等号，所以最小值为 4. 答案 C 3．(2013·金华十校模拟)已知 a＞0，b＞0，a，b 的等比中项是 1，且 m＝b＋1 a ，n＝a＋1 b ， 则 m＋n 的最小值是( )． A．3 B．4 C．5 D．6 解析 由题意知：ab＝1，∴m＝b＋1 a ＝2b，n＝a＋1 b ＝2a， ∴m＋n＝2(a＋b)≥4 ab＝4. 答案 B 4．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地的时速分别为 a 和 b(aa2－a2 a＋b ＝0，∴v>a. 答案 A 5．(2014·兰州模拟)已知函数 y＝x－4＋ 9 x＋1(x＞－1)，当 x＝a 时，y 取得最小值 b，则 a＋b＝( )． A．－3 B．2 C．3 D．8 解析 y＝x－4＋ 9 x＋1 ＝x＋1＋ 9 x＋1 －5，由 x＞－1，得 x＋1＞0， 9 x＋1 ＞0，所以由基本 不等式得 y＝x＋1＋ 9 x＋1 －5≥2 x＋1× 9 x＋1 －5＝1，当且仅当 x＋1＝ 9 x＋1 ，即(x＋ 1)2＝9，所以 x＋1＝3，即 x＝2 时取等号，所以 a＝2，b＝1，a＋b＝3. 答案 C 二、填空题 6．(2014·广州模拟)若正实数 a，b 满足 ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________． 解析 (1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2 2ab＝9.当且仅当 2a＝b，即 a＝1，b＝2 时取等 号． 答案 9 7．已知 x，y∈R＋，且满足x 3 ＋y 4 ＝1，则 xy 的最大值为______． 解析 ∵x＞0，y＞0 且 1＝x 3 ＋y 4 ≥2 xy 12 ，∴xy≤3.当且仅当x 3 ＝y 4 ，即当 x＝3 2 ，y＝2 时 取等号． 答案 3 8．函数 y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx＋ny－1＝0(mn＞0) 上，则1 m ＋1 n 的最小值为________． 解析 ∵y＝a1－x 恒过点 A(1,1)，又∵A 在直线上， ∴m＋n＝1.而 1 m ＋1 n ＝m＋n m ＋m＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当 m＝n＝1 2 时，取 “＝”，∴1 m ＋1 n 的最小值为 4. 答案 4 三、解答题 9．已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：1 a ＋1 b ＋ 1 ab ≥8. 证明 1 a ＋1 b ＋ 1 ab ＝1 a ＋1 b ＋a＋b ab ＝2 1 a ＋1 b ， ∵a＋b＝1，a＞0，b＞0， ∴1 a ＋1 b ＝a＋b a ＋a＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1 a ＋1 b ＋ 1 ab ≥8 当且仅当 a＝b＝1 2 时等号成立 . 10．已知 x>0，y>0，且 2x＋5y＝20. (1)求 u＝lg x＋lg y 的最大值； (2)求1 x ＋1 y 的最小值． 解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得 2x＋5y≥2 10xy. ∵2x＋5y＝20， ∴2 10xy≤20，xy≤10，当且仅当 2x＝5y 时，等号成立．因此有 2x＋5y＝20， 2x＝5y， 解得 x＝5， y＝2， 此时 xy 有最大值 10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当 x＝5，y＝2 时，u＝lg x＋lg y 有最大值 1. (2)∵x>0，y>0， ∴1 x ＋1 y ＝ 1 x ＋1 y ·2x＋5y 20 ＝ 1 20 7＋5y x ＋2x y ≥ 1 20 7＋2 5y x ·2x y ＝7＋2 10 20 ， 当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由 2x＋5y＝20， 5y x ＝2x y ， 解得 x＝10 10－20 3 ， y＝20－4 10 3 . ∴1 x ＋1 y 的最小值为7＋2 10 20 . 能力提升题组 (建议用时：25 分钟) 一、选择题 1．已知 x>0，y>0，且2 x ＋1 y ＝1，若 x＋2y>m2＋2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )． A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 解析 ∵x>0，y>0 且2 x ＋1 y ＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y) 2 x ＋1 y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ， 即 x＝4，y＝2 时取等号， ∴(x＋2y)min＝8，要使 x＋2y>m2＋2m 恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m 恒成立， 即 8>m2＋2m，解得－41， x－y≤0， 若目标函数 z＝x＋y 取得最大值 4， 则实数 a 的值为( )． A．4 B．3 C．2 D.3 2 解析 作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y＝－x＋z，则 z 的几何意义为 直线在 y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点 A 时，目标函数取得最大值 4， 此时 A 点坐标为(a，a)，代入得 4＝a＋a＝2a，所以 a＝2. 答案 C 9．(2014·湖州模拟)设 x，y 满足约束条件 3x－y－6≤0， x－y＋2≥0， x≥0，y≥0. 若目标函数 z＝ax＋by(a＞ 0，b＞0)的最大值为 12，则2 a ＋3 b 的最小值为( )． A.25 6 B.8 3 C.11 3 D．4 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分．当直线 ax＋by＝z(a＞0，b＞0)过直线 x－y＋2＝0 与直线 3x－y－6＝0 的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最 大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6. 所以2 a ＋3 b ＝ 2 a ＋3 b ·2a＋3b 6 ＝13 6 ＋ b a ＋a b ≥13 6 ＋2＝25 6 (当且仅当 a＝b＝6 5 时等号成立)． 答案 A 10．(2014·金丽衢十二校联考)已知任意非零实数 x，y 满足 3x2＋4xy≤λ(x2＋y2)恒成立， 则实数λ的最小值为( )． A．4 B．5 C.11 5 D.7 2 解析 依题意，得 3x2＋4xy≤3x2＋[x2＋(2y)2]＝4(x2＋y2)，因此有3x2＋4xy x2＋y2 ≤4，当且仅 当 x＝2y 时取等号，即3x2＋4xy x2＋y2 的最大值是 4，结合题意得λ≥3x2＋4xy x2＋y2 ，故λ≥4，即λ的 最小值是 4. 答案 A 二、填空题 11．(2013·烟台模拟)已知关于 x 的不等式 ax2＋2x＋c>0 的解集为 －1 3 ，1 2 ，则不等式－ cx2＋2x－a>0 的解集为________． 解析 由 ax2＋2x＋c>0 的解集为 －1 3 ，1 2 知 a<0，且－1 3 ，1 2 为方程 ax2＋2x＋c＝0 的两 个根，由根与系数的关系得－1 3 ＋1 2 ＝－2 a ， －1 3 ×1 2 ＝c a ，解得 a＝－12，c＝2，∴－cx2 ＋2x－a>0，即 2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)． 答案 (－2,3) 12．(2014·武汉质检)已知 f(x)＝ 3x，x≥0， 1 3 x，x＜0， 则不等式 f(x)＜9 的解集是________． 解析 当 x≥0 时，由 3x＜9 得 0≤x＜2. 当 x＜0 时，由 1 3 x＜9 得－2＜x＜0. 故 f(x)＜9 的解集为(－2,2)． 答案 (－2,2) 13．(2014·湖北七市联考)点 P(x，y)在不等式组 x≥0， x＋y≤3， y≥x＋1 表示的平面区域内，若点 P(x，y)到直线 y＝kx－1(k＞0)的最大距离为 2 2，则 k＝________. 解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 y＝kx－1 的大概位置， 如图所示，因为 k＞0，所以由图可知，点(0,3)到直线 y＝kx－1 的距离最大，因此|0－1－3| k2＋1 ＝2 2，解得 k＝1(负值舍去)． 答案 1 14．(2013·湘潭诊断)已知向量 a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若 a⊥b，则 9x＋3y 的最小值为 ________． 解析 由 a⊥b 得 a·b＝4(x－1)＋2y＝0，即 2x＋y＝2.所以 9x＋3y≥2 9x·3y＝2 32x＋y＝6. 答案 6 15．(2014·宁波十校联考)设 a，b∈(0，＋∞)，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则a2 x ＋b2 y ≥a＋b2 x＋y ， 当且仅当a x ＝b y 时，上式取等号，利用以上结论，可以得到函数 f(x)＝2 x ＋ 9 1－2x(x∈(0，1 2)) 的最小值为________． 解析 根据已知结论，f(x)＝2 x ＋ 9 1－2x ＝ 4 2x ＋ 9 1－2x ≥ 2＋32 2x＋1－2x ＝25，当且仅当 2 2x ＝ 3 1－2x ，即 x＝1 5 ∈(0，1 2)时，f(x)取最小值为 25. 答案 25 三、解答题 16．(2014·长沙模拟)已知 f(x)＝ 2x x2＋6. (1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<－3 或 x>－2}，求 k 的值； (2)若对任意 x>0，f(x)≤t 恒成立，求实数 t 的范围． 解 (1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0， 由已知其解集为{x|x<－3 或 x>－2}， 得 x1＝－3，x2＝－2 是方程 kx2－2x＋6k＝0 的两根， 所以－2－3＝2 k ，即 k＝－2 5. (2)∵x>0，f(x)＝ 2x x2＋6 ＝ 2 x＋6 x ≤ 6 6 ， 由已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立，故实数 t 的取值范围是 6 6 ，＋∞ . 17．(2013·广州诊断)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后 墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元， 顶部每平方米造价 20 元，求：仓库面积 S 的最大允许值是多少？为使 S 达到最大，而 实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为 y 米，则顶部面积 S＝xy，依题设，得 40x＋2×45y ＋20xy＝3 200，由基本不等式，得 3 200≥2 40x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy＝120 S＋ 20S，则 S＋6 S－160≤0，即( S－10)( S＋16)≤0，故 0＜ S≤10，从而 0＜S≤100， 所以 S 的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是 40x＝90y 且 xy＝100，解得 x＝15，即铁栅的长应设计为 15 米． 18．(2014·泉州调研)已知函数 f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (1)当 a＝－ 2时，讨论 f(x)的单调性； (2)若 x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求 a 的取值范围． 解 (1)当 a＝－ 2时，f(x)＝x3－3 2x2＋3x＋1. f′(x)＝3x2－6 2x＋3. 令 f′(x)＝0，得 x＝ 2－1 或 2＋1. 当 x∈(－∞， 2－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞， 2－1)上是增函数； 当 x∈( 2－1， 2＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在( 2－1， 2＋1)上是减函数； 当 x∈( 2＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在( 2＋1，＋∞)上是增函数． (2)法一 ∵当 x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0， ∴3ax2≥－x3－3x－1， ∴a≥－x 3 －1 x － 1 3x2 ， 设 g(x)＝－x 3 －1 x － 1 3x2 ，∴求 g(x)的最大值即可，则 g′(x)＝－1 3 ＋1 x2 ＋ 2 3x3 ＝－x3＋3x＋2 3x3 ， 设 h(x)＝－x3＋3x＋2， 则 h′(x)＝－3x2＋3，当 x≥2 时，h′(x)＜0， ∴h(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴g′(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴g′(x)≤g′(2)＝0， ∴g(x)在(2，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max＝g(2)＝－5 4 ， ∴a≥－5 4. 法二 因为 x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，所以由 f(2)≥0，得 a≥－5 4. 当 a≥－5 4 ，x∈(2，＋∞)时，f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥ 3 x2－5 2x＋1 ＝3 x－1 2 (x－2)＞0， 所以 f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当 x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0. 综上，a 的取值范围是 －5 4 ，＋∞ . 学生用书 第 105 页 教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。 ——马卡连柯 教师应当善于组织，善于行动，善于运用诙谐，既要快乐适时，又要生气得当。 教师应当能让自己的每一举动都能对自己起教育的作用，并且永远应当知道当时 自己所希望的是什么，所不希望的是什么。如果一个教师不了解这一点，那他还 能教育谁呢？ ——马卡连柯