高考数学第四章平面向量与复数第4课时复数更多资料关注微博高中学习资料库 7页

‎《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章　平面向量与复数第4课时　复数 考情分析 考点新知 ‎① 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件.‎ ‎　　能准确用复数的四则运算法则进行复数加减乘除的运算.‎ ‎②理解复数代数形式的四则运算法则，能进行复数代数形式的四则运算．‎ ‎1. (课本改编题)复数z＝＋i的共轭复数为________．‎ 答案：－i 解析：∵ z＝＋i，∴ z －＝－i.‎ ‎2. (课本改编题)已知z＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a＝________．‎ 答案：1‎ 解析：z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵ z在复平面内对应的点在实轴上，∴ a－1＝0，从而a＝1.‎ ‎3. (课本改编题)已知i是虚数单位，则＝________．‎ 答案：－＋i 解析：＝＝＝－＋i.‎ ‎4. (课本改编题)设(1＋2i)＝3－4i(i为虚数单位)，则|z|＝________．‎ 答案： 解析：由已知，|(1＋2i)z －|＝|3－4i|，‎ 即|z －|＝5，∴ |z|＝|z －|＝.‎ ‎5. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D对应的复数为________．‎ 答案：5－3i 解析：对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i， 对应复数为zD－(3＋3i)，平行四边形ABCD中，＝，则zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i.‎ ‎1. 复数的概念 ‎(1) 虚数单位i: i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．‎ ‎(2) 代数形式：a＋bi(a，b∈R)，其中a叫实部，b叫虚部．‎ ‎2. 复数的分类 复数z＝a＋bi(a、b∈R)中，‎ z是实数b＝0，z是虚数b≠0，‎ z是纯虚数a＝0，b≠0．‎ ‎3. a＋bi与a－bi(a，b∈R)互为共轭复数．‎ ‎4. 复数相等的条件 a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈R) a＝c且b＝d.‎ 特殊的，a＋bi＝0(a、b∈R) a＝0且b＝0.‎ ‎5. 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z在复平面内对应点为Z，则的长度叫做复数z的模(或绝对值)，即|z|＝||＝.‎ ‎6. 运算法则 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈R)．‎ ‎(1) z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；‎ ‎(2) z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(3) ＝＋i.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　复数的概念 例1　已知复数z＝＋(m2－‎5m－6)i(m∈R)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：‎ ‎(1) 实数；‎ ‎(2) 虚数；‎ ‎(3) 纯虚数．‎ 解：(1) 当z为实数时，‎ 则有　所以 所以m＝6，即m＝6时，z为实数．‎ ‎(2) 当z为虚数时，则有m2－‎5m－6≠0且有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1.∴ m≠±1且m≠6.所以当m∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．‎ ‎(3) 当z为纯虚数时，则有 所以故不存在实数m使z为纯虚数．‎ 已知m∈R，复数z＝＋(m2＋‎2m－3)i，当m为何值时．‎ ‎(1) z∈R；‎ ‎(2) z是虚数；‎ ‎(3) z是纯虚数．‎ 解：(1) 由z∈R，得解得m＝－3.‎ ‎(2) 由z是虚数，得m2＋‎2m－3≠0，且m－1≠0，‎ 解得m≠1且m≠－3.‎ ‎(3) 由z是纯虚数，得 解得m＝0或m＝－2.‎ 题型2　复数相等的条件 例2　若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，求点P(a，b)到原点的距离．‎ 解：由已知ai＋2＝b－i，∴ ‎∴点P(－1，2)到原点距离|OP|＝.‎ 设复数＝a＋bi(a、b∈R)，则a＋b＝________．‎ 答案：1‎ 解析：由＝－＝＝i，得a＝0，b＝1，所以a＋b＝1.‎ 题型3　复数代数形式的运算 例3　已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，‎ 求z2.‎ 解：(z1－2)(1＋i)＝1－iz1＝2－i.‎ 设z2＝a＋2i，a∈R，‎ 则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(‎2a＋2)＋(4－a)i.‎ ‎∵ z1·z2∈R，∴ a＝4.∴ z2＝4＋2i.‎ 设i是虚数单位，若z＝＋ai是实数，则实数a＝________．‎ 答案： 解析：z＝＋ai＝＋ai＝＋i∈R，所以a－＝0，a＝.‎ 题型4　复数的几何意义 例4　已知O为坐标原点，向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(‎2a－5)i(a∈R)，若1＋z2是实数．‎ ‎(1) 求实数a的值；‎ ‎(2) 求以，为邻边的平行四边形的面积．‎ 解：(1) ∵ 1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(‎2a－5)i＝＋(a2＋‎2a－15)i是实数，∴ a2＋‎2a－15＝0.‎ ‎∴ a＝3，a＝－5(舍)．‎ ‎(2) 由(1)知，z1＝＋i，z2＝－1＋i，∴＝，＝(－1，1)，∴ ||＝，||＝，cos〈，〉＝＝＝.∴ sin〈，〉＝＝，∴ S＝||||sin〈，〉＝××＝.∴平行四边形的面积为.‎ 如图所示，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0、3＋2i、－2＋4i，试求：‎ ‎(1) 、所表示的复数；‎ ‎(2) 对角线所表示的复数；‎ ‎(3) 求B点对应的复数．‎ ‎[审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．‎ 解：(1) ＝－，所以所表示的复数为－3－2i.‎ 因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.‎ ‎(2) ＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎(3) ＝＋＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.‎ ‎1. (2013·江苏)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．‎ 答案：5‎ 解析：z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，|z|＝＝5.‎ ‎2. 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________．‎ 答案：0‎ 解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.‎ ‎3. 设a、b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b＝________．‎ 答案：8‎ 解析：由a＋bi＝，得a＋bi＝＝＝5＋3i，所以a＝5，b＝3，a＋b＝8.‎ ‎4. (2013·南通二模)设复数z满足|z|＝|z－1|＝1，则复数z的实部为________．‎ 答案： 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)．∵ 复数z满足|z|＝|z－1|＝1，∴解得a＝.∴复数z的实部为.‎ ‎1. (2013·重庆卷)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________．‎ 答案： 解析：z＝＝＝2＋i|z|＝.‎ ‎2. (2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于________．‎ 答案：第四象限 解析：(2－i)2＝3－4i对应的点为(3，－4)位于第四象限．‎ ‎3. (2013·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________．‎ 答案：－2‎ 解析：由m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数可知m＝－2.‎ ‎4. m取何实数时，复数z＝＋(m2－‎2m－15)i.‎ ‎(1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数．‎ 解：(1) 当即 时，‎ ‎∴当m＝5时，z是实数．‎ ‎(2) 当即时，‎ ‎∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数．‎ ‎(3) 当即时，‎ ‎∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．‎ ‎5. 设复数z满足4z＋2z＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ(θ∈R)．求z的值和|z－ω|的取值范围．‎ 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，代入4z＋2z＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i.‎ ‎∴解得　∴z＝＋i.‎ ‎|z－ω|＝ ‎＝＝ ‎＝.‎ ‎∵－1≤sin≤1，∴0≤2－2sin≤4.‎ ‎∴0≤|z－ω|≤2.‎ ‎1. 处理有关复数的基本概 念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．‎ ‎2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．‎ ‎3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．‎ 请使用课时训练(B)第4课时(见活页)．‎