高考数学真题江西卷数学文 11页

绝密★启用前 ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ 文科数学 ‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．‎ 第I卷 考生注意：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．‎ ‎2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．‎ ‎3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发的概率是，那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 ‎ ‎ 其中表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，则为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2．函数的最小正周期为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎3．函数的定义域为 Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎4．若，，则等于 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎5．设，‎ 则的值为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎6．一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎7．连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎8．若，则下列命题正确的是 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎9．四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎10．设在内单调递增，，则是的 Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ‎11‎ ‎．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎12．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点 Ａ．必在圆上 Ｂ．必在圆外 Ｃ．必在圆内 Ｄ．以上三种情形都有可能 第II卷 注意事项：‎ ‎ 第II卷2页，须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试卷题上作答，答案无效．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，正方形的对角线的两端点分别为，，则 ．‎ ‎14．已知等差数列的前项和为，若，则 ．‎ ‎15．已知函数存在反函数，若函数的图象经过点，则函数的图象必经过点 ．‎ ‎16．如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点．有下列四个命题 Ａ．点是的垂心 Ｂ．垂直平面 Ｃ．二面角的正切值为 Ｄ．点到平面的距离为 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知函数满足．‎ ‎（1）求常数的值；‎ ‎（2）解不等式．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗 的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．‎ ‎（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；‎ ‎（2）求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．‎ ‎（1）设点是的中点，证明：平面；‎ ‎（2）求与平面所成的角的大小；‎ ‎（3）求此几何体的体积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设为等比数列，，．‎ ‎（1）求最小的自然数，使；‎ ‎（2）求和：．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．‎ ‎（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；‎ ‎（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ ‎（数学文）参考答案 一、选择题 ‎1．Ｂ　　2．Ｂ　　3．Ａ　　4．Ｄ　　5．Ａ　　6．Ｄ　　7．Ｂ　　8．Ｂ　　9．Ｃ ‎10．Ｃ　　11．Ａ　　12．Ｃ 二、填空题 ‎13．　　14．　　15．　　16．A，B，C 三、解答题 ‎17．解：（1）因为，所以；‎ 由，即，．‎ ‎（2）由（1）得 由得，‎ 当时，解得，‎ 当时，解得，‎ 所以的解集为．‎ ‎18．解：（1）将，代入函数中得，‎ 因为，所以．‎ 由已知，且，得．‎ ‎（2）因为点，是的中点，．‎ 所以点的坐标为．‎ 又因为点在的图象上，且，所以，‎ ‎，从而得或，‎ 即或．‎ ‎19．解：分别记甲、乙两种果树成苗为事件，；分别记甲、乙两种果树苗移栽成活为事件，，，，，．‎ ‎（1）甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 ‎；‎ ‎（2）解法一：分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件，‎ 则，．‎ 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 ‎．‎ 解法二：恰好有一种果树栽培成活的概率为 ‎．‎ ‎20．‎ 解法一：‎ ‎（1）证明：作交于，连．‎ 则，‎ 因为是的中点，‎ 所以．‎ 则是平行四边形，因此有，‎ 平面，且平面 则面．‎ ‎（2）解：如图，过作截面面，分别交，于，，‎ 作于，‎ 因为平面平面，则面．‎ 连结，则就是与面所成的角．‎ 因为，，所以．‎ 与面所成的角为．‎ ‎（3）因为，所以．‎ ‎．‎ ‎．‎ 所求几何体的体积为．‎ 解法二：‎ ‎（1）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，‎ ‎，‎ 易知，是平面的一个法向量．‎ 由且平面知平面．‎ ‎（2）设与面所成的角为．‎ 求得，．‎ 设是平面的一个法向量，则由得，‎ 取得：．‎ 又因为 所以，，则．‎ 所以与面所成的角为．‎ ‎（3）同解法一 ‎21．解：（1）由已知条件得，‎ 因为，所以，使成立的最小自然数．‎ ‎（2）因为，…………①‎ ‎，…………②‎ 得：‎ 所以．‎ ‎22．解：（1）在中，‎ ‎（小于的常数）‎ 故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．‎ 方程为．‎ ‎（2）方法一：在中，设，，，．‎ 假设为等腰直角三角形，则 由②与③得，‎ 则 由⑤得，‎ ‎，‎ 故存在满足题设条件．‎ 方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得 所以，．‎ 则．①‎ 由，可设，‎ 则，．‎ 则．②‎ 由①②得．③‎ 根据双曲线定义可得，．‎ 平方得：．④‎ 由③④消去可解得，‎ 故存在满足题设条件．‎