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- 2021-05-22 发布
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1.（2018北京西城期末）游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。我们把这种情形抽象为如图乙所示的模型：弧形轨道的下端N与竖直圆轨道平滑相接，P为圆轨道的最高点。使小球（可视为质点）从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。不考虑小球运动所受的摩擦等阻力。
（1）小球沿弧形轨道运动的过程中，经过某一位置A时动能为Ek1，重力势能为EP1，经过另一位置B时动能为Ek2，重力势能为EP2。请根据动能定理和重力做功的特点，证明：小球由A运动到B的过程中，总的机械能保持不变，即Ek1+EP1=Ek2+EP2；
（2）已知圆形轨道的半径为R，将一质量为m1的小球，从弧形轨道距地面高h=2.5R处由静止释放。
a．请通过分析、计算，说明小球能否通过圆轨道的最高点P；
b．如果在弧形轨道的下端N处静置另一个质量为m2的小球。仍将质量为m1的小球，从弧形轨道距地面高h = 2.5R处由静止释放，两小球将发生弹性正撞。若要使被碰小球碰后能通过圆轨道的最高点P，那么被碰小球的质量m2需要满足什么条件？请通过分析、计算，说明你的理由。
（2）a. 假设小球刚好能过最高点，在最高点时小球只受重力作用
此时重力提供向心力 （1分）
解得小球能过最高点的最小速度为 （1分）
小球从M到P，设小球运动到最高点P时的速度为 vP
根据机械能守恒定律 （1分）
解得 ，即小球刚好能过最高点。 （1分）
b. 以小球m1为研究对象，设小球运动到N点时的速度为v1
从M到N，根据机械能守恒定律 （1分）
以两个小球为研究对象，碰后两小球的速度分别为v1′、v2′
2. （2018河北衡水一中测试）如图所示，质量分布均匀、半径为R的光滑半圆形金属槽，静止在光滑的水不面上，左边紧靠竖直墙壁。一质量为m的小球从距金属槽上端R处由静止下落，恰好与金属槽左端相切进入槽内，到达最低点后向右运动从金属槽的右端冲出，小球到达最高点时距金属槽圆弧最低点的距离为7R/4，重力加速度为g，不计空气阻力。求
（1）小球第一次到达最低点时对金属槽的压力大小；
（2）金属槽的质量。
【参考答案】（1）5mg（2）
【名师解析】（1）小球从静止到第一次到达最低点的过程，根据机械能守恒定律有：mg·2R=mv02，
小球刚到最低点时，根据圆周运动和牛顿第二定律的知识有：
据牛顿第三定律可知小球对金属块的压力为：
联立解得：
3.（20分）（2018福建漳州一中模拟）如图，水平光滑轨道AB与半径为R的竖直光滑半圆形轨道BC相切于B点。质量为2m和m的a、b两个小滑块（可视为质点）原来静止于水平轨道上，其中小滑块a与一轻弹簧相连。某一瞬间给小滑块a一冲量使其获得初速度向右冲向小滑块b，与b碰撞后弹簧不与b相粘连，且小滑块b在到达B点之前已经和弹簧分离，不计一切摩擦，小滑块b离开C点后落地点距离B点的距离为2R，重力加速度为g，求：
（1）小滑块b与弹簧分离时的速度大小；
（2）上述过程中a和b在碰撞过程中弹簧获得的最大弹性势能 ；
（3）若刚开始给小滑块a的冲量为，求小滑块b滑块离开圆轨道的位置和圆心的连线与水平方向的夹角。（求出角的任意三角函数值即可）。
【名师解析】（20分）
解：（1）（5分）小滑块b脱离C点后，由平抛运动规律有：
（1分）
（1分）
解得： （1分）
小滑块b 恰好通过C点。
以B点为零势能点，小滑块b从B点到C点由机械能守恒定律有：
（1分）
则小滑块b与弹簧分离时的速度
（1分）
当弹簧压缩至最短时弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律和能量守恒定律有：
（1分）
（1分）
解得： （1分）
（其他正确解法同样给分！)
（3）（9分）由动量定理有：
解得： （1分）
可知小滑块b不能通过C点，设小滑块b到达D点时离开，如图所示设倾角为，刚好离开有N=0，由牛顿第二定律有：
（2分）
4．（2018天津和平区期末）如图所示，质量为m=5kg的长木板B放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为k=5kg的物块A（可视为质点）。木板与地面间的动摩擦因数μ1=0.3，物块与木板间的动摩擦因数μ2.现用一水平力F=60N作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t=1s，撤去拉力，设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，求：
（1）拉力撤去时，木板的速度vB；
（2）要使物块不从木板上掉下，木板的长度L至少为多大；
（3）在满足（2）的条件下，物块最终将停在右端多远处。
【名师解析】
（1）若相对滑动，对木板有：，
对木块有，
所以木块相对木板滑动
撤去拉力时，木板的速度，
（3）获得共同速度后，对木块，有，对木板有
二者的相对位移
木块最终离木板右端的距离
5．（9分）（2018北京通州摸底）一个质量为m = 0.5 kg的小球从离水面高h = 0.8 m处自由下落，进入水中，在水中经过时间t = 0.5 s下降深度为H时，速度减为零（空气阻力忽略不计，小球可视为质点）。求：
（1）小球落至水面瞬间速度v的大小；
（2）水对小球的平均阻力f的大小；
（3）小球在水中下降深度H的大小。
【名师解析】
（1）解法一：
根据 （2分），得 （1分）
解法二：
根据机械能守恒定律 （2分），得 （1分）
（2）解法一：
取竖直向下为正方向。
根据动量定理 （2分），得 （1分）
解法二：
根据运动学公式，将t = 0.5 s代入，得a = 8 m/s2 （1分）
根据牛顿第二定律 （1分）
联立上述两式得 （1分）
解法三：
根据运动学公式= 1 m （3分）
解法四：
小球在水中运动的平均速度 ， （3分）
解法五：
根据运动学公式 ，得 （3分）
6．（12分）（2018安徽黄山一模）如图所示，一对杂技演员（都视为质点）荡秋千（秋千绳处于水平位置），从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A。已知男演员质量2m和女演员质量m，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R。求:
（1）摆到最低点B，女演员未推男演员时秋千绳的拉力；
（2）推开过程中，女演员对男演员的做的功；
（3）男演员落地点C与O点的水平距离s。
【名师解析】
（1）第一个过程：两杂技演员从A点下摆到B点，只有重力做功，机械能守恒。设二者到达B点的速度大小为v0，
则由机械能守恒定律有：（m+2m）gR=（m+2m）v02。 绳子拉力设为T，由受力分析和圆周运动知识
有： 2分
所以：T=9mg
女演员推开男演员做功W:
联立得：v2=，
W=6mgR
（3）第四个过程：男演员自B点平抛，有：s=v2t。
运动时间t可由竖直方向的自由落体运动出得：4R=gt2。
联立上述几式，可解得s=8R。
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