专题20+平面向量的数量积（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍 5页

‎1.已知正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，F为CD的中点，则·=　(　　)‎ A.-1 B‎.0 C.1 D.2‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图.以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，‎ B(2，0)，E(2，1)，F(1，2)，所以=(2，1)，=(-1，2)，所以·=-2+2=0.‎ ‎2.已知e1，e2是单位向量，m=e1+2e2，n=5e1-4e2，若m⊥n，则e1与e2的夹角为　(　　)‎ A. B. C.π D.π ‎【答案】B ‎3.若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于　(　　)‎ A.- B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)，‎ 设2a+b与a-b的夹角为α，‎ 所以cosα===.又α∈[0，π]，故α=. ‎ ‎6.在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，若|+|=，α∈‎ ‎(0，π)，则与的夹角为　(　　)‎ A. B. C.π D.π ‎【答案】A ‎7.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，且AB=，则·的值是　(　　)‎ A.- B. C.- D.0‎ ‎【答案】A ‎【解析】取AB的中点C，连接OC，AB=，‎ 则AC=，又因为OA=1，‎ 所以sin=sin∠AOC==，‎ 所以∠AOB=120°，‎ 则·=1×1×cos120°=-. ‎ ‎18．向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为(　　)‎ A．0 B． C． D． B　‎ ‎【解析】(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋‎2a·b＝‎12a2⇒b2＝‎9a2，‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝.‎ ‎19．已知向量⊥，||＝3，则·＝________.‎ ‎【答案】9　‎ ‎【解析】因为⊥，所以·＝0，所以·＝·(＋)＝2＋·＝||2＋0＝32＝9.‎ ‎20.若两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|=2|a|，则向量a+b与a的夹角为　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎21.已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，C，D两点都在圆O上，且||=2，则|+|=　　　　.‎ ‎【解析】如图，连接OC，OD，‎ 则=+=+，‎ 因为O是AB的中点，‎ 所以+=0，‎ 所以+=+，‎ 设CD的中点为M，连接OM，‎ 则+=+=2，‎ 显然△COD是边长为2的等边三角形，‎ 所以||=，‎ 故|+|=|2|=2.‎ ‎【答案】2‎ ‎22.已知平面向量a，b满足|a|=，|b|=1，‎ ‎(1)若|a-b|=2，试求a与b的夹角的余弦值.‎ ‎(2)若对一切实数x，|a+xb|≥|a+b|恒成立，求a与b的夹角.‎ ‎【解析】(1)因为|a|=，|b|=1，|a-b|=2.‎ 所以|a-b|2=4，即a2-2a·b+b2=4，2-2a·b+1=4，所以a·b=-.‎ 设a与b的夹角为θ，‎ 则cosθ===-. ‎ ‎24．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|‎4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎25．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影. ‎ ‎ [解]　(1)由m·n＝－， ‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 2分 化简得cos A＝－.因为0＜A＜π，‎ 所以sin A＝＝＝. 4分 ‎ ‎