安徽省安庆市太湖县太湖中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷 17页

数学试卷 一、 选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎3．设，，是两个不同的平面，则“”是“”的（ ）．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．已知，则等于（ ）‎ A．0 B．‎ C． D．‎ ‎5．已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．为曲线上一动点, 为直线上一动点, 则的最小值为 ( )‎ A．0 B． C． D．2‎ ‎11．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知双曲线的离心率为2，过右焦点的直线交双曲线的两条渐近线于两点，且，则直线的斜率的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ 一、 填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．若双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的标准方程______________．‎ ‎14．若函数，则_______．‎ ‎15．若曲线在点处的切线方程为_________.‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎①“”是“”的充分必要条件；‎ ‎②命题“若，则”的否命题是“若，则”；‎ ‎③设，，则“且”是“”的必要不充分条件；‎ ‎④设，，则“”是“”的必要不充分条件.‎ 其中正确命题的序号是_________.‎ 二、 解答题（满分70分）‎ ‎17．（10分）数列中，，前项的和记为．‎ ‎（1）求的值，并猜想的表达式；‎ ‎（2）请用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎18．（12分）已知函数 ‎（1）求函数在处切线方程；‎ ‎（2）求函数的最大值和最小值．‎ ‎19．（12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交另一点，若，求直线的倾斜角.‎ ‎20．（12分）如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：‎ ‎（1）直线与直线所成角的余弦值；‎ ‎（2）平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎21．（12分）已知函数，其中，且曲线在点处 的切线垂直于.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的极值.‎ ‎22．（12分）已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.‎ 数学参考答案 ‎1．C ‎【解析】 ‎ 复数的虚部为，故选C.‎ ‎2．B ‎【解析】‎ 求导得：.‎ 在点处的切线斜率即为在点处的导数值1.‎ 所以切线的倾斜角为45°.‎ 故选B.‎ ‎3．A ‎【解析】‎ 若，，则；反之，若，，则或与相交．‎ 所以“”是“”的充分不必要条件．选．‎ ‎4．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的导数公式求出，再求.‎ ‎【详解】‎ 由，得，∴，‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查了基本初等函数的导数公式，若,则 .‎ ‎5．C ‎【解析】‎ 的焦点是（4,0），则双曲线（）的右焦点是（3,0），‎ ‎6．A ‎【解析】‎ 分析：将原问题转化为恒成立的问题，然后求解实数a的取值范围即可.‎ 详解：由题意可得：，‎ 函数在区间上单调递增，‎ 则在区间上恒成立，‎ 即在区间上恒成立，‎ 二次函数开口向下，对称轴为，则函数在区间上单调递减，‎ 当时，，则该函数区间上的值域为，‎ 综上可知：实数的取值范围是.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：本题主要考查导函数研究函数的单调性，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．A ‎【解析】‎ 因为，焦点在y轴负半轴上，所以焦点坐标为，故选A. ‎ ‎8．B ‎【解析】‎ 解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.‎ ‎9．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域和导数，然后在定义域内解不等式 可得出函数的单调递增区间.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，且，‎ 解不等式，即，由于，解得.‎ 因此，函数的单调递增区间为，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意导数与函数单调区间之间的关系，另外解出相应的导数不等式后，还应将不等式的解集与定义域取交集即可得出函数的单调区间，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ 如图，直线l与y=lnx相切且与y=x+1平行时，‎ 切点P到直线y=x+1的距离|PQ|即为所求最小值.‎ ‎，令得x=1，故.‎ 故为点与直线的距离，‎ 即：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎11．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量 ‎，‎ 利用向量的距离公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 建立如图所示的直角坐标系，则，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的一个法向量，则，‎ 即，解得，故，‎ 显然平面平面，‎ 所以平面与平面之间的距离．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎12．A ‎【解析】‎ 因为双曲线的离心率为2，所以，则双曲线的两条渐近线方程为，设过右焦点的直线的方程为，联立 ‎，得，联立，得，由，得，即，解得，即直线的斜率的值等于.故选A.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由双曲线渐近线方程为，所以方程可设为，代入点可得 考点：双曲线方程及性质 ‎14．‎ ‎【解析】‎ ‎，则，所以，；‎ 故，则有，得，.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求得当x=1时的斜率，根据点斜式可求得切线方程。‎ ‎【详解】‎ 对函数求导得 因为点在曲线上，所以 ‎ 由点斜式可得切线方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了过曲线上一点的切线方程，导数的几何意义，属于基础题。‎ ‎16．②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐项判断每个选项的正误得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，成立，但不成立，所以不具有必要性，错误 ‎②根据否命题的规则得命题“若，则”的否命题是“若，则”；，正确.‎ ‎③因为且”是“”的充分不必要条件，所以错误 ‎④因为且，所以“”是“”的必要不充分条件.正确.‎ 故答案为②④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.‎ ‎17．（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据通项公式写出前三项，再写出的值即可（2）用数学归纳法证明即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，∴，，∴猜想．‎ ‎（2）证明：①当时， ，猜想成立；‎ ‎②假设当时，猜想成立，即：；‎ ‎∴当时，‎ ‎∴时猜想成立∴由①、②得猜想得证．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列中归纳、猜想及数学归纳法，属于中档题.‎ ‎18．(1) .‎ ‎(2) 函数最小值为，最大值为.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据函数单调性可得函数的最大值和最小值.‎ 详解：（1），斜率，切点．‎ 所以切线为 ‎（2）‎ 单调递增 单调递减 所以函数最小值为，最大值为 点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎19．（Ⅰ）；.(Ⅱ) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据离心率，以及菱形的面积为4，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设出直线方程，联立方程组，借助于韦达定理、弦长公式，利用列出关于的方程，解方程求出的值，从而可求直线的倾斜角.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由，得.‎ 再由，解得.‎ 由题意可知，即.‎ 解方程组得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，‎ 直线的斜率为k.则直线的方程为y=k（x+2）.‎ 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 ‎.‎ 由，得.从而.‎ 所以.‎ 由，得.‎ 整理得，即，解得k=.‎ 所以直线的倾斜角为或.‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解答直线与圆锥曲线位置关系问题常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎20．（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以 {，，} 为正交基底建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；‎ ‎（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，‎ 故以 为正交基底建立空间直角坐标系．‎ 则，，，‎ ‎， ．‎ ‎（1）因为 ，‎ ‎ ， ‎ 所以，‎ ‎，， ‎ 从而． ‎ 又异面直线所成的角的范围是，‎ 所以直线与直线所成角的余弦值为． ‎ ‎（2），，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则从而即 取，可得，，即． ‎ 在正四棱柱中，平面，‎ 又，‎ 所以为平面的一个法向量． ‎ 因为，且，，‎ 所以．‎ 因此平面与平面所成二面角的正弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．（1）（2）函数在时取得极小值.无极大值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，利用导数几何意义可得k=,又切线与垂直，即即可得a值；（2）根据导数判断函数的单调性，由单调性即可得到函数极值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）对求导得， ‎ 由在点处切线垂直于直线 知， ‎ 解得； ‎ ‎（2）由（1）问知， ‎ 则， ‎ 令，解得或.‎ 因不在的定义域内，故舍去. ‎ 当时，，故在内为减函数； ‎ 当时，，故在内为增函数 ‎ 由此知函数在时取得极小值.无极大值；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，属于基础题.‎ ‎22．（1）2（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的方程，得出，求出，即可得出结果；‎ ‎（2）联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，以及抛物线弦长公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抛物线焦点为，准线方程为，‎ 因为点到焦点距离为2，所以，解得.‎ ‎（2）抛物线的焦点坐标为，满足直线的方程.故焦点在直线上.‎ 联立，得.‎ 显然，设，，‎ 则，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，根据抛物线的定义即可列出方程求出，进而可求出抛物线方程；求焦点弦的问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式，即可求出结果，属于常考题型.‎