统计概率北京高考理历年真题 5页

‎(2016)16．（13分）（2016•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：‎ A班 ‎6 6.5 7 7.5 8‎ B班 ‎6 7 8 9 10 11 12‎ C班 ‎3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5‎ ‎（Ⅰ）试估计C班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）‎ ‎【分析】（I）由已知先计算出抽样比，进而可估计C班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；‎ ‎（Ⅲ）根据平均数的定义，可判断出μ0＞μ1．‎ ‎【解答】解：（I）由题意得：三个班共抽取20个学生，其中C班抽取8个，‎ 故抽样比K==，‎ 故C班有学生8÷=40人，‎ ‎（Ⅱ）从从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，‎ 共有5×8=40种情况，‎ 而且这些情况是等可能发生的，‎ 当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有2种情况；‎ 当甲锻炼时间为6.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；‎ 当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；‎ 当甲锻炼时间为7.5时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；‎ 当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有4种情况；‎ 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率P==；‎ ‎（Ⅲ）μ0＞μ1．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档．‎ ‎(2015)16．（本小题13分），两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：‎ 组：10，11，12，13，14，15，16‎ 组：12，13，15，16，17，14，‎ 假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．‎ ‎(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；‎ ‎(Ⅱ) 如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；‎ ‎(Ⅲ) 当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）‎ ‎16. 解：(Ⅰ) 设甲的康复时间不少于14天记为事件A ‎ ‎ 所以甲的康复时间不少于14天的概率为 ‎(Ⅱ) 因为，假设乙康复的时间为12天，则符合题意的甲有13天、14天、15天、16天，共4人。‎ 若乙的康复时间为13天，则符合题意的甲有14天、15天、16天，共3人。‎ 若乙的康复时间为14天，则符合题意的甲有15天、16天，共2人。‎ 若乙的康复时间为15天，则符合题意的甲有16天，共1人。‎ 当乙的康复时间为其它值时，由于甲的康复时间为16天，均不符合题意。‎ 所以符合题意的甲、乙选择法师共计4+3+2+1=10种 ‎ 而所有甲、乙组合情况共种 因为所有情况都是等可能的，所以甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 ‎ (Ⅲ) 或 ‎ （2014） 13．把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 36 种。‎ ‎16．（本小题共13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）。⑴从上述比赛中随机选择一场，求 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 主场1‎ ‎22‎ ‎12‎ 客场1‎ ‎18‎ ‎8‎ 主场2‎ ‎15‎ ‎12‎ 客场2‎ ‎13‎ ‎12‎ 主场3‎ ‎12‎ ‎8‎ 客场3‎ ‎21‎ ‎7‎ 主场4‎ ‎23‎ ‎8‎ 客场4‎ ‎18‎ ‎15‎ 主场5‎ ‎24‎ ‎20‎ 客场5‎ ‎25‎ ‎12‎ 李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率；⑵从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率；⑶记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）。‎ ‎16．解：⑴根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4。所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过的概率是；‎ ⑵设事件为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过”，事件为 ‎“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过”，事件为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过，一场不超过”。则，独立。据统计数据，，，，所以，所求概率为；‎ ‎ ⑶。‎ ‎（2013）（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________4 _．‎ ‎（2013）（16）（本小题共13分）‎ 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ ‎（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ ‎（16）（共13分）‎ ‎ 解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，13）．‎ ‎ 根据题意，，且 ‎ （Ⅰ）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则 ‎ 所以 ‎ （Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ 故X的期望 （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．‎ ‎(2012)2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。‎ ‎【答案】D ‎(2012)6.从0，2中选一个数字.从‎1.3.5‎中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )‎ A. 24 B. ‎18 C. 12 D. 6‎ ‎【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。‎ ‎【答案】B ‎(2012)17．（本小题共13分）‎ 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物 和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；‎ ‎（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。‎ ‎（注：，其中为数据的平均数）‎ 解：（1）由题意可知：。‎ ‎（2）由题意可知：。‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎