高考真题——理科数学湖南卷 7页

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷 数学（理科） 一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给也的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 2．某学校有男、女学生各 500 名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存 在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（ ） （A）抽签法 （B）随机数法 （C）系统抽样法 （D）分层抽样法 3．锐角 中，角 所对边长分别为 ，若 ，则角 等于（ ） （A） （B） （C） （D） 4．若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） （A） （B）0 （C） （D） 5．函数 的图像与函数 的图像的交点个数为（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 6．已知 是单位向量， 。若 满足 ，则 的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的 面积不可能等于（ ） （A）1 （B） （C） （D） 8．在等腰三角形 中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 发射后又回到原点 （如图 ）。若光线 经过 的中心，则 等（ ） （A）2 （B）1 （C） （D） 二．填空题（本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分） （一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） ( )1z i i= + i ABC∆ ,A B ,a b 2 sin 3a B b= A 12 π 6 π 4 π 3 π ,x y 2 1 1 y x x y y ≤  + ≤  ≥ − 2x y+ 5 2 − 5 3 5 2 ( ) 2lnf x x= ( ) 2 4 5g x x x= − + ,a b  0a b⋅ =  c | | 1c a b− − =   | |c 2 1, 2+1 −  2 1, 2+2 −  1, 2+1   1, 2+2   2 2 1 2 − 2 1 2 + ABC = 4AB AC = ， P AB ,A B P ,BC CA P 1 QR ABC∆ AP 8 3 4 3 9．在平面直角坐标系 中，若 （ 为参数）过椭圆 （ 为参数）的右顶点，则常数 __________。 10．已知 ， ，则 的最小 值为__________。 11．如图 2，在半径为 的 中，弦 相交于点 ， ， ，则圆心 到弦 的距离为 。 （二）必做题（12-16 题） 12．若 ，则常数 的值为__________。 13．执行如图 3 所示的程序框图，如果输入 ，则 输出的 的值为__________。 14．设 是双曲线 的两个 焦点， 是 上一点，若 ，且 的 最小内角为 ，则 的离心率为__________。 15．设 为数列 的前 项和， ，则⑴ _______；⑵ ___________。 16．设函数 ，⑴记集合 不能构成一个三角形的三条边长，且 ，则 所对应的 的零点的取值 集合为__________；⑵若 是 的三条边长，则下列结论正确的是_________（写 出所有正确结论的序号）：① ；② ，使 不能构成一 个三角形的三条边长；③若 为钝角三角形，则 ，使 。 三．解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分 12 分）已知 ， 。 ⑴若 是第一象限角，且 ，求 的值；⑵求使 成立的 的取值集合。 xOy : x tl y t a =  = − t 3cos: 2sin xC y ϕ ϕ =  = ϕ a = , ,a b c R∈ 2 3 6a b c+ + = 2 2 24 9a b c+ + 7 O ,AB CD P 2PA PB= = 1PD = O CD 2 0 9T x dx =∫ T 1, 2a b= = a 1 2,F F ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > P C 1 2| | | | 6PF PF a+ = 1 2PF F∆ 030 C nS { }na n ( ) ( )11 2 n n n nS a n N += − − ∈ 3a = 1 2 100S S S+ +⋅⋅⋅+ = ( ) ( )0, 0x x xf x a b c c a c b= + − > > > > ( ){ , , | , ,M a b c a b c= }a b= ( ), ,a b c M∈ ( )f x , ,a b c ABC∆ ( ) ( ),1 , 0x f x∀ ∈ −∞ > x R∃ ∈ , ,x x xa b c ABC∆ ( )1,2x∃ ∈ ( ) 0f x = ( ) sin cos6 3f x x x π π   = − + −       ( ) 22sin 2 xg x = α ( ) 3 3 5f α = ( )g α ( ) ( )f x g x≥ x 图 2 P D C BA O 18．（本小题满分 12 分）某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的 顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一 株该种作物的年收获量 （单位： ）与它的“相近”作物株数 之间的关系如右表所示。这里，两株作物“相近”是指它们之间 的直线距离不超过 1 米。⑴从三角形地块的内部和边界上分别随 机选取一株作物，求它们恰好 “相近”的概率；⑵从所种作物 中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。 19．（本小题满分 12 分）在直棱柱 中 （如图 5）， ， ， ， ， 。⑴证明: ；⑵求直线 与平面 所成角的正弦值。 20．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 中，将 从点 出发沿纵、横方向到达点 的任一路径成为 到 的一条“ 路径”。如图 6 所示的路径 与路 径 都是 到 的一条“ 路径”。某地有三个新建的 居民区，分别位于平面 内三点 ， ， 处。现计划在 轴上方区域（包含 轴）内的某 一点 处修建一个文化中心。⑴写出点 到居民区 的“ 路径”长度最小值的表达式 （不要求证明)；⑵若以原点 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“ 路径”不能进 入保护区，请确定点 的位置，使其到三个居民区的“ 路径”长度值和最小。 21．（本小题满分 13 分）过抛物线 焦点 作斜率分别为 的两 条不同直线 ，且 ， 相交于点 ， 相交于点 。以 为直径的圆 、圆 （ 、 为圆心）的公共弦所在的直线记为 。⑴若 ，证明： ；⑵若点 到直线 的距离的最小值为 ， 求抛物线 的方程。 22．（本小题满分 13 分）已知 ，函数 。⑴记 在 上的 最大值为 ，求 的表达式；⑵是否存在 ，使函数 在 内的图像上 存在两点，在该两点处的切线相互垂直?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。 ( )f x 1 2 3 4 51 48 45 42 Y kg X 1 1 1 1ABCD A B C D− //AD BC 090BAD∠ = AC BD⊥ 1BC = 1 3AD AA= = 1AC B D⊥ 1 1B C 1ACD xOy M N M N L 1 2 3MM M M N 1MN N M N L xOy ( )3,20A ( )10,0B − ( )14,0C x x P P A L O L P L ( )2: 2 0E x py p= > F 1 2,k k 1 2,l l 1 2 2k k+ = 1l E与 ,A B 2l E与 ,C D ,AB CD M N M N l 1 20, 0k k> > 22FM FN P⋅ <  M l 7 5 5 E 0a > ( ) | |2 x af x a a −= + [ ]0,4 ( )g a ( )g a a ( )y f x= ( )0,4 a X Y 图5 D1 C1B1 B A D A1 C 2013 年普通高校招生全国统考数学试卷（湖南卷）解答 一．BDDCB ACD 二．9．3；10．12；11． ；12．3；13．9；14． ；15．⑴ ，⑵ ； 16．⑴ ，⑵①②③ 17 ． 解 ： 由 题 ， 。 ⑴由 得 ，又 ，故 。从而 ； ⑵由 ，故集合为 。 18．解：⑴所种作物的总株数 ，其中三角形内部的株数为 3，　 边界上的作物株数为 12 。从三角形内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 种。故从三角形地 块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好 “相近” 的概率为 ； ⑵ 记 为 与 其 “ 相 近 ” 作 物 恰 有 株 的 作 物 株 数 ， 则 ， ， ， 。 由 得 ， ； ， 。故所求分布列如右表所示， 期望 。 19．解：⑴如图，因为 平面 ， 平面 ，所以 。又 51 48 45 42 3 2 3 1 16 − 501 1 1 3 4 3  ⋅ −   ( ]0,1 ( ) 3 1 1 3sin cos cos sin 3sin2 2 2 2f x x x x x x= − + + = ( ) 1 cosg x x= − ( ) 3 33sin 5f α α= = 3sin 5 α = 0, 2 πα  ∈   4cos 5 α = ( ) 11 cos 5g α α= − = ( ) ( ) 3 1 13sin 1 cos sin cos sin2 2 6 2f x g x x x x x x π ≥ ⇒ ≥ − ⇒ + = + ≥ ⇒   5 22 ,2 2 ,26 6 6 3x k k x k k π π π ππ π π π   + ∈ + + ⇒ ∈ +       ( )22 ,2 3k k k Z ππ π + ∈   1 2 3 4 5 15N = + + + + = 3 12 36× = 3 3 2 8+ + = 8 2 36 9P = = kn ( )1,2,3,4k k = 1 2n = 2 4n = 3 6n = 4 3n = ( ) knP X k N = = ( ) ( ) 251 1 15P Y P X= = = = ( )48P Y = = ( ) 42 15P X = = ( ) ( ) 6 245 3 15 5P Y P X= = = = = ( ) ( ) 3 142 4 15 5P Y P X= = = = = ( ) 2 4 2 151 48 45 42 4615 15 5 5E Y = × + × + × + × = 1BB ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD 1AC BB⊥ Y P 15 2 15 4 5 2 5 1 ， ，所以 平面 。而 平面 ，故 ； ⑵因 ，故直线 与平面 所成角等于 直线 与平面 所成角（记为 ）。连结 ，因棱柱 是直棱柱，且 ，故 平面 ，从而 。又 ， 故四边形 为正方形，于是 ，知 平面 ，于是 。 由⑴可知 ，故 平面 ，知 。在直角梯形 中，因为 ，所以 ，从而 ，故 ，即 ，从而易得 ，即 。连 ，在 中， ，得 。即直线 所成角的正弦值为 。 20．解：设 。⑴记点 到点 的“ 路径”的最短距离为 ，则易得 ； ⑵由题点 到三外居民区的“ 路径”长度之和的最小值为点 分别到三个居民区的 “ 路径”长度最小值之和（记为 ）的最小值。①当 时， 。因 ，当 且仅当 时取等号。又 ，当且仅当 时取等号。所以 ，当且仅当 时取等号。类似可得 ，当且仅当 时取等号。故当点 位于 时， 到三个居民区的“ 路径”长度之和最小，且 最小值为 45；②当 时，由于“ 路径”不能进入保护区，故 ，　由①知， ， ，故 。综上所述， 在点 处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“ 路径”长度之和最小。 21．解：⑴由题 ，设 ， ， ， ， ， 。又 ，与 的方程联立得 ， 故 ， ，从而 ， ，因此 。同理 ， ，知 ， AC BD⊥ 1BD BB B= AC ⊥ 1BB D 1B D ⊂ 1BB D 1AC B D⊥ 1 1 //B C AD 1 1B C 1ACD AD 1ACD θ 1A D 1 1 1 1ABCD A B C D− 0 1 1 1 90B A D BAD∠ = ∠ = 1 1A B ⊥ 1 1ADD A 1 1 1A B AD⊥ 1 3AD AA= = 1 1ADD A 1 1A D AD⊥ 1AD ⊥ 1 1A B D 1 1AD B D⊥ 1AC B D⊥ 1B D ⊥ 1ACD 0 1 90ADB θ∠ = － ABCD AC BD⊥ BAC ADB∠ = ∠ Rt ABC Rt DAB∆ ∆ AB BC DA AB = 3AB DA BC= ⋅ = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 21B D BB BD BB AB AD= + = + + = 1 21B D = 1AB 1Rt AB D∆ ( )0 1 1 3 21cos cos 90721 ADADB B D θ∠ = = = = − sin 21 7θ = 1 1 1B C ACD与平面 21 7 ( )( ), 0P x y y ≥ P A L d ( )| 3| | 20 | 0,d x y y x R= − + − ≥ ∈ P L P L D 1y ≥ | 10 | | 14 |D x x= + + − + | 3| 2 | | | 20 |x y y− + + − ( )1 | 10 | | 14 | | 3| | 10 | | 14 |d x x x x x x= + + − + − ≥ + + − 3x = | 10 | | 14 | 24x x+ + − ≥ [ ]10, 14x∈ − ( )1 24d x ≥ 3x = ( )2 2 | 20 | 21d y y y= + − ≥ 1y = P ( )3,1 P L 1y0 <≤ L | 10 | | 14 |D x x= + + − + | 3| 1 |1 | | | | 20 |x y y y− + + − + + − ( )1 | 10 | | 14 | | 3| 24d x x x x= + + − + − ≥ ( )2 1 |1 | | | | 20 | 22 21d y y y y y= + − + + − = − > ( ) ( )1 2 45D d x d y= + > ( )3,1P L ( )0, 2F p ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y ( )4 4,D x y ( )12 12,M x y ( )34 34,N x y 1 1 2 pl y k x= +： E 2 2 12 0x pk x p− − = 1 2 12x x k p+ = 2 1 2x x p⋅ = − 1 2 12 12 x xx k p += = 2 12 1 2 py k p= + ( )2 1 1,FM k p k p= − 3 4 34 22 x xx k p += = 2 34 2 2 py k p= + ( )2 2 2,FN k p k p= − D1 C1B1 B A D A1 C 因此 。因为 ，所以 ，得 ，故 ，得证。 ⑵设圆 半径分别为 ，则 ，同理可得 。因 ， ， 故直线 ： ，即 ，化简得 。故 到 的距离 ，故 ，从而抛物线 的方程为 。 22．解：⑴当 时， ；当 时， 。故 时 ， ， 在 单 减 ； 时 ， ， 在 单调递增。①若 ，则 在 单调递 减， ；② 若 ，则 在 单减，在 单增。所以 。而 ，故当 时， ； 当 时 ， 。 综 上 所 述 ， ； ⑵由⑴知，若 ，则 在 单减，故不满足要求。若 ，则 在 单减，在 单增，若存在 ，使 在 ， 两点处的切线互相垂直，则 ， ，且 　即 ，亦即 （*）。由 ， 得　 ， ，故（*）成立等 ( )2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1FM FN k k p k k p p k k k k⋅ = + = +  1 2 1 20, 0,k k k k> > ≠ 1 2 1 22 2k k k k= + > 1 2 1k k < ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2FM FN p k k k k p p⋅ = + < ⋅ ⋅ + =  ,M N 1 2,r r 2 1 1 2 1 1 2 2 2 p pr y y k p p     = + + + = +         2 2 2r k p p= + ( ) ( )2 2 2 12 12 1:M x x y y r− + − = ( ) ( )2 2 2 34 34 2:N x x y y r− + − = l ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 34 12 34 12 12 34 12 34 1 22 2 0x x x y y y x x y y r r− + − + − + − − + = ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 22 2 2 2 p pp k k x p k k y p k k k p k p k p p   − + − − − + + − + + + −       ( )22 1 0k p p+ = 2 0x y+ = M l 2 12 12 1 1| 2 | | 2 1| 5 5 x y k kd p + + += = ⋅ ≥ 21 12 1 7 74 4 555 8 5 pp    − + − +      ⋅ = = 8p = E 2 16x y= 0 x a≤ ≤ ( ) 2 a xf x x a −= + x a> ( ) 2 x af x x a −= + ( )0,x a∈ ( ) ( )2 3' 0 2 af x x a −= < + ( )f x ( )0,a ( ),x a∈ +∞ ( ) ( )2 3' 0 2 af x x a = > + ( )f x ( ),a +∞ 4a ≥ ( )f x [ ]0,4 ( ) ( ) 10 2g a f= = 0 4a< < ( )f x [ ]0,a ( ),4a ( ) ( ) ( ){ }max 0 , 4g a f f= ( ) ( ) 1 4 10 4 2 4 2 2 a af f a a − −− = − =+ + 0 1a< ≤ ( ) ( ) 44 4 2 ag a f a −= = + 1a > ( ) ( ) 10 2g a f= = ( ) ( ) ( ) 4 0 14 2 1 2 1 a aag a a − < ≤ +=   > 4a ≥ ( )f x [ ]0,4 0 4a< < ( )f x [ ]0,a ( ),4a ( )( )1 2 1 2, 0,4x x x x∈ < ( )y f x= ( )( )1 1,x f x ( )( )2 2,x f x ( )1 0,x a∈ ( )2 ,4x a∈ ( ) ( )1 2' ' 1f x f x⋅ = − ( ) ( )2 2 1 2 3 3 1 2 2 a a x a x a − ⋅ = − + + 1 2 32 2 ax a x a + = + ( )1 0,x a∈ ( )2 ,4x a∈ ( )1 2 2 , 3x a a a+ ∈ 2 3 3 , 12 4 2 a a x a a  ∈ + +  价于 与 的交集非空。因为 ，所以 当且仅当 ，即 时， 。综上所述，存在 使函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直，且 的取值范围是 。 { }| 2 3A x a x a= < < 3| 14 2 aB x xa  = < < +  3 34 2 a aa <+ 0 2 1a< < 0 1 2a< < A B ≠ ∅ a ( )y f x= ( )0,4 a ( )0,1 2