2014年版高考数学理37立体几何中的向量方法二轮考点专练 28页

考点37 立体几何中的向量方法 ‎1.（2013·北京高考理科·Ｔ17）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.‎ ‎（1）求证：AA1⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；‎ ‎（3）证明：在线段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.‎ ‎【解题指南】（1）利用面面垂直证明线面垂直.‎ ‎（2）建系，求出二面角对应两个面的法向量，利用法向量的夹角求二面角的余弦值.‎ ‎（3）设出D点坐标，利用向量解题.‎ ‎【解析】（1）是正方形，。‎ 又，。‎ ‎（2），。‎ 分别以为建立如图所示的空间直线坐标系。‎ 则，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，平面的法向量，‎ ‎，，。‎ 可得可取。‎ ‎。‎ 由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦值为。‎ ‎（3）点D的竖轴坐标为t(0