课间学习网智能题库——全国高考文科数学试题及答案辽宁卷 15页

2013 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） 数学（供文科考生使用） 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. （1）已知集合    1,2,3,4 , | 2 ,A B x x A B   则 （A） 0 （B） 0,1 （C） 0,2 （D） 0,1,2 【答案】B 【解析】 由已知，B= 所以 A∩B= ，选 B。 （2）复数的 1 1Z i   模为 （A） 1 2 （B） 2 2 （C）（D） 【答案】B 【解析】由已知 Z= − ,所以 选 B （3）已知点    1,3 , 4, 1 ,A B AB 则与向量 同方向的单位向量为 （A） 3 4 5 5      ，- （B） 4 3 5 5      ，- （C） 3 4 5 5     ， （D） 4 3 5 5     ， 【答案】A 【解析】 ，所以| | 5AB  ，这样同方向的单位向量是 3 4 5 5      ，- 选 A （4）下面是关于公差 0d  的等差数列 na 的四个命题：  1 : np a数列 是递增数列；  2 : np na数列 是递增数列； 3 : nap n     数列 是递增数列；  4 : 3np a nd数列 是递增数列； 其中的真命题为 （A） 1 2,p p （B） 3 4,p p （C） 2 3,p p （D） 1 4,p p 【答案】D 【解析】因为= ，且 所以函数是增函数，所以正确； ,增区间是 , 当 ，不是递增 所以错； ,如果 是递减数列， 是常数列， 是递增数列，所以错； ，是递增数列，正确.选 D （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为       20,40 , 40,60 , 60,80 ,8 20,100 . 若低于 60 分的人数是 15 人，则该班的学生人数是 （A）（B） （C）（D） 【答案】B 【解析】第一、第二小组的频率分别是 0.005×20=0.1,0.01×20=0.2，所以低于 60 分 的频率是 0.3，设班级人数为 x，则 .选 B （6）在 ABC ，内角 , ,A B C 所对的边长分别为 , , .a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b  ,a b B  且 则 A． 6  B． 3  C． 2 3  D． 5 6  【答案】A 1sin cos sin cos ,2a B C c B A b  因为 0b,所以 B 为锐角 所以 B= ，选 A （7）已知函数      2 1ln 1 9 3 1,. lg 2 lg 2f x x x f f          则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 2( ) ln( 1 9 3 ) 1f x x x     所以 ( ) ( ) 2f x f x   ，因为 lg 2 + 1lg 2 = 0 所以 选 D. （8）执行如图所示的程序框图，若输入 8,n S 则输出的 A． 4 9 B． 6 7 C． 8 9 D．10 11 【答案】A 【解析】 2 1 1s s i    是对 2 1 1i  求和。因为 2 1 1 1 1( )2 1 11 i ii    ， 同时 2i i  ，所以所求和为 1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 1 3 3 5 7 9       = 4 9 （9）已知点      30,0 , 0, , , . ABC ,O A b B a a 若 为直角三角形 则必有 A． 3b a B． 3 1b a a   C． 3 3 1 0b a b a a        D． 3 3 1 0b a b a a      【答案】C 【解析】若 A 为直角，则根据 A、B 纵坐标相等，所以 3 0b a  ；若 B 为直角，则利用 1OB ABK K   或 得 3 1 0b a a    ，所以选 C （10）已知三棱柱 1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC  的 个顶点都在球 的球面上若 ， ， ,AB AC 1 12AA O ，则球 的半径为 A． 3 17 2 B． 2 10 C．13 2 D．3 10 [答案]C 【解析】如图：因为 ,AB AC 所以 BC 是小圆的直径， 是小圆的直径， 所以球心在 的中点 R= = （11）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左焦点为 ,F C与过原点的直线相交于 ,A B两点，连接 AF,BF 若 ， ，则 C 的离心率为 （A） 3 5 （B） 5 7 （C） 4 5 （D） 6 7 【答案】B 【解析】设为椭圆的右焦点，由椭圆的对称性知，四边形 AFB 是平行四边形，由 ， 得 AF=6 即有 ，所以 c=FO= ,2a=AF+A ，所以 e= 选 B （12）已知函数        2 2 2 22 2 , 2 2 8.f x x a x a g x x a x a          设                 1 2max , , min , , max ,H x f x g x H x f x g x p q  表示 ,p q 中的较 大值，  min ,p q 表示 ,p q 中的较小值，记  1H x 得最小值为  2H x 得最小值为,则 A B  （A） 2 2 16a a  （B） 2 2 16a a  （C） 16 （D） 【答案】C 【解析】 ⟹ 解得： 两曲线交 点为 M , N A B  − =−16，选 C 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 22 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22 题-第 24 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. （13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是. 【答案】16 16  【解析】直观图是圆柱中去除正四棱柱。V  2 22 4 2 4     16 16  （14）已知等比数列    1 3n n na S a n a a是递增数列, 是 的前 项和.若 ， 是方程 2 65 4 0x x S   的两个根，则 . 【答案】63 【解析】解方程 得 1 31, 4a a  ，所以 2 3 1 4aq a   ， 2q  代入等比求和 公式得 6 63S  （15）已知为双曲线 2 2 : 1 ,9 16 x yC P Q C PQ  的左焦点， 为 上的点，若 的长等于 虚轴长的2倍，点 A 在线段 PQ 上，则∆PQF 的周长为. 【答案】44 【解析】| | | | 6,| | | | 6,FP PA FQ QA    + =8 ⟹ | | | | 28FP FQ  ， | | | | | | 44FP FQ PQ   Py （16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 5 个班级，把每个班 级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为 7，样本方差为 4，且样本数据互相 不相同，则样本数据中的最大值为. 【答案】10 【解析】方法一：设五个班级的数据分别为 0≤ , =7⋯ ⋯ ⟹ 在 中最大的不能是 ，假 设当最大值是 时， 由于 所以 或两个为 1 一个 为 2 ，一个为 0 ，都不符合数据不等和整数的条件，因此最大值只能是，又 +++=20所以数据为 4 ， 6 ， 7 ， 8 ， 10方法二：设五个班级的数据分别为 0< , =7 ⟺ ⋯ =4 ⇔ ⋯ 构造函数 ， x 对 恒成立 即 4-2 =4-2 >0 对 恒成立，所以 −4×4 <0 ⟹ ⟹所以 数据为 4，6，7，8，10 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 设向量    3sin ,sin , cos ,sinx , 0, .2a x x b x x        （I）若 .a b x 求 的值； （II）设函数 ( ) ( )f x a b f x  ，求 的最大值 【解析】：由 . ,得 4 ,又 .从而 .所以 . , = = 当 ∈ 时， 取最大值 1 所以 的最大值为 18．（本小题满分 12 分） 如图， .AB O PA O C O是圆 的直径， 垂直圆 所在的平面， 是圆 上的点 （I）求证： BC PAC 平面 ； （II）设 / / .Q PA G AOC QG PBC为 的中点， 为 的重心，求证： 平面 .由 AB 是圆 O 的直径.得 AC ⊥ BC.由 PA ⊥ 平面 ABC,BC⊂ 平面 ABC. 得 PA ⊥BC 又 PA∩AC=A.PA⊂ 平面 PAC.AC⊂ 平面 PAC. 所以 BC⊥ 平面 PAC.连 QG 并延长交 AC 与 M,连接 QM,QO.由 G 为 ∆ AOC 的重心.得 M 为 AC 中点. 得 QM ∥ PC 又 O 为 AB 中点，得 OM ∥ BC,因为 QM ∩ MO = M,QM ⊂ 平面 QMO, QO ⊂ 平面 QMO. BC∩PC=C. BC⊂ 平面 PBC. PC⊂ 平面 PBC. 所以平面 QMO∥ 平面 PBC.因为 QG ⊂ 平面 QMO. 所以 QG ∥ 平面 PBC19．（本小题满分 12 分） 现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 3 道题解答.试求： （I）所取的 2 道题都是甲类题的概率； （II）所取的 2 道题不是同一类题的概率. .将 4 道甲类题依次编号为 1，2，3，4：2 道乙类题依次编号为 5，6.任取 2 道题， 基本事件为： 共 15 个.而且这些基本事件的出现是等可 能的. 用 A 表示’’都是甲类题’’这一事件.则 A 包含的基本事件有 .共 6 个.所以 P . . 基本事件同 .用B表示’’不是同一类题’’这一事件,则B包含的基本事件 有 共 8 个,所以 P 20．（本小题满分 12 分） 如图，抛物线    2 2 1 2 0 0 2: 4 , : 2 0 . ,C x y C x py p M x y C    点 在抛物线 上， 1M C过 作   0, , . 1 2A B M O A B O x  的切线，切点为 为原点 时， 重合于 当 时， 1- .2MA切线 的斜率为 （I） P求 的值 ； （II） 2M C AB N当 在 上运动时，求线段 中点 的轨迹方程  , , .A B O O重合于 时 中点为 [解析] （I）因为抛物线: = 4 上任意一点 的切线斜率为 .且切线 MA 的斜率为 − ， 所以 A 点的坐标为 . 故切线 MA 的方程为 因为 M 在切线 MA 与抛物线上。于是 所以 P = 2 （II）设 N .A ,B . ,由 N 为线段 AB 中点知 切线 MA,MB 的方程为 MA,MB 的交点 M 的坐标为 又 M 在上，即 ,所以 所以 , 当 时也满足所以 AB 中点轨迹方程为 21．（本小题满分 12 分） （I）证明：当   20,1 sin ;2x x x x  时， （II）若不等式     3 2 2 2 cosx 4 0,12 xax x x x a     对 恒成立，求实数 的 取 值范围. 【解析】（I）记 F ,则 当 ∈ 时， , F 在 上是增函数；当 ∈ 时， , F 在 上是减函数；又 F ， F ,所以当 ∈ 时 F .即 记 H ，则当 ∈ 时， <0 ，所以 H 在 上是 减函数，则 H ，即 综上， ≤ ， ∈（II）解法一 因为当 ∈ 时 ≤ = 所以，当 时，不等式 对 ∈ 恒成立 下面证明，当 时，不等式 对 ∈ 不恒 成立 因为 ∈ 时， ≥ = ≥ = 所以存在 （例如取 和 中的较小值）满足 即当 a>−2 时， ≤0 对 ∈ 不恒成立。 综上，实数 a 的取值范围是（ −∞ ， −2] 解法二 记 ， 则 ， 记 G , 则 =2+3 当 时， > , 因此 <2+3 于是 在 上是减函数，因此，当 时， ，即 当 时， ≤0 对 ∈ 不恒成立。 下面证明，当 时，下面证明，当 时，不等式 对 ∈ 不恒成立， 由于 在 上是减函数，且 = >0 ， = ≥6 − 时， ，所以当 时， ，因此 在 上是增函数，故 当 <6 − 时， ，又 >0 ，故存在 使 =0 则当 0 =0 所以 在 上是增函数，所以 当 时， 所以当 时，不等式 对 ∈ 不恒成立， 综上，实数 a 的取值范围是（ −∞ ， −2] 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一 题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， .AB O CD O E AD CD D 为 直径，直线 与 相切于 垂直于 于 ，BC垂直于 , .CD C EF F AE BE于 ， 垂直于 ，连接 证明： （I） ;FEB CEB   （II） 2 .EF AD BC  解析（I）由直线 CD 与圆 O 相切，得 ∠CEB=∠EAB 由 AB 为圆 O 的直径，得 AE⊥EB, 从而 ∠EAB+∠EBF= , 又 EF⊥AB ，得 ∠FEB+∠EBF= , 从而 ∠EAB=∠FEB ，故 ∠FEB=∠CEB （II）由 BC ⊥ CE,EF ⊥ AB, ∠FEB=∠CEB,BE 是公共边，得 Rt⊿BCE≅ Rt⊿AFE, 得 AD=AF, 又在 Rt⊿AEB 中，EF ⊥ AB,故 ,所以 23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分 别为 4sin , cos 2 2.4           . （I） 1 2C C求 与 交点的极坐标； （II） 1 1 2 .P C Q C C PQ设 为 的圆心， 为 与 交点连线的中点已知直线 的参数方程为   3 3 , , . 12 x t a t R a bby t       为参数 求 的值 [解析] （I）圆的直角坐标方程为 ,直线的直角坐标方程为 , 解 得 , ,所以交点的极坐标为 ， 注不唯一 （II）P,Q 的直角坐标为 PQ 的直角方程为 ，由参数方程可得 所以 解得 24．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数   , 1.f x x a a  其中 （I）  =2 4 4 ;a f x x  当 时，求不等式 的解集 （II）       2 2 2 |1 2 ,x f x a f x x x    已知关于 的不等式 的解集为 .a求 的值 【解析】（I）当 时， 当 时，由 得 解得 当 时， 无解 当 时， 的解集为 解得 所以 的解集为 （II）记 ,则 由 ，解得 又已知 的解集为 所以 于是