高考南通市数学学科基地密卷 14页

‎2018年高考模拟试卷（4）‎ 南通市数学学科基地命题 ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．‎ S←1‎ I←1‎ While I7‎ ‎ S←S＋3‎ ‎ I←I＋2‎ End While Print S ‎1．设复数满足（为虚数单位），则复数 ▲ ．‎ ‎2．已知集合，，则共有 ▲ 个子集．‎ ‎3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ▲ ．‎ ‎4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组 数据的频数为25，则样本容量为 ▲ ．‎ ‎5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为 x y y0 ‎ -y0 ‎ O ‎（第7题）‎ ‎，则双曲线的方程为 ▲ ．‎ ‎6．函数的定义域为 ▲ ．‎ ‎7．若函数的部分图象如图所示，‎ 则的值为 ▲ ．‎ ‎8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ▲ ．‎ ‎9．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，‎ 三棱锥的体积为，则 ▲ ．‎ ‎10．设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 ▲ ．‎ ‎11．已知数列中，，，．若是等比数列，则 ▲ ．‎ ‎12．已知，，若，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，动圆（其中）截 轴所得的弦长恒为．若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的 最大值为 ▲ ．‎ ‎14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．已知向量，，函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ ‎16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，， 交 于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且．‎ ‎(第16题图)‎ O ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求证：．‎ ‎17．如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形．其中为圆的直径，,,在圆上，， ,在上，且 ‎,．‎ ‎ （1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式；‎ ‎（第17题）‎ ‎ （2）多边形面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知分别为椭圆（）的左、右 焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且．‎ ‎（第18题）‎ x y B M O F2‎ F1‎ A 若，求直线的斜率．‎ ‎19．已知函数，其中，e是自然对数的底数．‎ ‎（1）若，求函数的单调增区间；‎ ‎（2）若函数为上的单调增函数，求的值；‎ ‎（3）当时，函数有两个不同的零点，求证：．‎ ‎20．已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合 记为．‎ ‎ （1）若数列通项公式为，求证：；‎ ‎ （2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；‎ ‎（3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在 无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．‎ ‎2018年高考模拟试卷（4）‎ 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．‎ A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．‎ 若DA = DC， ‎ 求证：AB = 2BC．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ B．[选修4-2：矩阵与变换] （本小题满分10分）‎ 已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量．‎ ‎（1）求矩阵的另一个特征值；‎ ‎（2）求矩阵的逆矩阵．‎ C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数．以原点O为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ 求直线被曲线所截得的弦长．‎ D．[选修4-5：不等式选讲] （本小题满分10分）‎ 已知实数x，y，z满足x + y + z = 2，求的最小值．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学 期望．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 在各项均不相同的数列，，，…，中，任取,且项变动位 置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值；‎ ‎（3）设，求证：．‎ ‎2018年高考模拟试卷（4）参考答案 数学Ⅰ 一、填空题：‎ ‎1．【解析】．‎ ‎2．【解析】由条件得，所以的子集有个．‎ ‎3．【解析】由题意可知．‎ ‎4．150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为．‎ ‎5．【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以，所以双曲线的方程为 ‎6．【解析】由已知得，，所以 ‎7．4【解析】由图知函数的周期为，所以．‎ ‎8．【解析】从张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为．‎ ‎9．【解析】因为，，‎ 所以．‎ ‎10．【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是 的中点，所以，所以，所以．‎ ‎11．3049 【解析】，所以 ‎，所以．‎ ‎12．【解析】因为，，，所以．‎ 令，，， 则，‎ 所以，当且仅当时取等号．‎ 所以的最小值为．‎ ‎13．【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得，，所以，即点在圆，所以点到直线距离的最大值为．‎ ‎14． 【解析】，题意即为在上恒成立，即．由于，且，则．‎ 当时，恒成立，符合；‎ 当时，，所以在上单调递增，不符合；‎ 当时，，所以在上单调递减，‎ 此时，‎ 即．‎ 令（），不等式即为，‎ 由于，所以在上单调递增，‎ 而当时，，所以恒成立．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ ‎15．解：（1），，‎ ‎ …… 2分 ‎， …… 4分 所以函数的最小正周期为． …… 6分 ‎（2），，且，‎ ‎， …… 8分 ‎ ‎ ‎，‎ ‎， …… 10分 ‎， …… 12分 ‎，‎ ‎． …… 14分 ‎(第16题图)‎ ‎16．证明：（1）如图，连接， ‎ 因为，，‎ 所， ………2分 又，‎ 所以， …………4分 又平面， 平面，‎ 所以平面. ……… 6分 ‎（2）在平面内过作于，‎ 因为侧面底面，平面平面，‎ 平面，所以平面， …………………8分 又平面，所以， …………………10分 因为是锐角三角形，所以与不重合，‎ 即和是平面内的两条相交直线，‎ 又，所以平面， …………………12分 又平面，所以． …………………14分 ‎17．解：连接，‎ ‎，，，‎ ‎，， ………2分 ‎（1）在中，，，‎ ‎，，‎ ‎， ………4分 ‎，． ………8分 ‎（2）令，，‎ 则，且， ………10分 ‎，， ………12分 当，即时，，‎ 即多边形面积的最大值为平方米． ………14分 ‎18．解：（1）因为椭圆经过点和点，‎ 所以 …… 2分 解得， 所以椭圆的方程为． …… 6分 ‎（2）解法一：由（1）可得，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为．‎ 由方程组 消去，整理得，‎ 解得或，所以点坐标为． …… 8分 由知，点在的中垂线上，‎ 又在直线上，所以点坐标为． …… 10分 所以，．‎ 若，则． …… 14分 解得，所以，即直线的斜率． …… 16分 解法二：由（1）可得，‎ 设（），则 ①， …… 8分 直线， ‎ 由知，点在的中垂线上，‎ 又在直线上，所以点坐标为． …… 10分 所以，，‎ 若，则，‎ 所以 ②， …… 12分 由①②可得，即，‎ 所以或(舍)，．‎ 所以，即直线的斜率． …… 16分 ‎19．解：（1）当a=0时，，，‎ 令，得，所以的单调增区间为． …… 3分 ‎（2），因为函数为上的单调增函数，‎ 所以0在上恒成立． …… 5分 当时，，0显然成立；‎ 当时，恒成立，则恒成立，此时； ‎ 当时，恒成立，则恒成立，此时．‎ 综上，． …… 8分 ‎（3）不妨设，当时，，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 因为，所以，，，…… 10分 在上单调递减，所以要证，即证，‎ 即证，又因为，所以即证（*）．12分 记，，‎ ‎，所以在上恒成立，‎ 所以函数在上为增函数，‎ 又因为，，所以，‎ 即，（*）式得证．所以，命题成立． …… 16分 ‎20．解:（1）因为，所以， …… 2分 所以，‎ 所以，即． …… 4分 ‎（2）设的公差为，‎ 因为，所以（*），‎ 特别的当时，，即， …… 6分 由（*）得，‎ 整理得，‎ 因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得， ‎ 又，所以， …… 8分 于是，即，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 因此的取值范围是． …… 10分 ‎（3）由得，所以，即，‎ 所以，从而有， ‎ 又，所以，即，‎ 又，，‎ 所以有，所以， …… 12分 假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，‎ 不妨设该等差数列的第项为(为常数)，‎ 则存在，，使得，‎ 即， …… 14分 设， ‎ 则，即，‎ 于是当时，，‎ 从而有：当时，即，‎ 于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，‎ 因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列． …… 16分 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．A．证明：连接OD ‎ 因为DC为切线且点D为切点，所以 ‎ 因为OA=OD ‎ 所以 ‎ 又因为AD=DC ‎ 所以 ‎ 故 ‎ 所以BC=OD=R ‎ 从而AB=2BC ……………10分 B．解：（1）由条件得，，‎ ‎，解得 ………2分 因为矩阵，‎ 所以特征多项式为 ‎， ………4分 令，解得．‎ 所以矩阵的另一个特征值为． ………5分 ‎（2）因为， ………7分 ‎ 所以． ………10分 C．解：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：‎ ‎，即， ………2分 曲线表示的是圆心，半径为的圆． ………4分 直线的参数方程为参数化为普通方程 为， ………6分 圆心到直线的距离为， ………8分 直线被曲线所截得的弦长为． ………10分 ‎（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）‎ D．证明：由柯西不等式可知 ‎ ‎ ‎ 所以 ，‎ 当且仅当时取等号． ………10分 ‎22．解：（1）由已知有，所以事件A的发生的概率为．…3分 ‎（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2． ………4分 ‎；；‎ ‎ ． ………6分 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………8分 数学期望． 　　　　　　　　 ………10分 ‎23．解：（1）． ………2分 ‎（2）． ………4分 ‎（3）证明：，， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎． ………10分