宿豫中学2019~2020学年度第二学期寒假调研高一数学试卷 7页

1 宿豫中学高一第二学期开学摸底测试 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是正确的，请在答题卡上用 2B 铅笔把正确答案的字母按要求涂黑. 1. 采用简单随机抽样的方法，从含有 6 个个体的总体中抽取 1 个容量为 2 的样本，则某个个体 被抽到的概率为（ ） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 5 D. 1 6 2.某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600 人、700 人、700 人，为 了解不同年级学生的眼睛近视情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为 100 的样本， 则高三年级应抽取的学生人数为（ ） A. 25 B. 35 C.30 D.40 3. 过点 1,3 且垂直于直线 2 3 0x y   的直线方程为（ ） A. 2 7 0x y   B. 2 1 0x y   C. 2 5 0x y   D. 2 5 0x y   4.在 ΔABC 中，如果 : : 2:3: 4a b c  ，那么 cos B 等于（ ） A. 11 16 B. 5 16 C. 11 16  D. 7 11 5.已知圆 2 2 0x y Dx Ey F＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 的圆心坐标为(－2,3)，D，E 分别为（ ） A. 4，－6 B. －4，－6 C. －4,6 D. 4,6 6. 圆 2 21 1x y   的圆心到直线 0x y a   的距离为 2 ，则 a 的值为（ ） A. 1 或 3 B. 1 或 3 C. 1 或 3 D. 1 或 3 7. 若三角形 ABC 的面积为 )(4 3 222 bca  ，且 C 为钝角， a c 的取值范围是（ ） A. ),2[  B. ),2(  C. )2,0( D. ),3[  2 8.若方程 2)(-1 2  xax 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） A. )22,22(  B. )22,22(  C. ]1,22(  D. )2-2,1[ 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.设两直线 2 2 0m x y m     ， 0x y  与 x 轴构成三角形，则 m 的可能取值是（ ） A.-1 B. 1 C. 2 D. -2 10. 在△ABC 中，下列判断中正确的是________．(填相应命题的序号即可) A. a＝7，b＝14，A＝30°，有两解；B. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解； C. a＝6，b＝9，A＝45°，有两解；D. b＝9，c＝10，B＝60°，有两解． 11．在同一直角坐标系中，直线 2y ax a  与圆 2 2 2( )x a y a   的位置不可能是（ ） A． B． C． D． 12.下列命题中其中正确的命题是：（ ） A.任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； B.不经过原点的直线都可以用方程 1x y a b   表示； C.若两直线 2 6 0x y   和 2 1 0x my   平行， 则它们之间的距离为 5 ； D.若直线l ： 3y kx  与直线 1l ：2 3 6 0x y   的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角 的取值范围是 ,6 2       . 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分. 13. 已知一组数据 1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为______. 14. 点 (5,2) 到直线 ( )1 (2 1) 5m x m y m     的距离的最大值为________. 15. 在 ABC 中 ， 角 CBA ,, 所 对 的 边 分 别 为 cba ,, ， 已 知 2,20)cos(sinsinsin  caCCAB ， ，则 C ________. 16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 4: 22  yxO ，直线 )4(:  xkyl . 若圆O 上 3 存在点 P ，使得以点 P 为圆心、1 为半径的圆与直线l 有公共点，则实数 k 的取值范 围是___________. 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.请在答题卡指定区区域内作答，解答时应写 出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分）设三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a=13, 5cos 13B  (1)若 b=24，求sin A 的值; (2)若三角形 ABC 的面积为 30，求 b,c 的值 18. （本小题满分 12 分）在 ABC 中， C 的平分线所在直线 l 的方程为 2y x ，若点  4,2A  ，  3,1B . （1）求点 A 关于直线 l 的对称点 D 的坐标； （2）求 AC 边上的高所在的直线方程. 19．（本小题满分 12 分） 某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会. 此学校各年级人数情况 如下表： 年 级 性 别 高一年级 高二年级 高三年级 男 520 y 400 女 x 610 600 (1) 若按年级用分层抽样的方法抽取 n 个人，其中高二年级 22 人，高三年级 20 人，再从这 n 个人中随机抽取出 1 人，此人为高三年级的概率为 10 33 ，求 x、y 的值. (2) 若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本，从这 5 人中任取 2 人， 求至少有 1 人是男生的概率. 20. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 (0,6)P ， 圆 C： 2 2 10 10 0x y x y    （1）求过点 P 且与圆 C 相切于原点的圆的标准方程。 （2）过点 P 的直线 L 与圆 C 依次相交于 A,B 两点， ①若 AO PB ，求直线 L 的方程 ②当三角形 ABC 面积最大时，求直线 L 的方程 21. （本小题满分 12 分）某地有一企业 2007 年建厂并开始投资生产，年份代号为 7，2008 年年份代号为 8，依次类推．经连续统计 9 年的收入情况如下表（经数据分析可用线性回归模型 4 拟合 y 与 x 的关系）： 年份代号（ x ） 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当年收入（ y 千万元） 13 14 18 20 21 22 24 28 29 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a  ； （2）试预测 2020 年该企业的收入． （参考公式：      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         1 2 2 1 n i i i n i i x y nxy x nx        ， ˆˆa y bx  ） 22．（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的方程为 2 2( 4) 1x y   ，且圆C 与 x 轴交于 M ， N 两点， 设直线l 的方程为  ( 0)y kx k  ． （1）当直线l 与圆C 相切时，求直线 l 的方程； （2）已知直线l 与圆C 相交于 A ， B 两点． （ⅰ）若 2 17 17AB  ，求实数 k 的取值范围； （ⅱ）直线 AM 与直线 BN 相交于点 P ，直线 AM ，直线 BN ，直线 OP 的斜率分别为 1k ， 2k ， 3k ， 是否存在常数 a ，使得 1 2 3k k ak  恒成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由． 参考答案 1. B 2.B 3. B 4.A 5. A 6. C 7. B 8. C 9. AB 10. BD 11.ABD 12. AD 13.2 14. 2 13 15. 6  16 ]7 73,7 73[ 17.解：（1）由 5cos 13B  得 13 12cos1sin 2  BB ……2 分 由正弦定理 B b A a sinsin  ,得 2 1sinsin  b BaA ……5 分 5 （2）由三角形面积公式 Bacs sin2 1 ,得 5c ……7 分 由余弦定理 Baccab cos2222  ,得 12b ……10 分 18. 解：（1）设点 A 关于l 的对称点  ,D m n ，则 2 1 44 2 22 422 2 n mm nn m              .∴  4, 2D  . ……6 分 （2）∵ D 点在直线 BC 上， 1 2 33 4DBk    ∴直线 BC 的方程为 1 3( 3)y x    ，即 3 10 0x y   因为C 在直线 2y x 上 所以 3 10 0 2 2 4 x y x y x y        ，所以  2,4C ； ∴ 1 3ACk  ，即 AC 边上的高所在直线斜率为 3 所以 AC 边上的高所在的直线方程的方程为 1 3( 3)y x    ，即3 10 0x y   …12 分 19. ⑴依题意得： 20 10 33n  ，解得 66n  . ……2 分 所以高一年级被抽取的人数为 662220  24. 所以 20 24 22 1000 520 610x y    ，解得 680x  ， 490y  . ……5 分 ⑵若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为 5 的样本， 设抽取男生的人数为 m，则 400 5 600 400 m   ，解得 2m  ， 所以应抽取男生 2 人，女生 3 人，分别记作 1A 、 2A ； 1B 、 2B 、 3B . ……7 分 方法一：记“从中任取 2 人，至少有 1 人是男生”为事件 A. 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）. 其中至少有 1 人为男生的基本事件有 7 个： （A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）. 所以从中从中任取 2 人，至少有 1 人是男生的概率为 7 10 . ……11 分 方法二：记“从中任取 2 人，至少有 1 人是男生”为事件 A，则 A 表示“从中任取 2 人， 全是女生”，全是女生的基本事件有 3 个：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）. 所以 3 7( ) 1 ( ) 1 10 10P A P A     . 6 答：至少有 1 人是男生的概率 7 10 . ……12 分 21. 【解析】（1）由已知数据得： 11x  ， 21y  ． ……2 分    9 1 i i i x x y y                   4 8 3 7 2 3 1 1 0 0 1 1 2 3 3 7 4 8                          120 ，…4 分           9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 60i i x x                 ， ……6 分 120 2ˆ 60b   ， 21 2 1 1ˆ 1a      ，  ˆ 2 1y x  ．故所求回归方程为： ˆ 2 1y x  ． ……8 分 （2） 2020 年的年份代号为 20 ，由（1）知，当 20x  时， 2 20 1 39ˆy     ，……10 分 故预测 2020 年该企业的收入为 39 千万元． ……12 分 22. 解：（1）解：由题意， 0k  ，∴圆心C 到直线 l 的距离 2 4 1 kd k   ，……1 分 ∵直线 l 与圆C 相切，∴ 2 4 1 1 kd k    ，∴ 15 15k  ，∴直线 15: 15l y x ．……3 分 （2）解：由题意得： 2 2 170 2 1 17AB d    ，∴ 4 17 117 d  ， 由（1）可知： 2 4 1 kd k   ，∴ 2 4 17 4 117 1 k k    ，∴ 1 15 4 15k  ． ……6 分 （3）证明：  1: 3AMl y k x  ，与圆C  2 2: 4 1x y   联立，得：      2 2 1 13 1 3 5 0x k x k       ， ∴ 3Mx  ， 2 1 2 1 3 5 1A kx k   ，∴ 2 1 1 2 2 1 1 3 5 2,1 1 k kA k k       ， 7 同理可得： 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2,1 1 k kB k k        ， ……8 分 ∵ OA OBk k ， ∴ 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 3 5 5 3 1 1 k k k k k k k k       ，即  1 2 1 21 3 5 0k k k k   ， ∵ 1 2 1k k   ， ∴ 2 1 3 5k k  ， 设  0 0,P x y ， ∴     0 1 0 0 2 0 3 5 y k x y k x      ，∴ 1 2 0 1 2 1 2 0 1 2 3 5 2 k kx k k k ky k k       ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 2 3 5 2,k k k kP k k k k        ，即 1315 ,4 4 kP     ， ……10 分 ∴ 1 3 1 3 14 15 5 4 k k k  ，∴ 1 2 1 3 2 25k k k k   ， ∴存在常数 2a  ，使得 1 2 32k k k  恒成立． ……12 分