专题4-4 万有引力定律-2019高考物理一轮复习考点大通关 19页

考点精讲 一、开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所 有椭圆的一个焦点上． (2)开普勒第二定律(面积定律)：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间 内扫过相等的面积． (3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方 的比值都相等，即 a3 T2＝k. 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大 小与物体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比． 2．公式：F＝G m1m2 r2 ，其中 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 3．适用条件 (1)严格地说，公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身 的大小时，物体可视为质点． (2)均匀的球体可视为质点，其中 r 是两球心间的距离．一个均匀球体与球外一个质点 间的万有引力也适用，其中 r 为球心到质点的距离． 4．计算星球表面(附近)的重力加速度 g(不考虑星球自转)：mg＝G mM R2 ，得 g＝ GM R2 . 5．计算星球上空距离星体中心 r＝R＋h 处的重力加速度 g′：mg′＝ GmM（R＋h）2，得 g′ ＝ GM（R＋h）2. 所以 g g′＝ （R＋h）2 R2 . 6．万有引力与重力的关系 (1)在赤道上 F 万＝F 向＋mg，即 mg＝G Mm R2 －mω2R； (2)在两极 F 万＝mg，即 mg＝G Mm R2 ； (3)在一般位置，万有引力等于 mg 与 F 向的矢量和． 考点精练 题组 1 开普勒行星运动定律 1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 【答案】B 【解析】开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系， 选项 A 错误，选项 B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规 律运动的原因，选项 C 错误；牛顿发现了万有引力定律，选项 D 错误． 2．关于开普勒行星运动的公式R3 T2＝k，以下理解正确的是( ) A．k 是一个与行星无关的量 B．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为 R 地，周期为 T 地；月球绕地球运转轨道的半长轴为 R 月，周期为 T 月，则 2地＝ 2月 C．T 表示行星运动的自转周期 D．T 表示行星运动的公转周期 【答案】AD 4．关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( ) A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．离太阳越近的行星的运动周期越长 D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 【答案】D 【解析】所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，但不是同一轨道，太阳处在椭圆的一个焦 点上，故 A、B 错；所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，离 太阳越近的行星，其运动周期越短，故 C 项错，D 项对。 5．地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经 在 1662 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍，并 预言这颗彗星将每隔一定时间就会再次出现。这颗彗星最近出现的时间是 1986 年，它下次 飞近地球大约是哪一年( ) A．2042 年 B．2052 年 C．2062 年 D．2072 年 【答案】C 【解析】根据开普勒第三定律有 T 彗 T 地＝ R 彗 R 地3 2＝18 3 2＝76.4，又 T 地＝1 年，所以 T 彗≈76 年， 彗星下次飞近地球的大致年份是 1986＋76＝2062 年，本题答案为 C。 6．(多选) 据报道，美国探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星，并投入彗星的怀抱，实现了人 类历史上第一次对彗星的“大碰撞”，如图所示．设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一 椭圆，其运行周期为 5.74 年，则下列说法中正确的是( ) A．探测器的最小发射速度为 7.9 km/s B．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的加速度大于远日点处的加速度 C．“坦普尔一号”彗星运动至近日点处的线速度小于远日点处的线速度 D．探测器运行的周期小于 5.74 年 【答案】BD 【解析】.要想脱离地球控制，发射速度要达到第二宇宙速度 11.2 km/s，故选项 A 错误；根 据万有引力定律和牛顿第二定律 GMm r2 ＝ma，得 a＝ GM r2 ，可知近日点的加速度大，故选项 B 正确；根据开普勒第二定律可知，行星绕日运行的近日点的线速度大，远日点的线速度小， 故选项 C 错误；探测器的运行轨道高度比彗星低，根据开普勒第三定律 r3 T2＝k 可知探测器 的运行周期一定比彗星的运行周期小，故选项 D 正确． 7．长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径 r1＝19 600 km，公转周期 T1＝6.39 天。2006 年 3 月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗 的公转轨道半径 r2＝48 000 km，则它的公转周期 T2 最接近于( ) A．15 天 B．25 天 C．35 天 D．45 天 【答案】B 【解析】根据开普勒第三定律 3 1 2 1 2 1＝ 3 2 2 2 2 2，代入数据计算可得 T2 约等于 25 天。选项 B 正确。 题组 2 万有引力定律 引力常量 1．下面关于行星对太阳的引力的说法中正确的是( ) A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力 B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关 C．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力 D．行星对太阳的引力大小与太阳的质量成正比，与行星距太阳的距离成反比 【答案】A 【解析】天体之间的引力是同一种性质力。 2．关于太阳与行星间引力的公式 F＝ GMm r2 ，下列说法正确的是( ) A．公式中的 G 是引力常量，是人为规定的 B．太阳与行星间的引力是一对平衡力 C．公式中的 G 是比例系数，与太阳、行星都没有关系 D．公式中的 G 是比例系数，与太阳的质量有关 【答案】C 3．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已 知太阳质量约为月球质量的 2.7×107 倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的 轨道半径的 400 倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( ) A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 【答案】AD 【解析】由万有引力定律 F＝ GMm R2 可知，F∝ M R2，太阳与月球对相同质量海水的引力之比 F 日 F 月＝1.687 5×102，故 A 对，B 错；月球与不同区域海水的距离不同，故吸引力大小有差 异，故 C 错，D 对。 4．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在 赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密度为( ) A． 3π（g0－g） GT2 g0 B． 3πg0 GT2（g0－g） C． 3π GT2 D． 3π GT2 g0 g 【答案】B 题组 3 利用万有引力定律研究天体运动 1．(多选) 通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆 周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量 可以是( ) A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径 【答案】AD 【解析】根据线速度和角速度可以求出半径 r＝ v ω，根据万有引力提供向心力有 GMm r2 ＝m v2 r ， 整理可得 M＝ v3 Gω，故选项 A 正确；由于卫星的质量 m 可约掉，故选项 B、C 错误；若知道 卫星的运行周期和轨道半径，有 GMm r2 ＝m 2π T 2r，整理得 M＝ 4π2r3 GT2 ，故选项 D 正确． 2．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球运动的周期之比可求得( ) A．火星和地球的质量之比 B．火星和太阳的质量之比 C．火星和地球到太阳的距离之比 D．火星和地球绕太阳运行的速度大小之比 【答案】CD 【解析】由 GMm r2 ＝ 4mπ2r T2 ，得 T2＝ 4π2r3 GM ，则 2 2＝ 3 2。由此式可知 C 选项正确。由 GMm r2 ＝ m v2 r ，得 v2＝ GM r ，由此式可知 D 选项正确。 3．最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一 周所用的时间为 1 200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的 100 倍。假定该行星绕恒 星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有( ) A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比 C．行星质量与地球质量之比 D．行星运行速度与地球公转速度之比 【答案】AD 4．火星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，火星与太阳间的引力提供火星运动的向心力， 已知火星运行的轨道半径为 r，运行周期为 T，引力常量为 G，太阳质量 M 为 。 【答案】 4π2r3 GT2 【解析】设太阳质量为 M，火星的质量为 m。火星与太阳间的引力提供向心力，则有 GMm r2 ＝ mv2 r ，v＝ 2πr T 。两式联立得 M＝ 4π2r3 GT2 。 题组 4 星球表面的重力加速度 1．宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态 下的物理现象．若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为( ) A．0 B． GM（R＋h）2 C. GMm（R＋h）2 D． GM h2 【答案】B. 【解析】飞船所受的万有引力等于在该处所受的重力，即 G Mm（R＋h）2＝mgh，得 gh＝ GM（R＋h）2，选项 B 正确． 2．火星的质量和半径分别约为地球的 0.1 倍和 0.5 倍，地球表面的重力加速度为 g，则火星 表面的重力加速度约为( ) A．0.2 g B．0.4 g C．2.5 g D．5 g 【答案】B 方法突破 方法 1 求解万有引力的方法 诠释：万有引力定律公式 只适用于两个质点间的作用，或是两个质量分布均匀 的球体间的万有引力作用，此处 r 指两球心间的距离。若两物体不是质量分布均匀点的球体 且又不可看成质点，可用填补法、等效法、对称法等方法解决。 题组 5 求解万有引力的方法 1．（填补法）如图所示，一个质量均匀分布的半径为 R 的球体对球外质点 P 的万有引力为 F.如果在球体中央挖去半径为 r 的一部分球体，且 r＝ R 2，则原球体剩余部分对质点 P 的万 有引力变为( ) A． F 2 B． F 8 C． 7F 8 D． F 4 【答案】C 【解析】利用填补法来分析此题原来物体间的万有引力为 F，挖去半径为 R 2的球的质量为原 来球的质量的 1 8，其他条件不变，故剩余部分对质点 P 的引力为 F－ F 8＝ 7 8F。 2．（等效法）一个质量均匀分布的球体，半径为 2r，在其内部挖去一个半径为 r 的球形空 穴，其表面与球面相切，如图所示．已知挖去小球的质量为 m，在球心和空穴中心连线上， 距球心 d＝6r 处有一质量为 m2 的质点，剩余部分对 m2 的万有引力为 。 【答案】 41mm2 225r2 G 3．（对称法 等效法）假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。 已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比 为( ) A．1－ d R B．1＋ d R C．( R－d R )2 D．( R R－d)2 【答案】A 【解析】如图所示， 根据题意“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”，可知：地面与矿井底部之间的环形 部分对放在矿井底部的物体的引力为零，设地面处的重力加速度为 g，地球质量为 M，由地 球表面的物体 m1 受到的重力近似等于万有引力，故 m1g＝G Mm1 R2 ，再将矿井底部所在的球 体抽取出来，设矿井底部处的重力加速度为 g′，该球体质量为 M′，半径 r＝R－d，同理可得 矿井底部处的物体 m2 受到的重力 m2g′＝G M′m2 r2 ，且由 M＝ρV＝ρ· 4 3πR3，M′＝ρV′＝ρ· 4 3π(R －d)3，联立解得 g′ g＝1－ d R，A 对。 点评：万有引力定律公式 的使用必须满足其使用的条件，而当条件不满足时， 要采用方法进行等效处理后方可用。 方法 2 处理双星系统的方法 诠释：1.双星系统的特点：(1)两星都绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，故两星的角速度、 周期相等；(2)两星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，所以它们的向心力大小 相等；(3)两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即 r1＋r2＝L。 2. 双星问题的处理方法 双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 Gm1m2 L2 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2。 3. 双星问题的两个结论 (1)运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。 (2)质量之和：由于ω＝2π T ，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和 m1＋m2＝4π2L3 GT2 。 题组 6 处理双星系统的方法 1．宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球 心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在 不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( ) A．双星相互间的万有引力不变 B．双星做圆周运动的角速度均增大 C．双星做圆周运动的动能均减小 D．双星做圆周运动的半径均增大 【答案】CD 2．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为 7:1，同时绕它们连线点 O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕 O 点运动的( ) A．轨道半径约为卡戎的 1 7 B．角速度大小约为卡戎的 1 7 C．线速度大小约为卡戎的 7 倍 D．向心力大小约为卡戎的 7 倍 【答案】A 【解析】设两星轨道半径分别为 r1、r2，则 GMm L2 ＝Mω2r1＝mω2r2。r1:r2＝m M＝1:7，选项 A 正确；由于双星周期相同，由ω＝ 2π T 知角速度相同，选项 B 错误；线速度 v＝ωr，知 v1:v2 ＝1:7，选项 C 错误；根据 a＝ω2r 知 a1:a2＝1:7，选项 D 错误。 3. 2016 年 2 月 11 日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦 100 年前的预测，弥 补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”.双星的运动是产生引力波的来源之一， 假设宇宙中有一双星系统由 a、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力 作用下做匀速圆周运动，测得 a 星的周期为 T，a、b 两颗星的距离为 l，a、b 两颗星的轨道 半径之差为Δr(a 星的轨道半径大于 b 星的轨道半径)，则( ) A.b 星的周期为 l－Δr l＋Δr T B.a 星的线速度大小为 l＋Δr T C.a、b 两颗星的半径之比为 l l－Δr D.a、b 两颗星的质量之比为 l＋Δr l－Δr 【答案】 B 4．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星 组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。两颗 星球组成的双星 m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀 速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为 L，质量之比为 m1∶m2＝3∶2。则可知( ) A．m1 与 m2 做圆周运动的角速度之比为 2∶3 B．m1 与 m2 做圆周运动的线速度之比为 3∶2 C．m1 做圆周运动的半径为 2 5L D．m2 做圆周运动的半径为 2 5L 【答案】 C 【解析】 双星系统在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的 O 点做周期相同的匀速圆周 运动，角速度相同，选项 A 错误；由 G m1m2 L2 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2 得 r1∶r2＝m2∶m1＝2∶3， 由 v＝ωr 得 m1 与 m2 做圆周运动的线速度之比为 v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，选项 B 错误；m1 做 圆周运动的半径为 2 5L，m2 做圆周运动的半径为 3 5L，选项 C 正确，D 错误。 5．研究发现，双星系统在演化过程中两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双 星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星的总质量变为原来的 k 倍， 两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时做圆周运动的周期为( ) A. n3 k2T B. n3 k T C. n2 k T D. n kT 【答案】B 5. 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图 3 所示，三颗质 量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 L，忽略其他星体对它们的引力作 用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，引力常量为 G，下列说法正确的 是( ) 图 3 A.每颗星做圆周运动的角速度为 Gm L3 B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 C.若距离 L 和每颗星的质量 m 都变为原来的 2 倍，则周期变为原来的 2 倍 D.若距离 L 和每颗星的质量 m 都变为原来的 2 倍，则线速度变为原来的 4 倍 【答案】 C 【解析】 任意两星间的万有引力 F＝G m2 L2，对任一星受力分析，如图所示. 由图中几何关系和牛顿第二定律可得：F＝ma＝mω2 L 3，联立可得：ω＝ 3Gm L3 ，a＝ω2 L 3＝ 3Gm L2 ， 选项 A、B 错误；由周期公式可得：T＝ 2π ω ＝2π L3 3Gm，当 L 和 m 都变为原来的 2 倍，则周 期 T′＝2T，选项 C 正确；由速度公式可得：v＝ω L 3＝ Gm L ，当 L 和 m 都变为原来的 2 倍，则 线速度 v′＝v，选项 D 错误. 6. (多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的系统，其中有一种系统如图 4 所示，四颗质量均 为 m 的星体位于正方形的顶点，正方形的边长为 a，忽略其他星体对它们的引力作用，每颗 星体都在同一平面内绕正方形对角线的交点 O 做匀速圆周运动，引力常量为 G，则( ) 图 4 A.每颗星做圆周运动的线速度大小为 Gm a B.每颗星做圆周运动的角速度大小为 Gm a3 C.每颗星做圆周运动的周期为 2π 2a3 Gm D.每颗星做圆周运动的加速度与质量 m 有关 【答案】 AD 【解析】 由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的 轨道半径 r＝ 2 2a，每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点 做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：G m2 2 ＋2G m2 a2cos 45°＝m2，解得 v＝ Gm a ， 角速度为ω＝ v r＝ Gm a3，周期为 T＝ 2π ω ＝2π 2a3 Gm，加速度 a＝ v2 r ＝ 2＋1Gm 2a2 ，故选项 A、D 正确， B、C 错误. 方法 3．天体质量和密度的计算 (1)自力更生法：利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R. ①由 G Mm R2 ＝mg 得天体质量 M＝ gR2 G . ②天体密度：ρ＝ M V＝ 4 πR3＝ 3g 4πGR. (2)借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T. ①由 G Mm r2 ＝m 4π2r T2 得天体的质量为 M＝ 4π2r3 GT2 . ②若已知天体的半径 R，则天体的密度 ρ＝ M V＝ 4 πR3＝ 3πr3 GT2R3. ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度ρ＝ 3π GT2，可 见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期 T，就可估算出中心天体的密度． 题组 7 1．(多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为 能称出地球质量的人．若已知万有引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径 R， 地球上一个昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心到月球 中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2.你能计算出( ) A．地球的质量 m 地＝ gR2 G B．太阳的质量 m 太＝ 3 2 2 2 2 2 C．月球的质量 m 月＝ 3 1 2 1 2 1 D．可求月球、地球及太阳的密度 【答案】AB. 【解析】对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0g＝ Gm 地 m0 R2 ，所以地球质量 m 地＝ gR2 G ， A 项正确．对地球绕太阳运动来说，有 2 2 2 2＝m 地 2 2 2 2L2，则 m 太＝ 3 2 2 2 2 2，B 项正确．对月球绕 地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它 的质量和密度，C、D 项错误． 2．如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨 道．若“卡西尼”号探测器在半径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行， 环绕 n 周飞行时间为 t，已知万有引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度ρ的表 达式正确的是( ) A．M＝ 4π2(R＋h)3 Gt2 ，ρ＝ 3π(R＋h)3 Gt2R3 B．M＝ 4π2(R＋h)2 Gt2 ，ρ＝ 3π(R＋h)2 Gt2R3 C．M＝ 4π2t2(R＋h)3 Gn2 ，ρ＝ 3πt2(R＋h)3 Gn2R3 D．M＝ 4π2n2(R＋h)3 Gt2 ，ρ＝ 3πn2(R＋h)3 Gt2R3 【答案】D 3. 到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过 30 枚探测器到达过 火星，并发回了大量数据.如果已知万有引力常量为 G，根据下列测量数据，能够得出火星 密度的是( ) A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径 r 和卫星的周期 T B.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r C.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度 v D.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω 【答案】 D 【解析】 根据 G Mm r2 ＝mr( 2π T )2 可以得出火星的质量，但火星的半径未知，无法求出密度. 故 A 错误；测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期和轨道半径，根据万有引力提供向心力， 可以求出太阳的质量，由于火星是环绕天体，不能求出其质量，所以无法求出密度.故 B 错 误；根据 G Mm r2 ＝m v2 r ，得 M＝v2r G ，密度ρ＝ 4 πr3＝ 3v2 4πGr2，由于火星的半径未知，无法求出 密度.故 C 错误；根据 G Mm r2 ＝mrω2 得，M＝r3ω2 G ，则密度ρ＝ 4 πr3＝3ω2 4πG，可以求出火星的密 度.故 D 正确. 4.据新闻报导，“天宫二号”将于 2016 年秋季择机发射，其绕地球运行的轨道可近似看成是 圆轨道.设每经过时间 t，“天宫二号”通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为θ弧度.已知引力 常量为 G，则地球的质量是( ) A. l2 Gθ3t B. θ3 Gl2t C. t2 Gθl3 D. l3 Gθt2 【答案】 D 【解析】 “天宫二号”通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，所以其轨道半径：r ＝l θ t 时间内“天宫二号”通过的弧长是 l，所以线速度：v＝l t “天宫二号”做匀速圆周运动的向心力是由万有引力提供，则： GMm r2 ＝mv2 r ，所以 M＝rv2 G ＝ l3 Gθt2.