高中物理奥赛模拟试题解析 6页

图 1 b θ E R 答图 2 × R R 高中物理奥赛模拟试题解析 1. (10 分)1961 年有人从高度 H=22. 5m的大楼上向地面发射频率为 υ 0 的光子，并在地面上测 量接收到的频率为 υ，测得 υ与 υ 0 不同，与理论预计一致，试从理论上求出 0 0 的值。 解：光子的重力势能转化为光子的能量而使其频率变大，有 mgH=h( υ－υ 0) 而根据爱因斯坦的光子说和质能方程，对光子有 h υ0 =mc2 解以上两式得： 15 282 0 0 105.2 )103( 5.2210 c gH 2. (15 分 ) 底边为 a，高度为 b 的匀质长方体物块置于斜面上，斜面和物块之间的静摩擦因数 为μ，斜面的倾角为 θ，当 θ 较小时，物块静止于斜面上 ( 图 1) ，如果逐渐增大 θ，当 θ达到 某个临界值 θ 0 时，物块将开始滑动或翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的 θ，并说明在什 么条件下出现的是滑动情况，在什么条件下出现的是翻倒情况。 解：刚开始发生滑动时， mgsinθ 0=μmgcosθ 0 tan θ 0=μ，即 θ 0=arctan μ 刚开始发生翻倒时，如答图 1 所示，有 θ1=φ， tan φ= b a ，φ=arctan b a 即θ 1≥arctan b a 时，发生翻倒。 综上所述，可知： 当 μ＞ b a 时， θ增大至 arctan b a 开始翻倒； 当 μ＜ b a 时， θ增大至 arctan μ 开始滑动。 3. (15 分 ) 一个灯泡的电阻 R0=2Ω，正常工作电压 U0=4.5V ，由电动势 U=6V、内阻可忽略的电 池供电。利用一滑线变阻器将灯泡与电池相连，使系统的效率不低于 η=0.6 。试计算滑线变 阻器的阻值及它应承受的最大电流。求出效率最大的条件并计算最大效率。 解：如答图 2 所示，流过灯泡的电流为 I 0=U0/ R 0=2.25A，其功率为 P0= U0I 0=U0 2/ R 0=10.125W。 用 R 1 和 R2 表示变阻器两个部分的电阻值。系统的总电 流为 I 1，消耗的 总功率为 P1= U I 1， 效率为 10 2 0 1 0 IUR U P P ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 因 U0、 U 和 R 0 的数值已给定，所以不难看出，效率与 电流 I 1 成反比。 答图 1 θ b a φ 图 2 O v ·m rω ω 答图 3 r R T ω v 若效率为 0.6 ，则有 A UR UI 81.2 0 2 0 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯② 变阻器的上面部分应承受这一电流。利用欧姆定律，有 53.0 1 0 2 I UUR ⋯⋯⋯⋯⋯⋯③ 变阻器下面部分的阻值为 8 01 0 1 II UR ⋯⋯⋯⋯⋯⋯④ 变阻器的总电阻为 8.53 Ω。 式①表明，本题中效率仅决定于电流 I 1。当 I 1 最小，即 I 1=0 时效率最大，此时 R1=∞( 变 阻 器 下 面 部 分 与 电 路 断 开 连 接 ) ， 在 此 情 形 下 ， 我 们 得 到 串 联 电 阻 为 67.0 0 0 2 I UUR ， 效率为 75.00 0 2 0 00 2 0 U U UU U IUR U 4. (20 分) 如图 2，用手握着一绳端在水平桌面上做半径为 r 的匀速圆周运动，圆心为 O，角 速度为 ω。绳长为 l ，方向与圆相切，质量可以忽略。绳的另一端系着一个质量为 m的小球， 恰好也沿着一个以 O点为圆心的大圆在桌面上运动，小球和桌面之间有摩擦，试求： ⑴ 手对细绳做功的功率 P； ⑵ 小球与桌面之间的动摩擦因数 μ。 解：⑴ 设大圆为 R。由答图 3 分析可知 R= 22 lr 设绳中张力为 T，则 Tcosφ=m Rω 2 ，cos φ= R l 故 T= l Rm 22 ， P=T·V= l lrrmr l Rm )( 22322 ⑵ f =μ mg=Tsinφ T= l lrm l Rm )( 22222 sin φ= 22 lr r R r 图 3 C h· 所以， μ = gl lrr 222 5. (20 分 ) 如图 3 所示，长为 L 的光滑平台固定在地面上，平台中间放有小物体 A和 B，两者 彼此接触。 A的上表面是半径为 R的半圆形轨道，轨道顶端距台面的高度为 h 处，有一个小物 体 C，A、B、C 的质量均为 m。在系统静止时释放 C，已知 在运动过程中， A、C始 终接触，试求： ⑴ 物体 A 和 B 刚分离时， B 的速度； ⑵ 物体 A 和 B 分离后， C所能达到的距台面的最大高度； ⑶ 试判断 A 从平台的哪边落地，并估算 A 从与 B分离到落地所经历的时间。 解：⑴ 当 C运动到半圆形轨道的最低点时， A、B 将开始分开。在此以前的过程中，由 A、B、 C三个物体组成的系统水平方向的动量守恒和机械能守恒，可得： mVA＋mVB ＋mVC＝0 mgR= 2 1 mVA 2 ＋ 2 1 mVB 2 ＋ 2 1 mVC 2 而 VA=VB 可解得： VB= gR3 3 1 ⑵ A 、B 分开后， A、C 两物体水平方向的动量和机械能都守恒。 C 到最高点时， A、C 速 度都是 V， C能到达的距台面的最大高度为 l ，则 mVB＝2mV mg ( l ＋R－h) ＋ 2 1 (2 m)V 2= 2 1 mVA 2 ＋ 2 1 mVC 2 可解得： l =h－ 4 R ⑶ 很明显， A、C从平台左边落地。 因为 L>>R，所以可将 A、C看成一个质点， 速度为 2 1 VB，落下平台的时间 L gR t BV L 3 2 2 6. (20 分) 如图 4 所示， PR是一块长 L 的绝缘平板，整个空间有一平行于 PR的匀强电场 E， 在板的右半部分有一个垂直于纸面向外的匀强磁场 B。一个质量为 m、带电量为 q 的物体，从 板的 P 端由静止开始在电场力和摩擦力的作用下向右做匀加速运动，进入磁场后恰能做匀速 运动。当物体碰到板 R 端挡板后被弹回，若在碰撞瞬间撤去电场，物体返回时在磁场中仍做 匀速运动， 离开磁场后做匀减速运动停在 C点， PC= 4 L ，物体与平板间的动摩擦因数为 μ。求： ⑴ 物体与挡板碰撞前后的速度 V1 和 V2； ⑵ 磁感强度 B 的大小； E B R 图 4 C P ⑶ 电场强度 E 的大小和方向。 解：物体碰挡板后在磁场中做匀速运动，可判断物体带的是正电荷，电场方 向向右。 ⑴ 物体进入磁场前，在水平方向上受到电场力和摩擦力的作用，由静止匀加速至 V1。 2 12 1 2 )( mVLmgqE ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 物体进入磁场后，做匀速直线运动，电场力与摩擦力相等 qEBqVmg )( 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯② 在碰撞的瞬间，电场撤去，此后物体仍做匀速直线运动，速度为 V2，不再受摩擦力，在 竖直方向上磁场力与重力平衡。 mgBqV2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯③ 离开磁场后，物体在摩擦力的作用下做匀减速直线运动 2 22 10 4 1 mVLmg ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯④ 由④式可得： 2 2 2 gLV 代入③式可得： Lg mqB /2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑤ 解以上各方程可得： gLV 21 ⑵ 由③式得： Lq gLm qV mgB 2 2 ⑶ 由②式可得： q mg Lq gLmgL q mgBV q mgE 3221 7. (20 分) 一只蚂蚁从蚂蚁洞沿直线爬出，已知爬出速度 v 的大小与距蚂蚁洞中心的距离 L 成 反比，当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 L1=1m的 A 点时，速度大小为 v1=20cm/s，问当蚂蚁到 达距蚂蚁洞中心的距离 L2=2m的 B 点时，其速度大小为 v2=? 蚂蚁从 A 点到达 B 点所用的时间 t=? 解：由已知可得： 蚂蚁在距离洞中心上处的速度 v 为 v=k L 1 ，代入已知得： k=vL=0.2 ×1m2/s=0.2 m2/s ，所以当 L2=2m时，其速度 v2=0.1m/s 由速度的定义得：蚂蚁从 L 到 L+Δ L 所需时间 Δt 为 LL kv Lt 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 30° 30° d c a b B v 图 5 类比初速度为零的匀加速直线运动的两个基本公式 atv tvs 在 t 到 t+ Δt 时刻所经位移 Δs 为 ttas ⋯⋯⋯⋯⋯⋯② 比较①、②两式可以看出两式的表述形式相同。 据此可得蚂蚁问题中的参量 t 和 L 分别类比为初速度为零的匀加速直线运动中的 s 和 t ， 而 k 1 相当于加速度 a。 于是，类比 s= 2 1 a t 2 可得：在此蚂蚁问题中 21 2 1 L k t 令 t 1 对应 L1，t 2 对应 L2，则所求时间为 2 22 2 11 2 1 2 1 L k t L k t 代入已知可得从 A 到 B 所用时间为： Δt =t 2－t 1= sLL k )12( 2.02 1)( 2 1 222 1 2 2 =7.5s 8. (20 分) 在倾角为 30°的斜面上，固定两条足够长的光滑平行导轨，一个匀强磁场垂直于 斜面向上，磁感强度 B=0.4T，导轨间距 L=0.5m，两根金属棒 ab、cd 水平地放在导轨上，金 属棒质量 mab=0.1kg ，mcd=0.2kg ，两根金属棒总电阻 r=0.2 Ω，导轨电阻不计 ( 如图 5) 。现使金 属棒 ab 以 v=2.5m/s 的速度沿斜面向上匀速运动。求： ⑴ 金属棒 cd 的最大速度； ⑵ 在 cd 有最大速度时，作用在 ab 上的外力做功的功率。 解：开始时， cd 棒速度为零， ab 棒有感应电动势， 此时可计算出回路中 的电流，进而求出 cd 棒所受到的安培力 F( 可判断出安培力方向沿斜面向上 ) 。 如果 F＞mcd gsin30 °， cd 将加速上升，产生一个跟电流方向相反的电动势，回路中的电 流将减小， cd 棒所受到的安培力 F 随之减小，直到 F=mcdgsin30 °。 如果 F＜mcd gsin30 °， cd 将加速下滑，产生一个跟电流方向相同的电动势，回路中的电 流将增大， cd 棒所受到的安培力 F 随之增大，直到 F=mcdgsin30 °。 ⑴ 开始时， cd 棒速度为零，回路中的电流 AA r BlvI 5.2 2.0 5.25.04.0 这时 cd 棒受到平行斜面向上的安培力 F=I lB =2.5 ×0.5 ×0.4N=0.5N 而 mcd gsin30 °=0.2 ×10×0.5N=1N 故 cd 将加速下滑。当 cd 的下滑速度增大到 vm时，需要有安培力 F=mcdgsin30 ° 此时回路中的电流 r vvBl r BlvBlvI mm m )( cd 受到的安培力 F=I mlB =mcdgsin30 ° 所以 smsmv lB rgmv cd m /5.2/)5.2 5.04.0 2.01(30sin 2222 即金属棒 cd 的最大速度为 2.5m/s 。 ⑵ 当 cd 棒速度达到最大值 vm时。回路中的电流 AA r vvBlI m m 5 2.0 )5.25.2(5.04.0)( 作用在 ab 棒上的外力 F=I mlB ＋mabgsin30 °=(5 ×0.5 ×0.4 ＋0.1 ×10×0.5)N=1.5N 外力做功的功率 PF=Fv=1.5 ×2.5W=3.75W