高考概率与统计初步知识点和高考题配套练习题很全面 20页

专题十：《概率与统计初步》‎ I、考纲 ‎1．统计与统计案例 ‎　（1）随机抽样 ‎　　① 理解随机抽样的必要性和重要性。‎ ‎　　② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。‎ ‎　（2）总体估计 ‎　　① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，了解它们各自的特点。‎ ‎　　② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。‎ ‎　　③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。‎ ‎　　④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。‎ ‎　　⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。‎ ‎　（3）变量的相关性 ‎　　① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。‎ ‎　　② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆线性回归方程系数公式）。‎ ‎（4）统计案例 ‎　　了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。‎ ‎　　①独立性检验 ‎　　了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。‎ ‎　　②假设检验 ‎　　了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用。‎ ‎　　③ 回归分析 ‎　　了解回归的基本思想、方法及其简单应用。‎ ‎2．概率 ‎（1）事件与概率 ‎　　① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。‎ ‎　　② 了解两个互斥事件的概率加法公式。‎ ‎（2）古典概型 ‎　　① 理解古典概型及其概率计算公式。‎ ‎　　② 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。‎ ‎（3）随机数与几何概型 ‎　　①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。‎ ‎　　②了解几何概型的意义。‎ II、高考考情解读 本章知识的高考命题热点有以下两个方面：‎ ‎1.概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查古典概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、茎叶图的求解.‎ ‎2.预计在2014年高考中，概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.‎ II、基础知识和题型 一、随机抽样 ‎1、简单随机抽样：‎ ‎(1)．简单随机抽样的概念：‎ 设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．‎ ‎(2)．最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．‎ ‎2、系统抽样的步骤 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本：‎ ‎(1)先将总体的N个个体编号；‎ ‎(2)确定分段间隔k，对编号进行分段，当是整数时，取k＝；‎ ‎(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)；‎ ‎(4)按照一定的规则抽取样本． 通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k， 再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．‎ ‎【提醒】系统抽样的最大特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样. ‎ ‎ 3、分层抽样 ‎(1)．分层抽样的概念：‎ 在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．‎ ‎(2)．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．‎ ‎(3)．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．‎ ‎4、三种抽样方法的异同点：‎ 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的机会均等 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 系统抽样 将总体均匀分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成 ‎（一）简单随机抽样 ‎1． (2012·宁波月考)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性(　　)‎ A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大 B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小 C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等 D．与第几次抽样无关，与样本容量无关 ‎2. 下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)‎ A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见 D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 ‎3．（2013年高考江西卷（文5））(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 (　　)‎ ‎7816‎ ‎6572‎ ‎0802‎ ‎6314‎ ‎0702‎ ‎4369‎ ‎9728‎ ‎0198‎ ‎3204‎ ‎9234‎ ‎4935‎ ‎8200‎ ‎3623‎ ‎4869‎ ‎6938‎ ‎7481‎ A.08 B．‎07 ‎ C．02 D．01‎ ‎【总结】采用随机数法时，若重复出现或超出范围的要去掉。‎ ‎（二）系统抽样 ‎1．(教材习题改编)在某班的51名学生中，依次抽取学号为5、10、15、20、25、30、35、40、45、50的10名学生进行作业检查，这种抽样方法是(　　)‎ A．随机抽样　　　　 B．分层抽样 C．系统抽样 D．以上都不是 ‎2.为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是 (　　)‎ A．13 B．19 C．20 D．51‎ ‎3.【变式】(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 (　　)‎ A．7　　 B．9 C．10 D．15‎ ‎（三）分层抽样 ‎1. (2012·福建高考)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．‎ ‎【变式】（2013年高考湖南）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___（　　）‎ A．9 B．‎10 ‎C．12 D．13‎ ‎【总结】1、分层抽样就是“按比例抽样”，确定出每一层的个体占总体的比例，也就确定了样本中该层所占的比例.即：抽样比＝＝ 利用这两个比例相等，可以列出方程求解总体容量、样本容量或各层的个体数 ‎2. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为 (　　)‎ A．50 B．60 C．70 D．80‎ ‎【作业】‎ ‎1. 要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取1 000根火腿肠进行“瘦肉精”检测；②从某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况．适合采用的抽样方法依次为(　　)‎ A．①用分层抽样，②用简单随机抽样 B．①用系统抽样，②用简单随机抽样 C．①②都用系统抽样 D．①②都用简单随机抽样 ‎2. 某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．‎ ‎3..(2012·西安模拟)某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校某年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数为16.在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从49～64这16个数中应取的是( )‎ ‎(A)54 (B)55 (C)56 (D)57‎ ‎4.（2010年高考四川卷文科4）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) ‎ ‎（A）12,24,15,9 （B）9,12,12,7 （C）8,15,12,5 （D）8,16,10,6‎ ‎5. 某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：‎ 合唱社 粤曲社 武术社 高一 ‎45‎ ‎30‎ 高二 ‎15‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎ ‎ 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取人，结果合唱社被抽出人，则这三个社团人数共有_______________.‎ 二、用样本估计总体 ‎1、作频率分布直方图的步骤 ‎(1)．求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．‎ ‎(2)．确定组距与组数．‎ ‎(3)．将数据分组．‎ ‎(4)．列频率分布表．‎ ‎(5)．画频率分布直方图．‎ ‎2、频率分布折线图和总体密度曲线 ‎(1)．频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．‎ ‎(2)．总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．‎ ‎3、样本的数字特征 ‎(1)众数、中位数、平均数 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)‎ 把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 ‎(2) 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．‎ 标准差：s＝.‎ ‎4、茎叶图 茎叶图的优点是可以保留原始数据，而且可以随时记录，方便记录与表示．‎ ‎（一）用样本的频率分布估计总体分布 ‎1.(2013四川，文7)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是(　　)．‎ ‎2.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为________．‎ ‎4. (2012·广东高考改编)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3) 求样本数据的众数、中位数 ‎（二）茎叶图的应用 与 样本的数字特征 ‎1. (2012·淮北模考)如图所示的茎叶图记录了一组数据，关于这组数据，其中说法正确的序号是________.‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎①众数是9；②平均数是10；③中位数是9或10；④标准差是3.4.‎ ‎2.（2013年高考山东卷（文10））将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以表示:‎ 则7个剩余分数的方差为（　　）‎ A． B． C．36 D．‎ ‎【变式】 (2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：‎ 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定的那位运动员成绩的方差为________．‎ ‎【注意】：由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小 ‎【作业】‎ ‎1 ．（2013年高考陕西卷（文5））对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图是检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 （　　）‎ A．0.09 B．‎0.20 ‎C．0.25 D．0.45‎ ‎【变式】(2013·湖北)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．‎ ‎(1)直方图中x的值为 __________；‎ ‎(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．‎ ‎2.(2012·陕西高考)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　)‎ A．46,45,56‎ B．46,45,53‎ C．47,45,56‎ D．45,47,53‎ ‎3.（2013年上海6）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________.‎ ‎4.某样本数据的茎叶图如图所示，若该组数据的中位数为85，平均数为85.5，则x＋y＝ (　　)‎ A．12　　　　　 B．13　　　　　C．14 D．15‎ ‎5. (2012·湖南高考)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．‎ 三、变量间的相互关系、统计案例 ‎1、变量间的相关关系 ‎(1)．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．‎ ‎(2)．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．‎ ‎2、两个变量的线性相关 ‎(1)．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．‎ ‎(2)．回归方程为＝x＋，其中＝，＝－.‎ ‎(3)．通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．‎ ‎(4)．相关系数＝，‎ 当r＞0时，表明两个变量正相关；‎ 当r＜0时，表明两个变量负相关．‎ r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．‎ ‎3、独立性检验 ‎(1)．2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：‎ y1‎ y2‎ 合计 x1‎ a b a＋b x2‎ c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．‎ ‎(2)．用K2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，若K2值较大，就拒绝H0，即拒绝事件A与B无关．‎ ‎(3)．当K2＞3.841时，则有95%的把握说事件A与B有关；‎ 当K2＞6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关；‎ 当K2＞2.706时，则有90%的把握说事件A与B有关．‎ ‎（一）相关关系的判断 ‎1．(教材习题改编)观察下列各图形 其中两个变量x、y具有相关关系的图是(　　)‎ A．①②　　　　　　　　　 B．①④‎ C．③④ D．②③‎ ‎【小结】：‎ ‎（1）．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断．‎ ‎（2）．对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性．‎ ‎（3）．由相关系数r判断时|r|越趋近于1相关性越强．‎ ‎【变式1】 (2012·新课标全国卷)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)‎ A．－1　　　　　 B．0　　　　　 C. D．1‎ ‎【变式2】（2013年高考湖北卷（文））四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎① y与x负相关且； ② y与x负相关且； ‎ ‎③ y与x正相关且； ④ y与x正相关且.‎ 其中一定不正确的结论的序号是 A．①② B．②③ C．③④ D． ①④‎ ‎（二）回归方程的求法及回归分析 ‎1. 已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y m ‎3‎ ‎5.5‎ ‎7‎ 已求得关于y与x的线性回归方程＝2.1x＋0.85，则m的值为(　　)‎ A．1 B．0.85‎ C．0.7 D．0.5‎ ‎2.(2013·重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.‎ ‎(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；‎ ‎(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；‎ ‎(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．‎ ‎3.（2013年高考福建卷（文11））已知与之间的几组数据如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，)‎ C．若该大学某女生身高增加‎1 cm，则其体重约增加‎0.85 kg D．若该大学某女生身高为‎170 cm，则可断定其体重必为‎58.79 kg ‎（三）独立性检验 ‎1．（2011年高考湖南卷文科5)通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 附表：‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ A． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎2．某市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.‎ 优秀 非优秀 合计 甲班 ‎10‎ 乙班 ‎30‎ 合计 ‎110‎ ‎(1)请完成上面的列联表；‎ ‎(2)根据列表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”．‎ 参考公式与临界值表：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【作业】‎ ‎1. (教材习题改编)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为＝－3＋bx，‎ 若i＝17，i＝4，则b的值为(　　)‎ A．2 B．1 C．－2 D．－1‎ ‎2. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图.‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=bx+a.‎ ‎(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?‎ ‎(参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)‎ ‎3. (2012·辽宁)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：‎ 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．‎ ‎(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．‎ 附：‎ P(K2≥k)‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ 四、随机事件的概率 ‎1、事件 ‎(1)．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．‎ ‎(2)．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．‎ ‎(3)．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．‎ ‎2、概率和频率 ‎(1)．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．‎ ‎(2)．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．‎ ‎(3)．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．‎ ‎3、事件的关系与运算 文字表示 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B(或A＋B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 ‎4、概率的几个基本性质 ‎(1)．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)．必然事件的概率P(E)＝1.‎ ‎(3)．不可能事件的概率P(F)＝0.‎ ‎(4)．概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎(5)．对立事件的概率：‎ 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．‎ ‎（一）随机事件的频率与概率 ‎1．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：‎ 抽取件数n ‎50‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ ‎800‎ 次品件数m ‎0‎ ‎2‎ ‎12‎ ‎27‎ ‎27‎ ‎35‎ ‎40‎ 次品率 ‎(1)求次品出现的频率．‎ ‎(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)．‎ ‎(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？‎ ‎2．（2013四川）某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生.‎ ‎(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率;‎ ‎(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行次后,统计记录了输出的值为的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 当时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.‎ ‎（二）互斥事件与对立事件的概率 ‎1．(2012·兰州月考)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　)‎ A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 ‎【总结】：要判断两事件是互斥而不对立的事件：只需判断交事件为不可能事件，和事件为必然事件。‎ ‎2.(2011·‎ 湖南高考)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关.据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.‎ ‎(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎ 1/20‎ ‎ ‎ ‎ 4/20‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 2/20‎ ‎(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率.‎ ‎3．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？‎ 五、古典概型 ‎1、基本事件的特点 ‎（1）．任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎（2）．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2、古典概型的两个特点 ‎（1）．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．‎ ‎（2）．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．‎ ‎[提示]　确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性．‎ ‎3、古典概型的概率公式:P(A)＝.‎ ‎（一）题型一、简单的古典概型 ‎1．(2013·山东)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．‎ ‎【变式1】(2012·安徽)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C. D. ‎【变式2】在变式1条件下，则两球不同色的概率为______‎ ‎2、任意抛掷三枚硬币,恰有两枚硬币正面向上的概率是( )‎ Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、‎ ‎【变式】同时掷两颗筛子，向上点数之和为7的概率为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎（二）有放回与无放回 ‎3. 三件产品中含有两件正品a，b和一件次品c. 每次任取一件,‎ ‎(1)每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.‎ ‎(2)每次取出后放回,求取出的两件产品恰有一件次品的概率.‎ ‎(3)一次性抽取两件产品,求取出的两件产品恰有一件次品的概率. ‎ ‎（三）古典概型与其它知识交汇 ‎4．（与向量结合）（2013江西）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.‎ ‎(1) 写出数量积X的所有可能取值 ‎(2) 分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率 ‎5．(古典概型与分层抽样结合)（2013陕西）有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ ‎ (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. ‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎6‎ ‎ (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. ‎ 六、几何概型 ‎1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．‎ ‎2．几何概型的概率公式 P(A)＝.‎ ‎（一）与长度、角度有关的几何概型 ‎1. 在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内作一条射线CD 与线段AB交于点D，则AD