2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（文）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（文）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 设直线l过点‎(-2, 0)‎，且与圆x‎2‎‎+y‎2‎=1‎相切，则l的斜率是（ ）‎ A.‎±1‎ B.‎±‎‎1‎‎2‎ C.‎±‎‎3‎‎3‎ D.‎‎±‎‎3‎ ‎2. 设I为全集，S‎1‎、S‎2‎、S‎3‎是I的三个非空子集，且S‎1‎‎∪S‎2‎∪S‎3‎=I，则下面论断正确的是（ ）‎ A.‎∁‎IS‎1‎‎∩(S‎2‎∪S‎3‎)=⌀‎ B.‎S‎1‎‎⊆(‎∁‎IS‎2‎∩‎∁‎IS‎3‎)‎ C.‎∁‎IS‎1‎‎∩‎∁‎IS‎2‎∩‎∁‎IS‎3‎=⌀‎ D.‎S‎1‎‎⊆(‎∁‎IS‎2‎∪‎∁‎IS‎3‎)‎ ‎3. 用与球心距离为‎1‎的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(        )‎ A.‎8π‎3‎ B.‎8‎2‎π‎3‎ C.‎8‎2‎π D.‎‎32π‎3‎ ‎4. 函数f(x)=x‎3‎+ax‎2‎+3x-9‎，已知f(x)‎在x=-3‎时取得极值，则a=‎(        )‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.‎4‎ D.‎‎5‎ ‎5. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为‎1‎的正方形，且‎△ADE，‎△BCF均为正三角形，EF // AB，EF=2‎，则该多面体的体积为‎(‎        ‎‎)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ ‎6. 已知双曲线x‎2‎a‎2‎‎-y‎2‎=1(a>0)‎的一条准线为x=‎‎3‎‎2‎，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎3‎‎2‎ C.‎6‎‎2‎ D.‎‎2‎‎3‎‎3‎ ‎7. 当‎0-2x的解集为‎(1, 3)‎． ‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎(1)‎若方程f(x)+6a=0‎有两个相等的根，求f(x)‎的解析式；‎ ‎(2)‎若f(x)‎的最大值为正数，求a的取值范围．‎ ‎20. ‎9‎粒种子分种在甲、乙、丙‎3‎个坑内，每坑‎3‎粒，每粒种子发芽的概率为‎0.5‎，若一个坑内至少有‎1‎粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种． ‎ ‎（1）求甲坑不需要补种的概率；‎ ‎（2）求有坑需要补种的概率．（精确到‎0.001‎）‎ ‎21. 设正项等比数列‎{an}‎的首项a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，前n项和为Sn，且‎2‎‎10‎S‎30‎‎-(‎2‎‎10‎+1)S‎20‎+S‎10‎=0‎． ‎ ‎（1）求‎{an}‎的通项；‎ ‎（2）求‎{nSn}‎的前n项和Tn．‎ ‎22. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为‎1‎且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA‎→‎‎+‎OB‎→‎与a‎→‎‎=(3, -1)‎共线．‎ ‎(I)‎求椭圆的离心率；‎ ‎(II)‎设M为椭圆上任意一点，且OM‎→‎‎=λOA‎→‎+μOB‎→‎(λ, μ∈R)‎，证明λ‎2‎‎+‎μ‎2‎为定值．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2005年河南省高考数学试卷Ⅰ（文）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.C ‎3.B ‎4.D ‎5.A ‎6.D ‎7.C ‎8.B ‎9.C ‎10.C ‎11.B ‎12.D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎155‎ ‎14.‎‎6‎ ‎15.‎‎100‎ ‎16.①③④‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：‎(1)‎∵ x=‎π‎8‎是函数y=f(x)‎的图象的对称轴，‎ ‎∴ sin(2×π‎8‎+φ)=±1‎，‎ ‎∴ π‎4‎‎+φ=kπ+‎π‎2‎，k∈Z．‎ ‎∵ ‎-π<φ<0，φ=-‎‎3π‎4‎．‎ 由y=sin2x向右平移‎3π‎8‎得到．‎ ‎(2)‎由‎(1)‎知φ=-‎‎3π‎4‎，因此y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎．‎ 由题意得‎2kπ-π‎2‎≤2x-‎3π‎4‎≤2kπ+‎π‎2‎，k∈Z．‎ 所以函数y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎的单调增区间为‎[kπ+π‎8‎，kπ+‎5π‎8‎]‎，k∈Z．‎ ‎(3)‎由y=sin(2x-‎3π‎4‎)‎知 ‎ ‎x ‎ ‎‎0‎ ‎ ‎π‎8‎ ‎ ‎‎3π‎8‎ ‎ ‎‎5π‎8‎ ‎ ‎‎7π‎8‎ ‎ ‎π ‎ ‎y ‎-‎‎2‎‎2‎ ‎-1‎ ‎ ‎‎0‎ ‎ ‎‎1‎ ‎ ‎‎0‎ ‎-‎‎2‎‎2‎ 故函数y=f(x)‎在区间‎[0, π]‎上图象是 ‎18.‎(1)‎证明：如图，‎ ‎∵ PA⊥‎面ABCD，CD⊥AD，‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎∴ 由三垂线定理得：CD⊥PD．‎ 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，‎ ‎∴ CD⊥‎面PAD．‎ 又CD⊂‎面PCD，‎ ‎∴ 面PAD⊥‎面PCD．‎ ‎(2)‎解：过点B作BE // CA，且BE=CA，‎ 则‎∠PBE是AC与PB所成的角．‎ 连接AE，可知AC=CB=BE=AE=‎‎2‎，又AB=2‎，‎ 所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥‎面ABCD得‎∠PEB=‎‎90‎‎∘‎ 在Rt△PEB中BE=a‎2‎=3‎b‎2‎，PB=‎‎5‎，‎ ‎∴ cos∠PBE=BEPB=‎‎10‎‎5‎．‎ ‎∴ AC与PB所成的角为arccos‎10‎‎5‎．‎ ‎(3)‎解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．‎ 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，‎ ‎∴ ‎△AMC≅△BMC，‎ ‎∴ BN⊥CM，故‎∠ANB为所求二面角的平面角 ‎∵ CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，‎ 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．‎ 在等腰三角形AMC中，AN⋅MC=‎CM‎2‎-(AC‎2‎‎)‎‎2‎⋅AC，‎ ‎∴ AN=‎3‎‎2‎‎×‎‎2‎‎5‎‎2‎=‎‎6‎‎5‎．‎ ‎∴ AB=2‎，‎ ‎∴ ‎cos∠ANB=AN‎2‎+BN‎2‎-AB‎2‎‎2×AN×BN=-‎‎2‎‎3‎ 故所求的二面角为arccos(-‎2‎‎3‎)‎．‎ ‎19.解：‎(1)‎∵ f(x)+2x>0‎的解集为‎(1, 3)‎，‎ ‎∴ f(x)+2x=a(x-1)(x-3)‎，且a<0‎．‎ 因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax‎2‎-(2+4a)x+3a．①‎ 由方程f(x)+6a=0‎得ax‎2‎-(2+4a)x+9a=0‎．②‎ 因为方程②有两个相等的根，所以Δ=[-(2+4a)‎]‎‎2‎-4a⋅9a=0‎，‎ 即‎5a‎2‎-4a-1=0‎，解得a=1‎或a=-‎‎1‎‎5‎．‎ 由于a<0‎，舍去a=1‎，故a=-‎‎1‎‎5‎．‎ 将a=-‎‎1‎‎5‎代入①得f(x)‎的解析式f(x)=-‎1‎‎5‎x‎2‎-‎6‎‎5‎x-‎‎3‎‎5‎．‎ ‎(2)‎由f(x)=ax‎2‎-2(1+2a)x+3a=a(x-‎1+2aa‎)‎‎2‎-‎a‎2‎‎+4a+1‎a，‎ 及a<0‎，可得f(x)‎的最大值为‎-‎a‎2‎‎+4a+1‎a．‎ 由‎-a‎2‎‎+4a+1‎a>0‎a<0‎解得a<-2-‎‎3‎或‎-2+‎3‎0‎，所以‎2‎‎10‎q‎10‎‎=1‎，解得q=‎‎1‎‎2‎，因而an‎=a‎1‎qn-1‎=‎1‎‎2‎n，n=1，2‎，．‎ ‎（2）由题意知Sn‎=‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n)‎‎1-‎‎1‎‎2‎=1-‎1‎‎2‎n，nSn=n-‎n‎2‎n．‎ 则数列‎{nSn}‎的前n项和Tn‎=(1+2++n)-(‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎++n‎2‎n)‎，Tn‎2‎‎=‎1‎‎2‎(1+2++n)-(‎1‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎++n-1‎‎2‎n+n‎2‎n+1‎)‎．‎ 前两式相减，得Tn‎2‎‎=‎1‎‎2‎(1+2++n)-(‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎++‎1‎‎2‎n)+n‎2‎n+1‎=n(n+1)‎‎4‎-‎1‎‎2‎‎(1-‎1‎‎2‎n)‎‎1-‎‎1‎‎2‎+‎n‎2‎n+1‎即Tn‎=n(n+1)‎‎2‎+‎1‎‎2‎n-1‎+n‎2‎n-2‎．‎ ‎22.解：‎(1)‎设椭圆方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)，F(c,0)‎ 则直线AB的方程为y=x-c，代入x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎，‎ 化简得‎(a‎2‎+b‎2‎)x‎2‎-2a‎2‎cx+a‎2‎c‎2‎-a‎2‎b‎2‎=0‎．‎ 令A(x‎1‎, y‎1‎)‎，B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ 则x‎1‎‎+x‎2‎=‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎b‎2‎，x‎1‎x‎2‎=‎a‎2‎c‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎．‎ ‎∵ OA‎→‎‎+OB‎→‎=(x‎1‎+x‎2‎,y‎1‎+y‎2‎)，a‎→‎=(3,-1)，OA‎→‎+‎OB‎→‎与a‎→‎共线，‎ ‎∴ ‎3(y‎1‎+y‎2‎)+(x‎1‎+x‎2‎)=0‎，又y‎1‎‎=x‎1‎-c，y‎2‎‎=x‎2‎-c，‎ ‎∴ ‎3(x‎1‎+x‎2‎-2c)+(x‎1‎+x‎2‎)=0‎，‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=‎3‎‎2‎c．‎ 即‎2a‎2‎ca‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎3c‎2‎，‎ 所以a‎2‎‎=3‎b‎2‎．‎ ‎∴ c=a‎2‎‎-‎b‎2‎=‎‎6‎a‎3‎，‎ 故离心率e=ca=‎‎6‎‎3‎．‎ ‎(II)‎证明：由‎(1)‎知a‎2‎‎=3‎b‎2‎，‎ 所以椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)，F(c,0)‎可化为x‎2‎‎+3y‎2‎=3‎b‎2‎．‎ 设M(x, y)‎，‎ 由已知得‎(x, y)=λ(x‎1‎, y‎1‎)+μ(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ ‎∴ ‎x=λx‎1‎+μx‎2‎y=λy‎1‎+μy‎2‎ ‎∵ M(x, y)‎在椭圆上，‎ ‎∴ ‎(λx‎1‎+μx‎2‎‎)‎‎2‎+3(λy‎1‎+μy‎2‎‎)‎‎2‎=3‎b‎2‎．‎ 即λ‎2‎‎(x‎1‎‎2‎+3y‎1‎‎2‎)+μ‎2‎(x‎2‎‎2‎+3y‎2‎‎2‎)+2λμ(x‎1‎x‎2‎+3y‎1‎y‎2‎)=3‎b‎2‎．①‎ 由‎(1)‎知a‎2‎‎=‎3‎‎2‎c‎2‎，b‎2‎=‎‎1‎‎2‎c‎2‎．‎ ‎∴ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎3c‎2‎，‎x‎1‎x‎2‎‎=a‎2‎c‎2‎‎-‎a‎2‎b‎2‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=‎‎3‎‎8‎c‎2‎ ‎∴ x‎1‎x‎2‎‎+3y‎1‎y‎2‎=x‎1‎x‎2‎+3(x‎1‎-c)(x‎2‎-c)=4x‎1‎x‎2‎-3(x‎1‎+x‎2‎)c+3c‎2‎=‎3‎‎2‎c‎2‎-‎9‎‎2‎c‎2‎+3c‎2‎=0‎．‎ 又x‎1‎‎2‎‎+3y‎1‎‎2‎=3‎b‎2‎，x‎2‎‎2‎‎+3y‎2‎‎2‎=3‎b‎2‎，‎ 代入①得λ‎2‎‎+μ‎2‎=1‎．‎ 故λ‎2‎‎+‎μ‎2‎为定值，定值为‎1‎．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页