备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题38 数列中的不等问题 21页

专题38 数列中的不等问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法.‎ ‎（一）数列中的不等关系 ‎1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点 ‎2、如何判断数列的单调性：‎ ‎（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性 ‎（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）‎ ‎3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理.比如：含的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前项和也可看做数列等等.‎ ‎4、对于某数列的前项和，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：，所以的增减由所加项的符号确定.进而把问题转化成为判断的符号问题.‎ ‎（二）利用放缩法证明不等式 ‎1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：‎ ‎（1）传递性：若，则（此性质为放缩法的基础，即若要证明，但无法直接证明，则可寻找一个中间量，使得，从而将问题转化为只需证明即可 ）‎ ‎（2）若，则，此性质可推广到多项求和：‎ 若，则: ‎ 21‎ ‎（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若，则，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数 ‎ 注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 ‎2、放缩的技巧与方法：‎ ‎（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：‎ ‎① 等差数列求和公式：，（关于的一次函数或常值函数）‎ ‎② 等比数列求和公式：，（关于的指数类函数）‎ ‎③ 错位相减：通项公式为“等差等比”的形式 ‎④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项 ‎（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：‎ ‎① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ‎② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）‎ ‎③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.‎ ‎④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试.‎ ‎（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：‎ ‎① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）‎ ‎② 等比数列：所面对的问题通常为“常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可. ‎ ‎（4）与数列中的项相关的不等式问题：‎ 21‎ ‎① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ‎② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即或（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为，另一侧为求和的结果，进而完成证明 ‎3、常见的放缩变形：‎ ‎（1），其中：可称为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择.‎ 注：对于，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：‎ ‎（2），从而有：‎ 注：对于还可放缩为：‎ ‎（3）分子分母同加常数：‎ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.‎ ‎（4） ‎ ‎ ‎ 可推广为：‎ 21‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2019届福建省莆田市第二次检测】设等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 13‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先利用求和公式，根据题中条件，，确定出，从而根据对于首项大于零，公差小于零时，其前项和最大时对应的条件就是，从而求得结果.‎ 例2. 已知函数，数列满足，且数列 是递增数列，则实数的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得，求解可得答案．‎ 详解：根据题意，an=f（n）=，‎ 要使{an}是递增数列，必有：‎ 21‎ ‎，‎ 解得，4＜a＜8．‎ 故选：B．‎ 例3. 等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足．，‎ ‎，则以下结论不正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. 的值是中最大的 D. 使成立的最大自然数等于 ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．‎ 详解：∵,∴, ∴.‎ ‎.‎ ‎，故D正确.‎ 21‎ 故选C.‎ 点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．‎ 例4.已知等差数列中，，，则使成立的最大的值为（ ）‎ A. 97 B. 98 C. 99 D. 100‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求出等差数列的通项公式，然后求出，进而求得，解不等式得到的取值范围后再求的最大值．‎ ‎∴．‎ 由，解得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴最大的值为98.‎ 故选B．‎ 例5.【2019届福建省宁德市5月检测】记为数列的前项和，满足，‎ 21‎ ‎，若对任意的恒成立，则实数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据数列{an}求解Sn，利用不等式的性质求解．‎ 详解：由a1=，2an+1+3Sn=3（n∈N*），‎ 则2an+3Sn﹣1=3．‎ 两式相减，可得2an+1﹣2an+3an=0，‎ 即．‎ ‎∵a1=， ∴an==3•2﹣n．‎ 那么Sn==1．‎ ‎∴≤Sn．‎ 点睛：（1）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，意在考查了学生对这些基础知识的掌握能力及推理能力与计算能力．（2）解答本题的一个关键是求的范围，由于Sn=1，所以奇数项都大于1，单调递减，偶数项都小于1，单调递增.所以最大，最小.‎ 例6.设数列的前项和为，它满足条件，数列满足.‎ 21‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列是一个单调递增数列，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) 或.‎ ‎【解析】分析：（1）根据与的关系消去可得，从而得到数列是等比数列，进而可求得数列的通项公式．（2）由条件得，又数列单调递增，故，即对恒成立．然后分和两种情况考虑，分别求出实数的取 又，且，‎ ‎∴数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由条件得，‎ ‎∵数列是单调递增数列，‎ ‎∴恒成立，‎ 即对恒成立．‎ 21‎ ‎①当时，，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∵，且，‎ ‎∴．‎ ‎②当，‎ ‎∴对一切恒成立，‎ ‎∴对恒成立，‎ 由①②可知或．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 点睛：（1）根据与的关系求数列的通项公式时，利用是解题的关键，运用此结论时要注意使用的条件为．‎ ‎（2）由于数列是特殊的函数，因此可从函数的角度认识数列，解题时要注意数列的函数特征，学会利用函数的方法研究数列的有关性质．‎ 例7. 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ 21‎ ‎(2)设，数列的前n项和Sn，求证： ．‎ ‎【答案】(1)an＝3n－1．(2)见解析.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以数列的前n项和 ‎ ‎ 检验当n=1是符合不等式（或指明各项为正越加越大）．‎ 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项消去法”，此类题目是数列问题中的常见题型，解答本题确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“放缩、裂项”之后求和，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等．‎ 例8.已知数列中，.‎ ‎（1）证明：是等比数列；‎ ‎（2）当是奇数时，证明：；‎ 21‎ ‎（3）证明：.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2)见解析.‎ ‎(3)见解析.‎ ‎∴数列是首项为，公比为2的等比数列．‎ ‎ (2)由（1）可知故．‎ 当是奇数时，‎ ‎．‎ ‎(3)由（2）可知，‎ 当为偶数时，，‎ ‎∴‎ 21‎ ‎． ‎ 点睛：（1）证明数列为等比数列时，除了证明或为常数外，还要说明数列的首项不为零，这一点要特别注意．‎ ‎（2）对于数列的通项公式中含有或的情形，往往要分为为偶数和为奇数两种情况分别求解，再看结果能否写成统一的形式，否则要写成分段函数的形式．‎ ‎（3）解题时注意数列中放缩的技巧．‎ 例9.【2016高考天津理数】已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)设，求证：是等差数列；‎ ‎(Ⅱ)设 ，求证：‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ 21‎ ‎） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.‎ 例10. 设数列的前n项和为，已知，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：对任意的正整数n，都有，求数列的最大项．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由得，两式做差得，叠乘可得数列的通项公式； ‎ ‎（2）由递推公式，作差化简可得，由（1）得，得到，作差即可判定数列的单调性，求解数列的最大项．‎ 详解：（1）由得，两式做差得 所以………，叠乘可得 ‎ 21‎ ‎（2），当时…‎ 两式做差，‎ 时，，满足．所以 ‎ 又，所以 ‎ 点睛：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的求和问题，其中解答中正确化简数列的递推关系式，得到数列的通项公式是解答的关键，同时数列的单调性的判定是解答的一个难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．【2019年浙江省高考模拟】在等差数列中，若，且它的前项和有最小值，则当时， 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出， ，由此能求出时， 的最小值．‎ 详解：∵数列是等差数列，它的前项和有最小值 ∴公差，首项， 为递增数列 ‎ 21‎ ‎∵‎ ‎∴， 由等差数列的性质知： ， . ∵‎ ‎∴当时， 的最小值为16．‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查等差数列的前项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题．解答本题的关键是根据， ，确定时， 的最小值.‎ ‎2．【2019届湖南省岳阳市第一中学一模】已知数列满足当时，若数列的前项和为，则满足的的最小值为（ ）‎ A. 59 B. 58 C. 57 D. 60‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意，分别得到各段上数列的通项公式及和的值，进而求得的的范围，即可求解的最小值.‎ 当时，，即，则，所以；‎ 当时，，即，则，所以；‎ 21‎ 当时，，即，则，所以，‎ 则，‎ 设在第到第中，则有项的和为，‎ 令，解得，所以使得时，，‎ 所以的最小值为，故选A.‎ 点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.　‎ ‎3．已知数列的首项，且满足，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.‎ 所以当时，取最小值，选C.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎4．对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列 21‎ 的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 两式作差可得：，‎ 则an=2(n+1),对a1也成立，故an=2(n+1)，‎ 则an−kn=(2−k)n+2，‎ 则数列{an−kn}为等差数列，‎ 故Sn⩽S6对任意的恒成立可化为：‎ a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；‎ 即，解得：.‎ 实数的取值范围为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.‎ ‎5.【2019届浙江省绍兴市5月调测】已知等比数列的前项和，则_______，数列的最大项是第项，则_______.‎ ‎【答案】 19 4‎ ‎【解析】分析：由题意结合等比数列的前n项和特征可得r 21‎ 的值，进一步可得的值，利用比值的方法可求得数列的最大项.‎ 详解：等比数列前n项和公式具有特征：，据此可知：，‎ 则，，.‎ 点睛：本题主要考查数列的单调性，比值法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．【2019年4月2019届高三第二次全国大联考】已知数列的前项和为，数列的前n项和为，=1， ，.若对于任意正整数，都有成立，则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵=1，=,∴当时，=,=,…,‎ ‎=,=,∴当时，=++…++=‎ ‎++…+=，‎ 当时，,∴对于任意正整数，.∴，∴的最大值为.‎ ‎7．在等差数列中，，公差为，为其前项和，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意当且仅当n=8时Sn取得最大值，得到S7