2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章2-8函数与方程 20页

第8讲　函数与方程、函数的应用 最新考纲　1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．‎ 知 识 梳 理 ‎1．函数的零点 ‎(1)函数的零点的概念 函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．‎ ‎(2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．‎ ‎(3)零点存在性定理 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．‎ ‎2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图像 与x轴的交点 ‎(x1,0)，‎ ‎(x2,0)‎ ‎(x1,0)‎ 无交点 零点个数 ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎3.常见的几种函数模型 ‎(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．‎ ‎(2)反比例函数模型：y＝(k≠0)．‎ ‎(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).‎ ‎(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0)．‎ ‎(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)．‎ ‎4．指数、对数、幂函数模型性质比较 ‎　　函数 性质　　　‎ y＝ax ‎(a>1)‎ y＝logax ‎(a>1)‎ y＝xn ‎(n>0)‎ 在(0，＋∞)‎ 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化 而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax0，因此函数f(x)有且只有一个零点．‎ 答案　B ‎3．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)‎ A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1‎ 解析　由函数是偶函数，排除选项B、C，又选项D中函数没有零点，排除D，y＝cos x为偶函数且有零点．‎ 答案　A ‎4．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　)‎ A．100只 B．200只 C．300只 D．400只 解析　由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y＝100log39＝200.‎ 答案　B ‎5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．‎ 解析　因为函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上是单调函数，所以若f(x)在区间(－1,1)上存在一个零点，则满足f(－1)f(1)＜0，即(－3a＋1)·(1－a)<0，解得0，‎ f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，‎ 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.‎ ‎(2)法一　函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ‎＋2图像交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：‎ 可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．‎ 法二　易知f(x)＝ln x＋x－2在(0，＋∞)上为增函数，‎ 且f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0.‎ 所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)内函数存在零点．‎ 答案　(1)A　(2)B 规律方法　确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 ‎(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．‎ ‎(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．‎ ‎【训练1】 已知函数f(x)＝ln x－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(　　)‎ A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)‎ 解析　∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函数，‎ 又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2<0，‎ f(2)＝ln 2－0＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0.‎ 故f(x)的零点x0∈(2,3)．‎ 答案　C 考点二　函数零点个数的判断 ‎【例2】 (1)函数f(x)＝的零点个数是________．‎ ‎(2)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍)．所以在(－∞，0]上有一个零点．‎ 当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ 又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.‎ ‎(2)‎ 令f(x)＝2x|log0,5x|－1＝0，得|log0.5x|＝x.‎ 设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像(如图)．由图像知，两函数的图像有两个交点，因此函数f(x)有2个零点．‎ 答案　(1)2　(2)B 规律方法　函数零点个数的判断方法：‎ ‎(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；‎ ‎(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图像与性质确定函数零点个数；‎ ‎(3)利用图像交点个数，作出两函数图像，观察其交点个数即得零点个数．‎ ‎【训练2】 (2015·湖北卷)f(x)＝2sin xsin－x2的零点个数为________．‎ 解析　‎ f(x)＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，则函数的零点即为函数y＝sin 2x与函数y＝x2图像的交点，如图所示，两图像有2个交点，则函数有2个零点．‎ 答案　2‎ 考点三　函数零点的应用 ‎【例3】 (2017·昆明调研)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝logax有三个不同的实根，求a的取值范围．‎ 解　由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期T＝4.‎ 又f(x)为偶函数，‎ ‎∴f(x)＝f(－x)＝f(4－x)，‎ 因此函数y＝f(x)的图像关于x＝2对称．又f(2)＝f(6)＝f(10)＝2.要使方程f(x)＝logax有三个不同的实根．‎ 由函数的图像(如图)，必须有即解之得0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．‎ 解析　(1)当x>0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝.‎ 因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，‎ ‎∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a<0.‎ ‎(2)在同一坐标系中，作y＝f(x)与y＝b的图像．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，‎ ‎∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.‎ 答案　(1)D　(2)(3，＋∞)‎ 考点四　构建函数模型解决实际问题(易错警示)‎ ‎【例4】 (1)(2016·四川卷)‎ 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)‎ A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 ‎(2)(2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.‎ ‎①求k的值及f(x)的表达式；‎ ‎②隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．‎ ‎(1)解析　设2015年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.‎ 依题意130(1＋12%)n>200，得1.12n>.‎ 两边取对数，得n·lg1.12>lg 2－lg 1.3‎ ‎∴n>≈＝，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．‎ 答案　B ‎(2)解　①当x＝0时，C＝8，∴k＝40，‎ ‎∴C(x)＝(0≤x≤10)，‎ ‎∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10)．‎ ‎②由①得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.‎ 令3x＋5＝t，t∈[5,35]，‎ 则y＝2t＋－10，∴y′＝2－，‎ 当5≤t<20时，y′<0，y＝2t＋－10为减函数；‎ 当200，y＝2t＋－10为增函数．‎ ‎∴函数y＝2t＋－10在t＝20时取得最小值，此时x＝5，‎ 因此f(x)的最小值为70.∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．‎ 规律方法　(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：‎ ‎①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．‎ ‎②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．‎ ‎③构建f(x)＝x＋(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．‎ ‎(2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．‎ 易错警示　求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．‎ ‎【训练4】 (1)(2017·成都调研)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．‎ ‎(2)某旅游景点预计2017年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝ ‎①写出2017年第x个月的旅游人数f(x)(单位：万人)与x的函数关系式；‎ ‎②试问2017年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？‎ ‎(1)解析　由已知条件，得192＝eb 又48＝e22k＋b＝eb·(e11k)2‎ ‎∴e11k＝＝＝，‎ 设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋b＝192 e33k＝192(e11k)3＝192×3＝24.‎ 答案　24‎ ‎(2)解　①当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37，‎ 当2≤x≤12，且x∈N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)‎ ‎＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，‎ 所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．‎ ‎②第x个月旅游消费总额为 g(x)＝ 即g(x)＝ ‎(ⅰ)当1≤x≤6，且x∈N＋时，‎ g′(x)＝18x2－370x＋1 400，‎ 令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)．‎ 当1≤x<5时，g′(x)>0，‎ 当50，‎ ‎∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1,0)内有零点．‎ 答案　D ‎2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)‎ A.，0 B．－2,0‎ C. D．0‎ 解析　当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.‎ 答案　D ‎3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(1,3) B．(1,2)‎ C．(0,3) D．(0,2)‎ 解析　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以01时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．‎ 答案　D ‎12．(2017·合肥质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)‎ A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 解析　根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，‎ 联立方程组得 消去c化简得解得 所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．‎ 答案　B ‎13．(2015·湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．‎ 解析　‎ 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，如图所示．‎ 则当00)．‎ ‎(1)作出函数f(x)的图像；‎ ‎(2)当0