高考数学复习第一轮学生自主复习资料基础知识与基本方法复习 6页

数学基础知识与典型例题 第一章集合与简易逻辑 集合 ‎1.元素与集合的关系:‎ 用或表示；‎ ‎2.集合中元素具有 确定性、无序性、互异性.‎ ‎3.集合的分类：‎ ‎①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2},表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；‎ ‎4.集合的表示法：‎ ‎①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；‎ ‎②描述法 ‎③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;‎ 例1 下列关系式中正确的是（ ）‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C)0 (D)0‎ 例2 解集为______.‎ 例3设,‎ 已知,求实数的值.‎ 子集 集合与集合的关系:用，，=表示;A是B的子集记为AB；A是B的真子集记为AB。‎ ‎①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；‎ ‎③如果，同时，那么A = B；如果 ‎.④n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n －1个；n个元素的非空真子集有2n－2个.‎ 例4设，a=lg(lg10)，‎ 则{a}与M的关系是( )‎ ‎(A){a}=M (B)M{a} (C){a}M (D)M{a}‎ 例5集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3n+1，‎ n∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是( )‎ ‎(A)SBA (B)S=BA ‎ ‎(C)SB=A (D)SB=A 例6用适当的符号填空：‎ ‎①π___;②{3.14}____;③∪R+_____R;‎ ‎④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k－1, k∈Z}。‎ 例7已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝如果，那么a的值为____.‎ 交、并、补 ‎1.交集A∩B={x|x∈A且x∈B};‎ 并集A∪B={x|x∈A，或x∈B};‎ 补集CUA=｛x|x∈U，且xA｝，‎ 集合U表示全集.‎ ‎2.集合运算中常用结论:‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 例8设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，‎ 且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是( )‎ ‎(A)11 (B)1 (C)16 (D)15‎ 例9已知A={}，B={x|，‎ 则A∩B=__________。‎ 例10已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，‎ x∈R}，求M∩N。‎ 交、并、补 例11若A ={(x，y)| y =x+1},B={y|y =x2+1},‎ ‎ 则A∩B =_____.‎ 例12设全集，‎ 则 例13设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，‎ A = {3，4，5} B = {4，7，8},‎ 求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), ‎ CU(A∪B), CU (A∩B).‎ 不等式 ‎1.绝对值不等式的解法：‎ 的解集是;‎ 的解集是 ‎ ‎⑴公式法:,.‎ ‎(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方 ‎2、一元二次不等式或 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数 ‎（）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ‎ R ‎ ‎ ‎ ‎ 注:分式、高次不等式的解法：标根法 不等式 ‎14.不等式的解集是,则 ‎15.分式不等式的解集为：___________________.‎ ‎16.求使有意义的取值范围.‎ 不等式 ‎17.解不等式：|4x-3|>2x+1.‎ ‎18.解不等式：|x-3|-|x+1|<1.‎ ‎19.解不等式：.‎ ‎20.已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.‎ 命题 ‎1.命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；‎ ‎2.复合命题的形式：‎ p且q，p或q，非p；‎ ‎(“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、‎ ‎“非”构成的命题是复合命题。)‎ ‎①“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假即当q、p为真时，p且q为真；当p、q中有一个为假时，p且q为假。‎ ‎②“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真即当p、q均为假时，p或q为假；当p、q中有一个为真时，p或q为真；‎ ‎③“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反即当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。‎ 例21写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。‎ 例22:“若” 是____命题.(填真、假)‎ 例23命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。‎ 例24：用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个不小于1。‎ 命题 ‎3.四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即Û。‎ 例25已知设P：函数在R上单调递减.：不等式的 解集为R，如果P和有且仅有一个正确，求的取值范围.‎ ‎①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题逆命题.）②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（ 原命题逆否命题.）‎ ‎4.反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。‎ 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 ‎1.定义：①当“若p则q”是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件;②当“若p则q”的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件;③当“若p则q”, “若q则p”均为真时，称p是q的充要条件；‎ ‎2.在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则①当AB时，p是q的充分条件;②BA时，p是q的充分条件;③A=B时，p是q的充要条件；‎ 注：⑴当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。‎ ‎⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.‎ 例26:.(填,Ü)‎ 例27:条件甲:;条件乙:, 则乙是甲的_____条件.‎ 例28“α≠β”是cosα≠cosβ”的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 例29 已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎ ‎(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 答案见下一页 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A;‎ 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集.‎ 例3解:∵,∴.⑴若,则,此时,‎ ‎,与已知矛盾,舍去.⑵若,则①当时,.B中有两个元素均为,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当时,,符合题意.综上所述,.‎ ‎[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。‎ 例4C 例5C 例6①Ï,②,③,④ ‎ 例7填2 例8C 例9‎ 例10解：∵M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥1}‎ 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x ‎)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y≥1}={x|x≥1}。‎ 例11填注：点集与数集的交集是. ‎ 例12埴,R 例13解：∵CU A = {1，2，6，7，8} ,CU B = {1，2，3，5，6},‎ ‎∴(CU A)∩(CU B) = {1，2，6} ,(CU A)∪(CU B) = {1，2，3，5，6，7，8},‎ ‎ A∪B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ CU (A∪B) = {1,2,6} ,CU (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8}‎ 例14;‎ 例15原不等式的解集是 例16 ‎ 例17分析：关键是去掉绝对值.方法1：原不等式等价于,即，∴x>2或x<，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c，就同一样∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) x>2 或x<，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.‎ 例18分析：关键是去掉绝对值. ‎ 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）‎ ‎①当时，∴∴4<1‎ ‎②当时∴，∴‎ ‎③当时∴-4<1∴‎ 综上,原不等式的解集为 也可以这样写：‎ 解：原不等式等价于①或②或 ③，解①的解集为φ，②的解集为{x|}.‎ 方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点∴原不等式的解集为{x|x>}.‎ 例19答：{x|x0或1